高中数学必修四解读与拓展答案-高中数学 极坐标的用途
教学目标:
1.了解随机数的概念和意义;
2.了解用模拟方法估计概率的思想;
3.了解几何概型的基本概念、特点和意义;
4.了解测度的简单含义;
5.了解几何概型的概率计算公式.
教学方法:
谈话、启发式.
教学过程:
一、问题情境 问题1:取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的
长都不小于1m的概率
有多大?
问题2:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环,
从外向内为白色、黑色、蓝色、
红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.
奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm,运动员在70m外射.假
3m
122cm
设射箭都能中靶,且
射中靶面内任意一点都是等可能的,那么射中黄心的概率有
多大?
能用古典概型描述该事件的概率吗?为什么?
(1)能用古典概型描述事件的概率吗?为什么?
(2)试验中的基本事件是什么?
(3)每个基本事件的发生是等可能的吗?
(4)符合古典概型的特点吗?
二、学生活动
问题1:射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122
cm
的大圆内的任意一点.
问题2:射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面
直径为122cm
的大圆内的任意一点.
三、建构数学
几何概型的特点:
(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域
D
中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域
d内”
为事件
A
,则事件
A
发生的概率:
P(A)?
四、数学运用
1.例题.
d的测度
.
D的测度
例1
两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与
两端距离都大于3m的概率.
解:记“灯与两端距离都大于3m”为事件
A
,
由于绳长8
m,当挂灯位置介于中间2m时,事件
A
发生,于是事件
A
发生的概
率
P
(
A
)=
21
=.
84
例2 取
一个边长为2
a
的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,
求豆子落入圆内的
概率.
2a
解:记“豆子落在圆内”为事件A,
圆的面积
?<
br>a
2
?
P(A)???
正方形面积a
2
44
答:豆子落入圆内的.概率为
4
?
数学拓展:模拟撒豆子试验估计圆周率.
如果向正方形内撒
n
颗豆子,其中落在圆内的豆子数为
m
,那么
当
n
很大时,比值
m
m
,即频率应接近于
P
(
A
),于是有
P(A)?.
n
n
4m
由此可得
π
?
n
2.练习.
(1)在数轴上,设点
x<
br>∈中按均匀分布出现,记
a
∈(-1,2]为事件
A
,则
P<
br>(
A
)=( )
A.1 B.0
C.
11
D.
23
(2)在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈
病的种子,从中随机取出10mL,
含有麦锈病种子的概率是多少?
(3)在1万平方公里的
海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海
域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
(4)如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影
部分的概率.
(5)在正方形
ABCD
内随机取一点
P
,求∠
APB
> 90°的概率.
D
A
B
A
P
C
D
C
P
B
1a
2
?
(
)
d的测度
?
22
解:P(A)??
?.
2
D的测
度a
8
变式:∠APB =90°?
P(B)?
d的测度0
?
2
?0.
D的测度a
结论:概率为0的事件可能发生!
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容:
1.古典概型与几何概型的对比.
相同:两者基本事件的发生都是等可能的;
不同:古典概型要求基本事件有有限个,
几何概型要求基本事件有无限多个.
2.几何概型的概率公式.
P(A)?
构成事件A的区域长度(面积或体积等)
试验的全部结果所构成
的区域长度(面积或体积等)
3.几何概型问题的概率的求解.
(1)古典
概型与几何概型的区别在于:几何概型是无限多个等可能事件的情
况,而古典概型中的等可能事件只有有
限多个;
(2)
D
的测度不为0,当
D
分别是线段、平面图形、立
体图形时,相应的 “测
度”分别是长度、面积和体积.
(3)区域应指“开区域”,不包含
边界点;在区域
D
内随机取点是指:该点
落在
D
内任何一处都是等可
能的,落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正
比而与其性状位置无关.