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人教版高中数学必修二 空间中直线与直线之间的位置关系公开课优质教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-03 01:06
tags:高中数学公开课

高中数学联赛初赛试题分类汇编-高中数学极值点咋写

2020年10月3日发(作者:苏婴)


§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教材分析
空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系,直线的异面关系是本节的重点和难点.
异 面直线的定义与其他概念的定义不同,它是以否定形式给出的,因此它的证明方法也就与众不同.公理4
是空间等角定理的基础,而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础,请注意知识之间的相互关系,准
确把握两异面直线所成角的概念.
二、教学目标
1.知识与技能
(1)了解空间中两条直线的位置关系;
(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;
(3)理解并掌握公理4;
(4)理解并掌握等角公理;
(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。
2.过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3.情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.
三、重点难点
两直线异面的判定方法,以及两异面直线所成角的求法.
四、课时安排
1课时
五、教学设计


(一)导入新课
思路1.(情境导入)
在浩瀚的夜空,两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线),请同学们讨论这两直线的位置关系.
学 生:有可能平行,有可能相交,还有一种位置关系不平行也不相交,就像教室内的日光灯管所在的直线
与 黑板的左右两侧所在的直线一样.
教师:回答得很好,像这样的两直线的位置关系还可以举出很多,又 如学校的旗杆所在的直线与其旁边公
路所在的直线,它们既不相交,也不平行,即不能处在同一平面内. 今天我们讨论空间中直线与直线的位置
关系.
思路2.(事例导入)
观察 长方体(图1),你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中,线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线
的位置关系如何?

图1
(二)推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做异面直线?
②总结空间中直线与直线的位置关系.
③两异面直线的画法.
④在同一平面内,如果两直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互 相平行.在空间这个结论成立
吗?
⑤什么是空间等角定理?
⑥什么叫做两异面直线所成的角?
⑦什么叫做两条直线互相垂直?


活动:先让学生动手做题,再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确
的学 生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果:①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否 定的形式给出的,以否定形式
给出的问题一般用反证法证明.
②空间两条直线的位置关系有且 只有三种.结合长方体模型(图1),引导学生得出空间的两条直线的三
种位置关系:
??
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
?
?

?
?
平行直线:同一平面内,没有公共点;
?
?
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点.
③教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个 平面衬托,如图2.

图2
④组织学生思考:
长方体ABCD—A′B′C′D′中,如图1,
BB′∥AA′,DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗?
通过观察得出结论:BB′与DD′平行.
再联系其他相应实例归纳出公理4.
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示为:a∥b,b∥c
?
a∥c.
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用.
公理4是:判断空间两条直线平行的依据,不必证明,可直接应用.
⑤等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢?能否转化为用共面直线所成的角来表示呢?

可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3,异面直线a、b,在空间中任取一点O,过点O分别引a′∥a,b′∥b,则a′,b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.

图3
针对这个定义,我们来思考两个问题.
问题1:这样定义两条异面直线所成的角,是否合理?对空间中的任一点O有无限制条件?
答 :在这个定义中,空间中的一点是任意取的.若在空间中,再取一点O′(图4),过点O′作a″∥a,b″∥ b,
根据等角定理,a″与b″所成的锐角(或直角)和a′与b′所成的锐角(或直角)相等,即过空 间任意一点引
两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角(或直角)都是相等的,值是唯一的、 确定的,而与
所取的点位置无关,这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意:有时,为了方便 ,可将点O取
在a或b上(如图3).

图4
问题2:这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾?
答:没有矛盾.当a、b相交时,此 定义仍适用,表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛
盾,是相交直线所成角概念的推广.
⑦在定义中,两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就 说
这两条异面直线互相垂直.例如,正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的,其中有 的和
这条棱相交,有的和这条棱异面(图5).



图5
(三)应用示例
思路1
例1 如图6,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

图6
求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接EH,因为EH是△ABD 的中位线,所以EH∥BD,且EH=
同理,FG∥BD,且FG=
1
BD
.
2
1
BD
.
2
所以EH∥FG,且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
变式训练
1.如图6,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=B D.
求证:四边形EFGH是菱形.
证明:连接EH,因为EH是△ABD的中位线,所以 EH∥BD,且EH=
同理,FG∥BD,EF∥AC,且FG=
1
BD
.
2
11
BD
,EF=
AC
.
22
所以EH∥FG,且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AC=BD,所以EF=EH.
所以四边形EFGH为菱形.
2.如图6,空 间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD,AC⊥BD.


求证:四边形EFGH是正方形.
证明:连接EH,因为EH是△ABD的中位线,
所以EH∥BD,且EH=
1
BD
.
2
11
BD
,EF=
AC
.
22
同理, FG∥BD,EF∥AC,且FG=
所以EH∥FG,且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形 .
因为AC=BD,所以EF=EH.
因为FG∥BD,EF∥AC,所以∠FEH为两异 面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD,所以EF⊥EH.
所以四边形EFGH为正方形.
点评:“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.
例2 如图7,已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图7
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?
(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直?
解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.
(2)由BB′∥CC′ 可知,∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角,∠B′BA′=45°,所以直线BA′和CC′的夹< br>角为45°.
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′ 分别与直线AA′垂直.
变式训练
如图8,已知正方体ABCD—A′B′C′D′.



图8
(1)求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数;
(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.
解:(1)由A′B′∥C′D′可知,∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角,
∵BC′⊥C′D′,∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.
(2)连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知,∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角,
∵△AD′C是等边三角形.
∴∠AD′C=60°,即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.
点评:“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.
思路2
例1 在长方体A BCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分 别是棱AA
1
和棱CC
1
的中点.
求证:EB
1
∥DF,ED∥B
1
F.
活动:学生先思考或讨论,然后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.
证明:如图9,设G是DD
1
的中点,分别连接EG,GC
1
.

图9
∵EGA
1
D
1
,B
1
C
1
A
1
D
1
,
∴EGB
1
C
1
.四边形EB
1
C
1
G是平行四边形,


∴EB
1
GC
1
.
同理可证DFGC
1
,∴EB
1
DF.
∴四边形EB
1
FD是平行四边形.
∴ED∥B
1
F.
变式训练
如图10,在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是AA
1
、AB的中点,试判断 下列各对线段所在
直线的位置关系:

图10
(1)AB与CC
1

(2)A
1
B
1
与DC;
(3)A
1
C与D
1
B;
(4)DC与BD
1

(5)D
1
E与CF.
解:(1)∵C∈平面ABCD,AB
?
平面ABCD,又C
?
AB,C1
?
平面ABCD,∴AB与CC
1
异面.
(2)∵A
1
B
1
∥AB,AB∥DC,∴A
1
B
1
∥DC .
(3)∵A
1
D
1
∥B
1
C
1
,B
1
C
1
∥BC,∴A
1
D
1
∥BC ,则A
1
、B、C、D
1
在同一平面内.
∴A
1
C与D
1
B相交.
(4)∵B∈平面ABCD,D C
?
平面ABCD,又B
?
DC,D
1
?
平面AB CD,∴DC与BD
1
异面.
(5)如图10,CF与DA的延长线交于G,连接D
1
G,
∵AF∥DC,F为AB中点,∴A为DG的中点.


又AE∥DD
1

∴GD
1
过AA
1
的中点E.∴直线D
1
E与CF相交.
点评:两条直线平行,在空间中 不管它们的位置如何,看上去都平行(或重合).两条直线相交,总可
以找到它们的交点.作图时用实点 标出.两条直线异面,有时看上去像平行(如图中的EB与A
1
C),有时看
上去像相 交(如图中的DC与D
1
B).所以要仔细观察,培养空间想象能力,尤其要学会两条直线异面 判定
的方法.
例2 如图11,点A是BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是 AB、CD的中点,且EF=
2
AD,
2
求异面直线AD和BC所成的角.

图11
解:设G是AC中点,连接EG、FG.
因E、F分别是AB、 CD中点,故EG∥BC且EG=
11
BC
,FG∥AD,且FG=
AD.由异面直线所成
22
角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角 ,即∠EGF为所求.
由BC=AD知EG=GF=
2
1
AD
,又 EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.
2
2
点评:本题的平移点是AC中 点G,按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线,然后在△EFG中
求角.通常在出现线段中点时, 常取另一线段中点,以构成中位线,既可用平行关系,又可用线段的倍半关
系.
变式训练
设空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点,若AB=122
,CD=
42

且HG·HE·sin∠EHG=
123
,求AB和CD所成的角.


解:如图12,由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD,

图12
∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.
由题意可知EFGH是平行 四边形,HG=
∴HG·HE·sin∠EHG=
126
sin∠EHG.

126
sin∠EHG=
123
.
11
AB?62
,HE=
CD?23

22
∴sin∠EHG=
2
.故∠EHG=45°.
2
∴AB和CD所成的角为45°.
(四)知能训练
如图13, 表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相
互异面的有 对____________.

图13
答案:三
(五)拓展提升
图14是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:



图14
①AB与CD所在直线垂直;②CD与EF所在直线平行;③AB与MN所在直线成6 0°角;④MN与EF所
在直线异面.其中正确命题的序号是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.③④
答案:D
(六)课堂小结
本节学习了空间两直线的三种位置关系:平行、相交、异面,其中异面关系是重点和难点.
为了准确理解两异面直线所成角的概念,我们学习了公理4和等角定理.
(七)作业
课本习题2.1 A组3、4.

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