高三数学课题数学归纳法(公开课讲解)

课题：数学归纳法
【三维目标】：
一、知识与技能
1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学
命题。
2．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
二、过程与方法
通过数学归纳法的学习 ，体会用不完全归纳法发现规律，用数学
归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明 时，
“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，
其本质是证明一个递推 关系。
三、情感，态度与价值观
体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归
纳、猜想、证明能力。
【教学重点与难点】：
重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。
难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两
个步骤及其作用。
【课时安排】：2课时
第一课时
【教学思路】：
（一）、创设情景，揭示课题

问题1：P
71
中的例1.在 数列｛a
n
｝中，a
1
＝1，a
n+1
＝
先计算a
2
，a
3
，a
4
的值，再推测通项an的公式． a
n
（n∈N+），
1?a
n
生：a
2
＝，a
3
＝，a
4
＝．由此得到：a
n
＝（n∈N
+）．
问题2：通过计算下面式子，你能猜出
?1?3?5?
?
?< br>?
?1
?
n
?
2n?1
?
的结果
吗 ？证明你的结论？
?1?3?_______
?1?3?5?_______
?1?3?5?7?________
?1?3?5?7?9?________
1
2
1
3
1
4
1
n
生：上面四个式子的结果分别是 ：2，-3，4，-5，因此猜想：
?1?3?5???
?
?1
??
2n?1
?
?
?
?1
?
n
（*） 怎样证明它呢？
nn
问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码< br>放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一
块骨牌也倒下。只要推倒第一 块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导
致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒
下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。
（二）、研探新知
原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个：
（1） 第一块骨牌倒下；
（2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。
可以看出，条件（2）事 实上给出了一个递推关系：当第k块倒
下时，相邻的第k+1块也倒下。这样只要第1块骨牌倒下，其他 所有
的骨牌就能够相继倒下。事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）

（2 ）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。
问题2：分析： 这个问题的特点是：要证不等式（*）在n 为任何正
整数时都成立，虽然我们可以验证n = 1，2，3，4，5，… 甚至n = 1000，
10000，…时这个等式成立。但是正整数是无限 多个，我们无法对它们
一一验证，所以验证的方法无法完成证明。
要证明这个问题，必须寻找一种有限个步骤，就能够处理完无限多个
对象的方法。
类 比多米骨牌游戏，我们设想将全部正整数由小到大依次排列为
无限长一队1，2，3，4，…k，k+1 ，…
可以验证
（1） 当n = 1时，等式（*）的左右两边都等于-1。即这时等式（*）
成立
可以想象
（2） 若从“n = k 时等式（*）成立”能推出n = k + 1时等式（*）也
成立，则可以建立一种多米诺骨牌那样的由前到后的自到递推
关系
综合（1）（2），就自然地想到一种证明这个等式的方法：
首先证明（1）n = 1时等式（*）成立
然后证明（2）中的递推关系
完成以上两步后，就可由n = 1时等式（*）成立为起点，递推出n = 2
时等式（*）成立，再由n = 2时等式（*）成立，递推出n = 3时等式
（*）成立 …… 如此继续自动递推下去，就可以说：对于任意正

整数n，等式（*）成立
下面按照上述思路具体的证明等式（*）
证明：（1）当n = 1 时，式（*）左右两边都等于 -1，即这时等式（*）
成立。
（2）假设当n = k (k≥1) 时等式（*）式成立，即
?1?3?5???
?
?1
??
2n?1
?
?
?
?1
?
k
在这个假设下，再考虑 n = k + 1 时式
kk
（*）的左右两边。
左边=
?1?3?5?
?
?
?
?1
?
k
?
2n?1
?< br>?
?
?1
?
k?1
?
2
?
k?1< br>?
?1
?

?
?
?1
?
k?(?1 )
k?1
?
2(k?1)?1
?

k
?(?1)< br>k?1
?
?k?2(k?1)?1
?
?(?1)
k?1
(k?1)?右边
。
所以当n = k + 1 时等式（*）成立。
由（1） ，（2）可知
?1?3?5???
?
?1
?
n
?
2 n?1
?
?
?
?1
?
n
n

(n?N
?
)

总结上述过程，我们用了两个步骤：第一步，证明n = 1 时命题成立，
从而奠定了命题成立的一个起点；第二步，先作归纳假设，然后证明
由前 后的递推关系由这两步保证：对于从起点由前向后的所有正整数
n?N
?
,命题都成立 。
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证 明当n取第一个值
n
0
(n
0
?N
*
)
时 命题成立；
（2）（归纳递推）假设n = k
(n
0
?N
*
)
时命题成立，证明当n = k +1时
命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数n都
成立。这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）.

思考：结合上面的证明，你认为数学归纳法的基本思想是什么？
在数学归纳法 的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与
递推。这两步都是非常重要，缺一不可。第一步确定了n = n
0
时命题
成立，n = n
0
成为后面递推的出发点，没 有它递推就成无源之水；第二
步确认一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从正整数n
0
开始，
向后一个数一个数无限传递到n
0
以后的每一个正整数，从而完成 证
明，因此，递推是实现从有限到无限的飞跃的关键，没有它我们就只
能停留在对有限情况的把 握上。以上就是数学归纳法的基本原理。
下面的框图表示了数归纳法的基本过程
若n = k ( k = n
0
)时命题成立，
证明n = k + 1时命题也成立。
验证n = n
0
时
命题成立。
归纳奠基 归纳递推
命题对从n
0
开始所有的正
整数n都成立时命题成立。

问题：数学归纳法适用于证明什么的命题呢？对于一些与无限多个正
整数相关的命题，如果不易有以前所 学习过的方法证明，用数学归纳
法可能收到较好的效果。
思考：如果要用数学归纳法证明某命 脉题对于全体正整数都能立，应
取n
0
为何值？为什么？
（三）、例题剖析
例1：（教材第94页例1）

例2：（教材第94页例2）
（四）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2）
第二课时
【教学思路】：
（一）、复习回顾
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1） （归纳奠基）证明当 n取第一个值
n
0
(n
0
?N
*
)
时命题 成立;
（2） （归纳递推）假设
n?k(k?n
0
,k?N
*< br>)
时命题成立，证明当
n?k?1
时
命题也成立 。--------------数学归纳法
（二）、例题剖析：
例1．用数学归纳法证 明：
(3n?1)?7
n
?1(n?N
?
)
能被9整除.
证明：（1）当n=1时，（3+1）×7－1=27 能被9整除，命题成立
（2）假设 当n=k时命题成立，即
(3k?1)?7
k
?1(n?N
?
)能被9整除
那么，当n=k+1时，
[3(k?1)?1]?7
k?1
?1

?(3k?1)?7
k?1
?3?7
k?1
?1?7?(3k?1)?7
k
?3?7< br>k?1
?1
?(3k?1)?7
k
?1?6?(3k?1)?7
k
?3?7
k?1
?[(3k?1)?7
k
?1]?(18k?2 7)?7
k

由归纳假设
(3k?1)?7
k
?1(n?N
?
)
能被9整除
及
(18k?27)?7
k
是9的倍数
所以
[(3k?1 )?7
k
?1]?(18k?27)?7
k
能被9整除
即n=k+1时，命题成立
由（1）（2）知命题对任意的
n?N
?
均成立

例 2．若
n
为大于1的自然数，用数学归纳法证明：
1
证明：(1)当
n
=2时，
(2)假设当
n
=
k
1113

?
?
??
n?1n?22n24
?
11713
< br>???
2?12?21224
时成立，即
1
?
1
?< br>?
?
1
?
13

k?1k?22k24
则 当n?k?1时,
1111111
???????
k?2k?32k2k?12k?2 k?1k?1

131111311
???????
242k?12k?2k ?1242k?12k?2
13113
???.不等式也成立
242(2k?1)(k ?1)24
由(1)、 (2)知原不等式对一切大于2的自然数都成立。
1?2
2
?3
3
?????n
n
*
例3 ．已知
a
n
?
()

求证：
a
n
?1

n?N
n
(n?1)< br>证明：(1)当
n
=1时，
a
1
=＜1，不等式成立. 1?2
2
?3
3
?????k
k
（2）假设
n
=
k
(
k
≥1)时，不等式成立，即
a
k
=＜1
k
(k?1)
1
2
亦即1+2
2
+33
+…+
k
k
＜(
k
+1)
k

当
n
=
k
+1时
1?2
2
?3
3
?????k
k
?(k?1)
k?1
(k?1)
k
?(k?1)
k?1
a
k
+1
=
?
k?1k? 1
[(k?1)?1](k?2)
(k?1)
k
(k?2)
k?1< br>k
==()＜1. ∴
n
=
k
+1时，不等式也成立.
k?2
(k?2)
k?1
由（1）、（2）知,对一切
n
∈ N
*
，不等式都成立.
例4 ．用数学归纳法证明等式对所有n∈N*均成立．
11111

?????
2n?12nn?1n?22n
1111< br>证明：i)当n=1时，左式=
1??
，右式=
?
， ∴ 左式=右式 ，
221?12
1??
111
???
234
等式成立．
ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，

即
1??????
则当n=k+1时，
1?
1
2
1
3
1
4
11111
，
??????
2k?12kk?1k?22k
1111111
???
?
????
2342k?12k2k?12k?2
1111111
?(1?? ??
?
??)??
2342k?12k2k?12k?2
11111
?(??
?
?)??
k?1k?22k2k?12k?2

1111 1
???
?
??(?)
k?2k?32k?1k?12k?2
111 11
????
?
??
k?2k?3k?42k?12k?2
1111 1
????
?
??
(k?1)?1(k?1)?2(k?1)?3(k?1) ?k2(k?1)
即n=k+1时，等式也成立，
由i) ii)可知，等式对n∈N均成立．
小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n= k与
n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增
加一项，而且右 式的首项由
的
11
变为．因此在证明中，右式中
k?1k?2
11< br>应与-合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把
k?12k?2
n=k+1时等式 的左右两边的结构先作一分析是有效的．
由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关 键之
处：一是f(n)与n的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．
（三）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2）
（四）、归纳整理，整体认识
1．用数学归纳法证明，要完成两面个步骤，这两个步骤是缺一 不可的，
但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳
假设，做好命题从 n=k 到 n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中
结构不变。
2．数学归纳法常处 理的几类问题①证明有关整除问题②证明不等式③

证明数列有关问题。
3．运用数学归纳法时易犯的错误：
①对项数估算错误，特别是寻找n = k 与 n = k+1的关系时，项数发生
什么变化被弄错。
②没有利用归纳假设。
③关键步骤含 糊不清，“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1
时结论也成立”，是数学归纳法的关键一 步，也是证明问题最重要的环
节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性，规范性。
（五）、作业布置（教材第96页习题2.3A组1）
（六）、板书设计（略）
（七）、课后记：









敬请各位同行指正，谢谢！