高中数学联赛 二等奖-高中数学卷模拟试题
§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
一、教材分析
空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本
节的重
点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础
上会判
断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（
2）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关
系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度
与价值
让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
三、教学重点与难点
正确判定直线与平面的位置关系.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），你能发现长方体ABC
D—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体
ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平
面有几种位置关系？
图1
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做直线在平面内？
②什么叫做直线与平面相交?
③什么叫做直线与平面平行?
④直线在平面外包括哪几种情况?
⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.
活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬.
讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.
②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.
③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.
④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
⑤
直线在平面内
a
?
α
直线与平面相交 a∩α=A
直线与平面平行 a∥α
（三）应用示例
思路1
例1 下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A.0
B.1 C.2 D.3
分析：如图2,
图2
我们借助长方体模型，棱AA
1
所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA
1
所在直线与平面ABCD
相
交，所以命题①不正确；
A
1
B
1
所在直线平行于平面A
BCD，A
1
B
1
显然不平行于BD，所以命题②不正确；
A
1
B
1
∥AB,A
1
B
1
所在直线平行
于平面ABCD，但直线AB
?
平面ABCD,所以命题③不正确；
l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.
答案：B
变式训练
请讨论下列问题：
若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.
图3
解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：如图4,∵a∥b,
图4
∴a、b确定一个平面，设为α.
∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l,∴AB
?
α，即l
?
α.
同理b、c确定一个平面β，l
?
β,
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
∵两条相交直线确定一个平面,
∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
变式训练
已知a
?
α,b
?
α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求证：PQ
?
α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.
∴P∈β，a
?
β，P
?
a.又P∈α，a
?
α，P
?
a,
由推论1：过P、a有且只有一个平面,
∴α、β重合.∴PQ
?
α.
点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.
思路2
例1
若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.
图5 <
br>用符号语言表示为：若a∩b=A,b
?
α,则a
?
α或a∩α=A.
变式训练
若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.
图6
用符号语言表示为：若a与b异面,a
?
α,则b∥α或b∩α=A.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
例2 若直线a不平行于平面α,且a
?
α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交
C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线
分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a
?
α,则a与平面α相交.
图7
例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、C
D在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直
线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；
平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.
答案：D
变式训练
不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A
?
α,给出以下三个命题： <
br>①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边<
br>与α相交.
其中真命题是_____________.
分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，
图8
其中真命题是①.
答案：①
变式训练
若直线a
?
α,则下列结论中成立的个数是( )
(1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交
(3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内
不存在与a平行的直线
A.0
B.1 C.2 D.3
分析：∵直线a
?
α,∴a∥α或a∩α=A.
如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.
图9
答案：A
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外
考虑问题要全
面即注意发散思维.
（四）知能训练
已知α∩β=l,a
?
α且a
?
β,b
?
β且b
?
α,又a∩b=P.
求证：a与β相交,b与α相交.
证明：如图10,∵a∩b=P,
图10
∴P∈a,P∈b.
又b
?
β,∴P∈β.
∴a与β有公共点P,即a与β相交.
同理可证,b与α相交.
（五）拓展提升
过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？
解：(1)如图11,
C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.
如图12,
图11 图12 图13
显然，平面PQ是符合要求的平面.
(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直
线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、
BD都平行.
点评：判断一个命
题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全
面即注意发散思维.
（六）课堂小结
本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
（七）作业
课本习题2.1
A组7、8.