高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》432教案教学设计 一等奖名师公开课比赛优质课评比

2020年10月3日发(作者：秦毅丰)

§2.1
指数与指数函数复习
1．分数指数幂
(1)我们规定正 数的正分数指数幂的意义是mna＝nam(a>0，m，
n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0 ，m，n∈N*，且n>1下，
根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的
意义 与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna＝1mna(a>0，
m，n∈N*，且n>1).0的正 分数指数幂等于0；0的负分数指
数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras ＝ar＋s，(ar)s＝ars，
(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)

(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0(5)当x>0时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
知识拓展
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键
点：(1，a)，(0,1)，－1 ，1a.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y ＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx
的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d> 1>a>b>0.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝
ax(a>0，a≠ 1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有< br>关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
题组一
思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)nan＝(na)n＝a(n∈N*)．(
)
(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘．(
)

(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(

)
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(
)
(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(

)
题组二
教材改编
2．[P59A组T4]化简416x8y4(x＜0，y＜0)＝________.
3． [P56例6]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点
P2，12，则f(－1)＝ ________.
4．[P59A组T7]已知a＝133()5，b＝143()5，c＝343 ()2，
则a，b，c的大小关系是________．
题组三
易错自纠
5．计算：133()2×－760＋148×42－
232()3＝________.
6．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实
数a的取值范围是____ ____．
7．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最

< p>
小值大a2，则a的值为________．
题型一
指数幂的运算
1．化简121()4·4ab－130.1－1·a3·b－312(a>0，b>0)
＝_____ ___.
2．计算：2327()8＋120.002－10(5－2)－1＋π0＝
___ _____.
3．(2017·兰州模拟)化简：
4333382()42aabbaaaa aababa＝________.(
a>0)
题型二
指数函数的图象及应用
典例
(1)函数f(x)＝1－ex的图象大致是(
)
(2)已知函数 f(x)＝2x－1，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，
则下列结论中，一定成立的是(
)
A．A＜0，b＜0，c＜0
B．A＜0，b≥0，c＞0
C．2－a＜2c
D．2a＋2c＜2

跟踪训练
(1)已知实数a，b满足等式2
018a＝2
019b，下列五个关系式： < br>①0能成立的关系 式有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
题型三
指数函数的性质及应用
命题点1
指数函数单调性的应用
典例
(1)(2017·河南百校联考)已知f(x)＝2x－2－x，a＝147()9，
b＝159()7，则f(a)，f(b)的大小关系是________．
(2)设函数f(x)＝
12x－7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取 值范围是
________．
命题点2

与指数函数有关的复合函数的单调性
典例
(1)已知函数f(x) ＝22xm－(m为常数)，若f(x)在区间[2，
＋∞)上单调递增，则m的取值范围是_____ ___；
(2)函数f(x)＝2211()2xx的单调减区间为____________．
(3)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．
命题点3
指数函数性质的综合应用
典例
已知函数f(x)＝2431()3axx.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

跟踪训练
(1)已知函数f(x)＝
－12x，a≤x＜0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－ 8,1]，则
实数a的取值范围是
(
)
A．(－∞，－3]
B．[－3,0)

C．[－3，－1]
D．{－3}
( 2)(2017·江淮十校第三次联考)函数f(x)＝x2－bx＋c满
足f(x＋1)＝f(1－x )，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大
小关系是(
)
A．F(bx)≤f(cx)
B．F(bx)≥f(cx)
C．F(bx)＞f(cx)
D．与x有关，不确定
指数函数底数的讨论
典例
已知函数y＝22xxba(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间－
32 ，0上有最大值3，最小值52，
试求a，b的值．
错解展示：
现场纠错
解
令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x∈－32，0，∴t∈[－1,0]．
①若a>1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为增函数，
∴at∈1a，1，b＋22xxa＋∈b＋1a，b＋1，

依题意得
b＋1a＝52，b＋1＝3，解得
a＝2，b＝2.
②若0∴at∈1，1a，b＋22xxa＋∈b＋1，b＋1a，
依题意得
b＋1a＝3，b＋1＝52，解得
a＝23，b＝32.
综上知，a＝2，b＝2或a＝23，b＝32.
纠错心得
在研究指数型函数的单调性或值域问题时，当底数含参数时，
要对底数分类讨论.