高中数学三角函数背景应用题(公开课教案)

高中数学公开课教案
【课题】 三角函数应用题的探究
【教学目标】
1.经历圆周运动等模型的建模过程，感受数学抽象的过程，培育数学建模素养；
2.通过对 三角函数为背景的应用题的探究，学会选取合适的变量进行数学建模，促进分
析问题、解决问题能力的发 展；
3.通过对两类实际问题的探究，提升思维品质，体会数学与实际生活的联系，感悟数学
学的应用价值.
【教学重点、难点】
重点：三角函数为背景的应用题的研究思路；
难点：三角函数为背景的应用题的研究方法与技巧.
【教学过程】
一、引入 设摩天轮的半径为
R
，起始时
OP
0
与
Ox
的 夹角
?BOP
0
?
?
（图中的
?
取负值）. OP
0
OP
0
达到
OP
，绕
O
按逆时 针方向做匀速旋转运动，其角速度为
?
（弧度分）.经过
t
分钟后，
此时
?POP
0
?
?
t
，而
?BOP?
?
t?
?
，
P
的纵坐标为
y
，于是有
y?Rsin(
?
t?
?
)
.
这一函数关系反映了点
P
纵向的运动规律.

二、典型例题分析
例1．如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的圆心O点
距地面的高度为50m，摩天轮逆时针方向做匀速转动， 每
3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.已知
在时刻t（min）时点
P
距离地面的高度为
f(t)?Asin(
?
t?
?
)?h
(?
?
2
?
?
?
?
2
)
，
试确定
A
、
?
、< br>?
、
h
，并求出2019min时点
P
距离
地面的高 度.
设计意图：经历从建模到解模的过程，认识该函数模型.
解：依题意
A?40 ,h?50,T?3
，则
?
?
2
?
?
，且
f(0)?10
，故
?
??
.所以
32
f(t)?40si n(
2
??
t?)?50(t?0)
.
32
2
??
?2019?)?50?10
. 则
f(2019)?40sin(
32




跟进练习：
右图表示一半径为10米的水轮.水轮的圆心离水面5米.

高中数学公开课教案
已知水轮逆时针做匀速旋转，每分钟转4圈.设水轮上的点
P

到水面距离
d
(米)，时间为
t
(分钟).
（1） 如果
P
点从水中浮现时开始计算时间，写出
P
点位
于水面上方时，
d(t)
关于
t
的函数关系式.
（2）
P
点第一次达到最高点大约要多长时间？
设计意图：巩固圆周运动的建模与解模，体会数学与实际生活的联系.
解：(1)由题意设< br>d?asin(
?
t?
?
)?b
，其中
?
则
b?5
，又
T?
?
2
?
?
?
?< br>2
，则
a?10
，
a?b?15
，
12
?< br>min
，则
?
??8
?
，
4T
1
??
，且
??
?
?
，则
222
因此
d(t )?10sin(8
?
t?
?
)?5
，又
d(0)?0，故
sin
?
??
?
??
?
6
. < br>故
d(t)?10sin(8
?
t?
?
6
)?5.又
d(t)?0
，因此
k3k?2
?t?(k?N)
. 412
(2)设
P
点在时间
t
达到最高点时，
d(t) ?10sin(8
?
t?
?
6
)?5?15
，解得
t?
3k?1
(k?N)
，
12
1
min
，因此
P
点第一次达到最高点需要
12
当
k?0
时，
P< br>点第一次达到最高点，此时
t?
1
min
时间.
12
例2 . 在幻灯机的正前面墙上挂一块矩形屏幕，其
上、下边缘分别在经过 幻灯机头的水平面的上方
a
米，
b
米
(a?b)
.问幻灯机 头距墙面多远时对于屏幕的上下视
角
?
（影响图像清晰度的重要因素）最大？这个最大 视角
是多少？
设计意图：经历一般模型的建模过程，感受自变量的选取方法及解模过程中的函数性质
的应用.
解：如图，设幻灯机头
O
距墙面距离
OH?x
米，过
H垂直于地面的直线与屏幕上下边
缘的交点依次是
A
与
B
，则AH?a
米，
BH?b
米.设
?AOH?
?
,?BOH ?
?
，则幻灯
机头对屏幕的上下视角为
?
?
?
?< br>?
(0?
?
?
由于
tan
?
?
?< br>2
)
.
ab
,tan
?
?
，且
a?b?0
，则
xx
ab
?
tan
?
?tan
?
xx
?< br>a?b
?
a?b
?
a?b
.
tan
??tan(
?
?
?
)??
1?tan
?
tan
?
1?
a
?
b
x?
ab
ab2ab
2x?
xxx
x

高中数学公开课教案
其中当且仅当
x?
则
?
tan
?
?
max
ab
即x?ab
时，等号成立.
x
a?b
?
?(0?
?
?)
.
2
2ab
a?b
)
.
2
2ab
a?b
)
. 答：幻灯机头距墙面
ab
米 时对于屏幕的上下视角最大，最大视角为
arctan(
2ab
又因为
f(< br>?
)?tan
?
在
(0,
?
?
max
?arctan(
则当
x?ab
米时，
)
内是增函数，
解 法2提示
sin
?
?sin(
?
?
?
)?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?


(a?b)x
?
x
4
?(a
2
?b2
)x
2
?a
2
b
2
解法3提示
cos
?
?cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

?
x2
?ab
x
4
?(a
2
?b
2
)x< br>2
?a
2
b
2

解法4提示
11
OA?OB?sin
?
?S?AB?OH
，则
?AOB
由于
22
sin
?
?

(a?b)x
(x?a)(x?b)
2222
.
跟进练习：
某景区欲建造两条圆形观景步道
M
1
、
M
2
（宽度忽略不计），如图所示，已知
，要求圆
M
1
与
AB
、
AD
分别相切于
AB?AC
，
AB?AC?AD?60
（ 单位：米）
点
B
、
D
，圆
M
2
与
AC
、
AD
分别相切于点
C
、
D
.
（1） 若
?BAD?60
，求圆
M
1
、
M
2
的半径
（结果精确到0.1米）;
（2） 若观景步道
M
1
与
M
2
的造价分别为每米
0.8 千元与每米0.9千元，如何设计圆
M
1
、
M
2
的大
小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确
到0.1千元）
设计意图：进一步体会一般模型中自变量选取的方法及解模过程中的函数性质的应用.
解：(1)由题意：
?BAD?60
，因此
?M
1
AD?
?
?
1
?BAD?30
?
，
2
M
2

高中数学公开课教案
在
Rt?DA M
1
中，
DM
1
?ADtan?M
1
AD?60t an30?34.6
（米）；
同理，
?DAC?30
，因此
?M
2
AD?
?
?
1
?CAD?15
?
， < br>2
?
M
1
在
Rt?DAM
2
中，
D M
2
?ADtan?M
2
AD?60tan15?16.1
（米）.
(2)设
?DAM
1
??BAM
1
?
?
， 则
?DAM
2
??CAM
2
?
在
Rt?DAM1
中，
DM
1
?ADtan?M
1
AD?60tan< br>?
，
在
Rt?DAM
2
中，
DM
2
?ADtan?M
2
AD?60tan(
?
?
?
，其中< br>?
?(0,)
，
44
?
?
4
?
?
)
，
设总造价 为
y
千元，则
y?0.8?2
?
?60tan
?
? 0.9?2
?
?60tan(
?
4
?
?
)

8tan
2
?
?tan
?
?9

?12< br>?
[8tan
?
?9tan(?
?
)]
?12
?
1?tan
?
4
?
令
t?1?tan
?
,t?(1,2)
，
8(t?1)
2
?(t?1)?98t
2< br>?17t?1818
?12
?
?12
?
(8t??17) 则
y?12
?
ttt
?12
?
(28?18?17) ?84
?
.
当且仅当
8t?
此时
tan
?
?
18
3
，即
t?
时，等号成立.
t
2
1
，则
M
1
D?30
，
M
2
D?20< br>，此时最低总造价为263.9千元.
2
三、课堂小结：
试题归类：
命题：源于课本
解题：建模；解模；变式
四、 课后探究：
1. 设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为
x
2
?y
2
?1
.已知时间
t?0
时，观光箱
A
的坐标 为
(
1
,
3
)
，则当
0?t?24
时（单 位：分），
22
动点
A
的纵坐标
y
关于
t
的函数的单调递减区间为
2. 某游乐园的摩天轮半径为40米，圆心
O
距地面的高度为43米，摩天轮做匀速转动，
每24分钟转一圈，摩天轮在转动的过程中，游客从摩天轮距地面最低处登上吊舱，若忽视
吊舱的高度 ，小明在小强登上吊舱4分钟后登上吊舱，则小明登上吊舱
t(0?t?24)
分钟后，
小强和小明距地面的高度差为 （ ）

高中数学公开课教案
??
??
??
??
A
.
40cos(t?)

B
.
40sin(t?)

C
.
40cos(t?)

D
.
40sin(t?)

3
3. 某政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为
市民健身活动场所， 其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形
OAB
的半径为200m ，圆心角
?AOB?60
，点
Q
在
OA
上，点
M, N
在
OB
上，点
P
在弧
AB
上，
设
?POB?
?
.
（1）若矩形
MNPQ
为正方形，求
tan
?
的值； （2）为方便市民观赏绿地景观，从
P
点处向
OA,OB
修建两条观赏通 道
PS
和
PT
（宽度不计），使
PS?OA
，
PT ?OB
，其中
PT
依
PN
而建，为让市民有更多的时间
观赏 ，希望
PS?PT
最长，试问：此时点
P
应在何处？说明你的理由.
?

4. 如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段
AB,AC
和 以
BC
为直径的半圆弧组成，
其中
AC
为200m，
AC ?BC
，
?A?
?
3
，若在半圆弧
BC
，
线段
AC
，线段
AB
上各建一个观赏亭
D,E,F
，再修 两条
栈道
DE,DF
，使
DE
平行于
AB
，DF
平行于
AC
，记
?CBD?
?
(
?3
?
?
?
?
.
)
2
（1）试用
?
表示
BD
的长； （2）试确定点
E
的位置，
使两条栈道长度之和最大.

5.如图 ，
A,B,C
三地有直道相通，
AB?5km
，
AC?3km
，
BC?4km
.现甲、乙两
警员同时从
A
地出发匀速前往
B
地，经过
t
小时，他们之
间的距离为
f(t)
（单位： 千米）.甲的路线是
AB
，速度
是
5kmh
，乙的路线是
A CB
，速度为
8kmh
.乙到达
B
地后在原地等待.设
t? t
1
时，乙到达
C
地.
（1） 求
t
1
与
f(t
1
)
的值；
（2） 已知警员的对讲机的有效通话距离为3km.
当
t
1
?t?1
时， 求
f(t)
的表达式，并判断
f(t)
在
[t
1
, 1]

高中数学公开课教案
上的最大值是否超过3？说明理由.