1.2子集、全集、补集(优秀经典公开课比赛教案)

1.2 子集、全集、补集
一、 学习内容、要求及建议
知识、方法 要求 建议
子集 有限集的子集个数公式 理解 子集中不要遗忘空集，分类讨论思想
和数形结合思想在解题中有很重要
全集、补集 文氏图 理解
的运用.
二、 预习指导
1. 预习目标
(1)了解集合间的包含关系, 全集和空集的意义；
(2)理解子集、真子集和补集的概念及意义；
(3)重视分类讨论思想以及数形结合思想的运用，借助数轴、文氏图解决问题.
2. 预习提纲
(1)通过观察具体的集合，从“数”和“形”两个方面感受并归纳出集合与集合之间的包含
关系.
(2)先考察元素个数比较少的集合的子集个数，然后猜想归纳n个元素的集合的子集个数.
(3)试用Venn图探求补集具有的性质.
(4)课本例1要求写出一个两元素集合的所有 子集，可以按子集中的元素个数0,1,2的顺序
分别列出，注意不要重复和遗漏，特别是不要遗漏空集 和原集合本身，当然也可以用有限集
n
的子集个数公式进行检验(n个元素的集合有2个子集) ；例2是判断集合之间是否具有包含
关系，用列举法表示的集合间关系容易判断，而要判断用描述法表示 的集合间的关系，有
时会用到数轴；例3把求一元一次不等式组的解集、求补集这两个问题融合在一起， 并将集
合表示在数轴上，数形结合，注意实心点与空心点的区别.
3. 典型例题
例1 写出集合
A?{a,b,c}
的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集． < br>解：子集为：
?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b, c}
．
真子集：
?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}
．
点评：该题虽然简单，但在解题过程中常常漏掉空集与集合本身，一定要予以相当的关注．
例2 若集合
A?{x|0?x?2}
.分别求出当全集为下列集合时的
?< br>U
A
.
(1)
U?R
； (2)
U?{x|x??1}
；(3)
U?
{x|0?x?3}
.
分析：用不等式表示的实数可以在数轴上表示出来,再根据补集的概念，求补集实质上就是
利用 “不满足”“相反”去求出其补集．
解：集合
A?{x|0?x?2}
在数轴上可表示为：
(1)当
U?R
时，
?
U
A
=
{x|x?0或x?2}
；
(2)当
U?{x|x??1}
时，
?
U
A
=
{x|?1? x?0或x?2}
；
(3)当
U?
{x|0?x?3}
时，?
U
A
=
?{x|x?0或2?x?3}
.
012

点评：画数轴，表示不等式是 “<”、“>”或“
?
”、“
?
”或某一点时，一定要注意区分是
空心点还是实心点，同时要注意 所求区间端点能否取到．
例3 已知集合
M?
?
1,4,5< br>?
，且集合
M
中至多有一个奇数，求满足条件的集合
M
.
分析：“至多有一个奇数”的含义是：只有一个奇数或不含奇数.
解：根据题意，对集合
M
分三种情况讨论：
①集合
M
是空集
?
；
②集合
M
不含奇数，为
?
4
?
；
③集合
M
只含有一个奇数，为
?
1
?
,
?
5?
,
?
1,4
?
,
?
4,5
?
.
所以满足条件的集合
M
共有6个，分别为
?,
?
4< br>?
,
?
1
?
,
?
5
?
,< br>?
1,4
?
,
?
4,5
?
.
点评 ：解答
M?
?
1,4,5
?
这样一类集合问题时，
M??< br>常常会被遗漏.
例4 写出满足关系{1，2}
?
A
?
{1 ，2，3，4，5}的所有集合
A
的个数.
分析：本题等同于求{3，4，5}的所 有子集的个数，因为{3，4，5}的任意一个子集再添加元
素1，2后得到的就是满足条件的集合A
．
解：{3,4,5}中共有3个元素，故它有
2
即8个子集，所有 这些子集均添加元素1和2，
得到的就是满足条件的所有集合A, 所以集合A的个数为8． 推广：求满足条件：
{a
1
,a
2
,???,a
m}?A?{a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
}
,(
m?n
)的集合A的个数．
3
1}
，求实数
a
；例5 (1)已知全集
U?{2,0 ,3?a}
，子集
P?{2,a?a?2}
，且
?

UP?{?
(2)已知全集
S?{1,3,x?3x?2x}
，
A?{1, |2x?1|},
如果
?
S
A?{0}
,则这样的实
数x
是否存在？若不存在，请说明理由．
分析：对于第1小题，要深刻理解补集的定义，注意到
(?
U
P)

32
22
U
，
P
U
U)
，注意集合
U
和
P
的相同点与不同点，由全集、补集的定义，列方程组求解．对于第2小题，属 于探
索性问题，这类问题的解法常常是假设这样的问题存在，从此出发，依据相关的的条件、性
质和定理等进行推理论证，推出一个明显的结论，在根据这个结论是否与条件、性质、定理、
假设等矛盾 ，得出最终结果．
?
3?a
2
??1
解：(1)由补集的定义得< br>?
2
，解得
a?2
．
?
a?a?2?0
(2)
?
?
S
A?{0}
，
?
0?S
且< br>0?A
．
x?3x?2x?0
，即
x(x?1)(x?2)?0
，
32
?
x?0
，或
x??1
，或
x??2< br>．
当
x?0
时，
|2x?1|?1
，则A中有重复的元素，故
x?0
；
当
x??1
时，
|2x?1|?3
，
A?{1,3}

S
，
?
S
A?{0}
；

当
x??2
时，
|2x?1|?5
，
A?{1,5}?S
，故
x??2
．
综上：所求的实数
x
存在，此时，
x??1
．
4. 自我检测 < br>(1)已知集合
A?
?
xx?3k,k?Z
?
,B?
?
xx?6k,k?Z
?
, 则
A
与
B
之间最恰当的关系是 .
①
A?B
②
A?B
③.
A
?
B
④
A
?
B

(2)设集合
M?
?
x|?1?x?2< br>?
，
N?
?
x|x?k?0
?
，若
M?N< br>，则
k
的取值范围是 .
?k1??k1?
(3)已 知集合
M?
?
xx??,k?Z
?
,
N?
?
xx??,k?Z
?
. 若
x
0
∈
M
，则
x
0
与
N
的关
2442
? ???
系是 .
2
(4)已知集合
P
={
x|
x
=1}，集合
Q
={
x
|
ax
= 1}，若
Q
?
P
，那么
a
的值是 .
(5)已知集合
A?
?
a,b,c
?
，则集合
A< br>的真子集的个数是 .
?
?
(6)已知
A
={2 ,3}，
M
={2,5,
a
2
?3a?5
}，
N< br>={1,3,
a
2
?6a?10
}，
A
?
M
，且
A
?
N
，求实数
a
的值.
(7)设全集
U?{?,5,?3},??A?{x|3x?Px?5?0}
，而且
1
3
1
3
2
1
??B
?{x|3x
2
?10x?q?0},
求
?
U
A
,
?
U
B
.
3
三、 课后巩固练习
A组
1．设
M
={正方形}，
T
={矩形}，
P
={平行四边形}，
H< br>={梯形}，下列包含关系
中不正确的是①
M?T
；②
T?P
；③
P?H
；④
M?P
.
2．写出集合{(-2,3),(3, -2)}的所有子集______________________________．
3．若S
={
x
|
x
=2
n
+1,
n
∈
Z
}，
T
={
x
|
x
=4
k
±1，
k
∈
Z
},则
S
,
T
的关 系_______．
4．设集合
M< br>={
x
|
x
=
k1k1
?
,
k?
Z
},
P
={
x
|
x
=
?
,
k
?
Z
}，则
M
,
N
的关系_______． 2442
5．若
A
={
a
|
a
=3
n
+1,
n
∈
Z
}，
B
={
b
|< br>b
=3
n
-2,
n
∈
Z
},
C< br>={
c
|
c
=6
n
+1,
n
∈Z
}，则
A
，
B
，
C
的关系
为___ __．
22
6．已知
a
为给定的实数，那么集合
M
={
x
|
x
–3
x
-
a
+2=0,
x
∈
R
}的子集的个数为_______．
7．当
{a,0, ?1}?{4,b,0}
时,
a?________,b?__________
．
2
8．若集合
A?{?1,2},
集合
B?{x|x?ax?b?0 },
且
A?B
，则
a?
_____ ,
b?
_____．
9．已知集合
A?{x|x?2}
，
B?{x|x?a}
，若
A
?
B
，则实数
a
的取值 范围是________．
10．集合
U
={三角形}，集合
P
= {直角三角形}，则
P
在
U
中的补集为___________．
11．已知全集
U?{x|?1?x?5}
，集合
P?{x|1?x?a}
， 若
P?
?
?
，则
a
的取值范围
是________ _．
a
12．已知全集
U?
?
3,5,7
?
，数 集
A?3,a?7
，且
?
U
A?
?
7
?< br>，则的值为_____．
13．若
U?N,A?{x?N|x?2},
用列举 法表示集合
?
U
A
.
??

?B
. 14．已知
A?{1,2,3,4,5},B?{4,5,6,7,8},
?
U
A?
?
6,7,8,9,10
?
求
U
15．设全集
U?{1,2,3,4},
A?{x?U|x?mx?n?0}
，
?1,3
?
,求
m,n
的值．
U
A?
?
2
B组
16．用适当的符号填空：
(1)
{x|x?2x?3?0}

{x|x?x?1?0}
；
(2)
M?{y|y?x?2x?1,x?R}

P?{x|?2?x?4}
；
(3)
A?{x|x?a?2a?1,a?R}

B?{y|y?b?2b?1,b?R}
.
17．已知
M?{yy?x?1 ,x?R},P?{xx?a?1,a?R}
,则集合M与P的关系是____．
18．集合
A?{yy??x?4,x?N,y?N}
的真子集的个数为_________．
19.(1)满足关系{1}
?
M
?
?
{1，2，3，4}的集合 M有 个.
(2)已知
M?{0,1,2}
，且
M?{0,2, 4}
，则满足条件的集合
M
为_________.
20．集合
P ?
?
3,4,5
?
,Q?
?
4,5,6,7
?，定义
P*Q?
??
a,b
?
|a?P,b?Q
?，则
P*Q
中的元
素个数为___________．
21．若集合
A?{xkx?4x?4?0,x?R}
中只有一个元素,则实数
k
的值为_ ______.
2
2
2
22
2
22
1,a,b
?
,B?a,
a
2
,ab,A?B
，则
a
2008
?
b
2009
的值为_________． 22．设集合
A?
?
23．已知
A?{xx??1或x?5},B?{xa?x?a?4}
,若
A
?
?
B
，则实数
a
的取值范围是
_ ______________．
24．设x，y，z是非零实数，若
a?
??< br>xyzxyz
???
，则所有不同的
a
值组成的集
|x||y ||z||xyz|
合的非空真子集的个数为________________．
25.设 全集
U
=
Z
，
A
={
x
|
x=3
k
,
k
∈
Z
},求
?
U
A
．
26.设全集
U
={
x
|
x
=1
1
,
n
∈
N
}，
A
={
x
|
x
=
,n?N
},求
?
U
A
．
n
n
2
4
22
x
27．已知全集
U?{1 ,2,x?x},A?{1,x?2},
?
U
A?
?
6
?< br>，求实数的值.
28．已知集合
A?{1,4,a}
,集合
B?{1,a}
,
B?A
,求集合
A
和集合
B

Ｃ组
29．(1)
P
＝{
x
|
x
－2< br>x
－3＝0}，
S
＝{
x
|
ax
＋2＝0} ，
S
?
P
，求
a
的值；
2
2

(2)
A
＝{
x
|－2≤
x
≤5} ，B＝{
x
|
m
＋1≤x
≤2
m
－1}，
B
?
A
,求
m.
30．设集合
A?{x|x?4x?0}
，
B?{x|x?2(a? 1)x?a?1?0}
，若
B?A
，求实数
222
a
的值．
31．已知集合
A?a，a?d，a?2d，B?a，aq，aq
2
，其中< br>a
，
d
，
q?R
，若
A
=
B
，
求
q
的值．
32．设
U?{1,2,3,4,5},A?{x |x?5x?a?0}
，且
?
?
?
A
?
?
U
，求
a
的值及
?
U
A
.
2
??
??
知识点
子 集
全集、补集
综 合 题
四、 学习心得



五、 拓展视野
题号



注意点
空集是任何集合的子集，注意不要遗漏空集；会用有限
集的子集个数公式.
注意运用数形结合思想.
注意运用数形结合思想和分类讨论思想.
神奇的希尔伯特旅馆
所有的正整数构成的集合与所有的正奇数所构成的集合所含有的元素哪一个多？
回答这一问题之前，让我们先参观一个神奇的希尔伯特旅馆吧．
风景秀丽的某镇每天都吸引着许多 前来观光的旅客，镇上唯一的一家旅馆——希尔伯
特旅馆，生意格外红火，它因为有无穷多间客房而被誉 为世界上最大的旅馆．
有一天，店里的无穷多个房间都住满了客人，到傍晚时又来了一位旅客，尽 管值班的服
务生遗憾地告诉它已经没有房间了，可是这位旅客在镇上别无选择，他再三恳求值班的服务< br>生为他想想办法，这时老板的女儿恰好经过，她问清了情况后对服务生说：让已经住下的
旅客都调 换一下房间，1号房间的客人住到2号房间去，2号房间的客人住到3号去，依次
类推，这么就空出l号 房间，于是这位客人高高兴兴地住了进去．
第二天，希尔伯特旅馆来了一个庞大的旅游团要求住宿 ，他们说共有可数无穷多位，值
班的服务生赶快去向老板的女儿请教，看是否还有办法让他们住下，老板 的女儿想了一下说：
你让1号房间的客人搬到2号去，2号房间的客人搬到4号，3号的搬到6号，依次 类推，k
号房间的客人搬到2k号去住，这样下去，1号、3号、5号、7号……的房间都空出来了，< br>让他们住进去就行了．
第三天，已经住下的所有客人都来了可数无穷多个亲戚，他们也都要 求住下，老板的女
儿再次想出了奇妙的办法，她把每一个客人所需的房间都编上了号，如第一个客人所需 的房
间为（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）…；第二个客人所需的房间为（2，1）（2，2 ）（2，3）
（2，4）…；依次类推，第m个客人所需的房间为（m，1）（m，2）（m，3）（m ，4）…；…
然后把它们整理成一个图：

图中按照箭头 所指顺序，分别安排在1号、2号、3号……客房，这样所有的客人都如
愿以偿，住进了希尔伯特旅馆．
无限由有限构成，有限可以看作无限的部分，有限世界的部分规则并不适用于无限空间，
对 于无限空间而言，局部不一定小于整体，无限空间还有很多奇妙的现象，想进一步领略无
限的神奇吗？努 力吧！