高中数学怎么学都学不好-高中数学必修二第一章的教学视频教程
§2．3．2离散型随机变量的方差
教学目标：
知识与技能：了解离散型随
机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标
准差。
2
过程与方法：了解方差公式“
D
(
a
ξ+
b
)=
aD
ξ”，以及“若ξ～Β(
n
，
p
)，则
D
ξ=
np
(1—
p
)”，并会应用上
述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
1. 期望的一个性质:
E(a
?
?b)?aE
?
?b
2.若ξB（n,p），则Eξ=np
二、讲解新课：
1.
方差:
对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，…，且取这些值的概率分
别是
p
1
，
p
2
，…，
p
n
，…，那么, D
?
＝
(x
1
?E
?
)
2
?
p
1
＋
(x
2
?E
?
)
2
?p<
br>2
＋…＋
(x
n
?E
?
)
2
?p<
br>n
＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的
E
?
是随机变量ξ的期望．
2. 标准差:
D
?
的算术平方根
D
?
叫做随机变量ξ的标准差，记作
??
．
3.方差的性质：
（1）
D(a
?
?b)?aD
?
；
（2）
D
?
?E
?
?(E
?
)
；
（3）若ξ～
B
(
n
，
p
)，则
D
?
?
np
(1-
p
)
2
22
三、讲解范例：
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
ξ
P
从而
1 2 3 4 5 6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
111111
EX?1??2??3??4??5??6??3.5
; <
br>666666
1111
DX?(1?3.5)
2
??(2?3.5)<
br>2
??(3?3.5)
2
??(4?3.5)
2
?
6
666
11
?(5?3.5)
2
??(6?3.5)
2
??2.92
66
?
X?DX?1.71
.
例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X
1
元
获得相应职位的概率P
1
乙单位不同职位月工资X
2
元
获得相应职位的概率P
2
1000 1400 1800 2000
0.4 0.3 0.2 0.1
1200 1400 1600 1800
0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX
1
=
1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1
=
1400 ,
22
DX
1
= (1200-1400) ×0. 4
+ (1400-1400 ) ×0.3
22
+ (1600 -1400
)×0.2+(1800-1400) ×0. 1
= 40 000
EX
2
＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 +
2200×0.1 = 1400 ,
222
DX
2
=
(1000-1400)×0. 4+(1 400-1400)×0.3 +
(1800-1400)×0.2 + (2200-1400 )×0.l
= 160000 .
因为EX
1
=EX
2
, DX
1
，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位
不同职位的工资
相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不
同职位的工资差
距大一些，就选择乙单位．
例3．设随机变量ξ的分布列为
ξ
P
求Dξ
1 2 …
…
n
1
n
1
n
1
n
n
2
-1
n?1
解：（略）
E
?
?
,
D
?
?
12
2
例4．已知离散型随机变量
?
1
的概率分布为
?
1
P
1 2 3 4 5 6 7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
离散型随机变量
?
2
的概率分布为
?
2
P
3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解：<
br>E
?
1
?1?
111
?2??????7??4
；
777
111
D
?
1
?(1?4)
2
??
(2?4)
2
??????(7?4)
2
??4
；
??1
?D
?
1
?2
777
111
E<
br>?
2
?3.7??3.8??????4.3??4
；
777
D
?
2
=0.04,
??
2
?D
?
2
?0.2
.
四、课堂练习：
1 .已知
?
~B
?
n,p
?
,E
?
?8,D
?
?1.6
，则
n,p
的值分别是（ ）
A．
100和0.08
；
B．
20和0.4
； C．
10和0.2
；
D．
10和0.8
答案：1.D
2. 一盒中装有零件12个，
其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回
去，再取一个零件，直到取得
正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
五、小结 ：
⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：
⑵对于两个随机变量
?
1<
br>和
?
2
，在
E
?
1
和
E
?
2
相等或很接近时，比较
D
?
1
和
D
?<
br>2
，可以确定哪个随
机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
六、课后作业： 同步试卷
七、板书设计（略）
八、教学反思：
⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤
⑵对于两个随机变量
?
1和
?
2
，在
E
?
1
和
E
?<
br>2
相等或很接近时，比较
D
?
1
和
D
?2
，可以确定哪个随
机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要