高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计

《变化率问题》教学设计
教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”，
一、 教学内容分析
导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有< br>效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安
排，采 用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容
易理解，突出了导 数概念的本质。
平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的 “气球膨胀率”、“高 台
跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生
理 解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的 先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化
率及其导数概念的基础，在整个 导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中，将
进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结 合思想。
基于上述分析 ，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
二、 学生情况分析
（一）、学生已有的认知基础
1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式 三种不同的函数表现形式，
求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。并能从图像中 看出函数变化
的快与慢。
2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比 较容易理解可以用“平
均速度”刻画物体在一段时间内的速度。

（二）可能存在的认知困难
1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的 生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的
数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进 行合理的数学解释是本节课教
学的关键，也是难点所在。
2、利用变化率的有关知识解释生活 的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用
数学数学语言表达问题的能力。对高中生而言，抽 象概括能力和应用数学语言的能力还有待
进一步的提高。
基于上述分析 ，我将本节 课的教学难点确定为：通过具体生活实例，概括出平均变化
率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生 活中变化快慢的生活实例。；
三、教学目标设计
《课程标准》对本节课的要求是：
1、通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会导数
的思想及其 内涵。
2、通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
然而，课程教学目标不完全等同于课 堂教学目标，课堂教学目标应该具体化，具有“可
操作性”和“可检测性”，通过对《课程标准》的解读 ，我将本节课的课堂教学目标确定
为：
1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；
2. 通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率的定义；
3. 体会数形结合的思想方法；
四、教学策略分析
1、为了有效的突破教学难点，突出平均变化率的概念本质，借用苏教版《变化率问题》

中的“气温变化”问题，引导学生探究如何从数学角度，解释生活中的变化快慢现象，使
学生初步理解可以用“函数值与自变量的比值大小”描述数学中变化快慢的生活问题，提
炼数学 模型，为后面探究“气球膨胀率”、“高台跳水”问题奠定基础，为归纳“平均变化
率”的概念提供具体 背景。
2、在教学中充分发挥信息技术的优势，帮助学生更好地理解概念。通过视频演示，让学
生感受数学来源于生活，并积极主动地参与到课堂中，学生保持高水平的思维活动。通过
几何画板演示 ,使学生对概念的理解直观，生动。
五、教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 ：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、
某 一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。如何
从数学的角度解释 量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。
板书课题《变化率问题》
【教师过渡】 ：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”
(二)、探究新知，揭示概念
实例一：气温的变化问题

出示图片，学生思考：
1、上图是 “某地3月1日-3月31日每天气温最高温度统计图”，你从图中获得了哪些
信息？

2 、在“3月25日到27日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月1日到 25日”却没有这样的感觉，
这是什么原因呢?
3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？
师生讨论，教师板书总结：
分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，
当时间从1到25，气温从3.6oC增加到16.4oC，气温平均变化
16
< br>.4?3.6
?0.5
25?1
当时间从25到27，气温从16.4oC增加 到28.8oC，气温平均变化
因为6.2>0.5, 所以，从25日到27日，气温变化的更快一些。
28.8?16.4
?6.2
27 ?25
16.4?3.6
?0.5
表示时间从“3月1日到25日”时，气温的平均变 化率。【教师过渡】:“
25?1
提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。

实例二：气球的平均膨胀率问题。
【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相
同吗? 学生回答后，播放视频《吹气球》，让加深学生体验。
【学生思考】 ：
假设每次吹入气 球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量
的增加，气球半径增长的越来越 慢”这一现象呢？
思考：
1、这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？
2、如何从数学的 角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一
现象呢？先独立思考，再在小组 内交流你的想法。
学生讨论，小组交流，教师巡视。

学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。
【教师过渡】:“在小组交流 中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形
的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量 化，下面我们借助Excel
的自动计算功能与插
入图表功能来研究这一问题。
”
（1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

3、当空气容量从V
1
增到加V
2
时，气球的平均膨胀率是多少？
r(v)?r(v
1
)
讨论得出：
2
v
2
?v
1

实例三：高台跳水运动
【学生思考】： 在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)= -
4.9t
2
+6.5t+10

。

1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？
2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。
3、当时间从t
1
到t
2
时，运动员的平均速度是多少？

（三）、分析归纳，抽象概括
【教学活动】：针对下面三个实例，教师引出问题：“我们通过 观察图象得出了气温的平均
变化率、通过分析表格，得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式，得到了运 动员的平均
速度”。（幻灯出示）
1、实例一:在气温的变化问题中，当时间从t
1
到t
2
时,
气温的平均变化率=
f(t
2
)?f(t
1
)
t
2
?t
1
2、实例二: 在气球的半径变化问题中，当体积从V
1
增加到V
2
时，
气球的平均膨胀率=
r(v
2
)?r(v
1
)
v
2
?v
1
2、实例三：在高台跳水问题中，当时间从t
1
到 t
2
时，
运动员的平均速度=
【学生思考】 ：
1. 上述三个问题，有什么共同特征?
2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？
3. 下图中函数从x
1
到x
2
的平均变化率怎样计算？
h(t
2
)?h(t
1
)
t
2
?t
1

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么?
讨论得出：


（四）、知识应用，深化理解
例1.某婴儿从出 生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月,第6
个月到第12个月该婴儿体重 的平均变化率。

W (千克)





11
8.6
6.5
3.5
o 3 6 12
T(月))

2、向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数 关系如图，那么水瓶
的形状是图中的( )

3、观察图象，计算运动员在 0≤t≤
65
这段时间内的平均速度，思考：
49

(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？
(2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
(3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议或想法呢?
（五）、归纳小结、布置作业
教师提出问题：
（1）这节课你学到了什么？
（2）这节课给你影响最深刻的是什么?
（3）下课后你还想解决那些问题?
布置作业：.课本P＝10，习题1.1A组2；

数学源自生活
——普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”
评课稿
本节课王老师课前精心准备，课堂运用多媒体教学手段，创设了富有
生活气息的教学情境，设计了生活 化的学生活动，成功地解决生活化的问题。
王老师的课堂明确新课程的教学理念，彰显个人的教学特色。
1.采取适当重新组织教材内容，使之更符合学生对变化率学习的实际。实
例一、例题1通过师 生互动帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的
重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性，即 对于不同实际问题，变化率
富于不同的实际意义。
2.将学生必须掌握的平均变化率概念的 结构性分析置于核心地位，选择、
运用与变化率知识紧密相关的典型材料恰当，教学的重点突出，对难点 考虑
如何突破并实现了突破。实例二、例题2的设计使学生对发现的规律进行理
性的分析，通过 自我探索和互相交流的过程，提高学生的逻辑思维和自学能
力，有助于学生对逼近思想的理解。数形结合 ，扫清了学生的思维障碍，更
好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美。
3.本节课充 分反映了学生学习平均变化率、瞬时变化率等知识的本质、地
位，与相关知识之间内在的逻辑关系十分清 晰。实例三帮助学生体会从平均
速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力。
学生熟悉符号，在亲自计算的过程中感受逼近的趋势。
4.能围绕 变化率知识的本质及逻辑关系，有计划地设置问题系列，使学生
具备从特殊到一般的数学思想，具有一定 归纳、概括、类比、抽象思维的能