高中数学补差方法-高中数学竞赛寒假集训
§4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教材分析
本节课研究圆与
圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实
际问题.教材是在初
中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与
圆的位置关系,得到
圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平
面几何问题的深化
,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样
有利于培养学生
数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和
解决问题的技巧
对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动
性,自主学习和
探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结
构与思维方法
上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度
来看不会存在
太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的
位置关系.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用
平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.2．过程与方法
设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1
）当l ＞r
1
+r
2
时，圆C
1
与圆C
2
相离；
（2）当l = r
1
+r
2
时，圆C
1
与圆C
2
外切；
（3）当|r
1
– r
2
|＜l
＜r
1
+r
2
时，圆C
1
与圆C
2
相交；
精品资料，祝您成功。
（4）当l = |r
1
– r2
|时，圆C
1
与圆C
2
内切；
（5）当l＜|r1
– r
2
|时，圆C
1
与圆C
2
内含.<
br>3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想
.
三、教学重点与难点
教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.
教学难点：判断圆和圆的位置关系.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
判
断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的
圆心
距O
1
O
2
,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关
系.
两圆的位置关系：
外离
d＞R+r
外切
d=R+r
相交
|R-r|＜d＜R+r
内切
d=|R-r|
内含
d＜|R-r|
在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与
圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课
题,教师板书课题圆与圆的位置关系.
思路
2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种
呢？如
何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
精品资料，祝您成功。
①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？
②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？
③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？
④根据你所画出的图形,可以直观
判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言
呢？
⑤如何判断两个圆的位置关系呢？
⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？
⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？
活动：
教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流
.教师
引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方
法.学生
观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对
这些学生应该
给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代
数的方法来解决
几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆
的位置.学生互
相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两
点间距离公式寻求
解题的途径.
讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五
类,分别是外离、外切、相交、内切、
内含.
②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆
的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,
利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.
③略.
④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(
d)与两圆半径
(r,R)的和与差之间的关系.
精品资料，祝您成功。
<
br>⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来
判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
1°当d＞R+r时,圆C
1
与圆C
2
外离；
2°当d=R+r时,圆C
1
与圆C
2
外切；
3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C
1
与圆C
2
相交；
4°当d=|R-r|时,圆C
1
与圆C
2
内切；
5°当d＜|R-r|时,圆C
1
与圆C
2
内含；
二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程
组有
两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.
总结比较两种方法的优缺点.
几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.
代数方法：
1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是
外切,无交点时不能判
断内含还是外离).
2°优点是可以求出公共点.
⑥若将两
个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交
两圆的公共
弦的方程.
⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题
.由点
到直线的距离公式来判断.
（三）应用示例
思路1
例1 已知
圆C
1
：x
2
+y
2
+2x+8y-8=0,圆C
2
：x
2
+y
2
-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系. <
br>活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两<
br>精品资料，祝您成功。
圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心
距与两圆半径的和与差之间的关系判断.
22
?
?
x?y?2x?8y?8
?0,
解:方法一:圆C
1
与圆C
2
的方程联立得到方程组
?
22
?
x?y?4x?4y?2?0.
?
(1)
(2)<
br>
①-②得x+2y-1=0,
③
由③得y=
1?x
,把上式代入①并整理得x
2
-2x-3=0.
④
2
方程④的判别式Δ=(-2)
2
-4×1×(-3)=16＞0,所以
方程④有两个不等的实数根,即圆C
1
与圆C
2
相交.
方法二:把
圆C
1
:x
2
+y
2
+2x+8y-8=0,圆C
2
:x
2
+y
2
-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1
)
2
+(y+4)
2
=25与
(x-2)
2
+(y
-2)
2
=10.
圆C
1
的圆心是点(-1,-4),半径长r
1
=5;
圆
C
2
的圆心是点(2,2),半径长r
2
=
10
.
22
圆C
1
与圆C
2
的连心线的长为
(?1?2)?(?
4?2)
=3
5
,圆C
1
与圆C
2
的半径长之和为
r
1
+r
2
=5+
10
,
半径长之差为r
1
-r
2
=5-
10
.
而5-
10
＜3
5
＜5+
10
,即r
1
-
r
2
＜3
5
＜r
1
+r
2
,
所以圆C
1
与圆C
2
相交,它们有两个公共点A、B.
点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观.
变式训练
判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.
(1)(x+2)
2
+(y-2)
2
=1与(x-2)
2
+(y-5)
2
=16,
(2)x
2
+y
2
+6
x-7=0与x
2
+y
2
+6y-27=0.
解:(1)根据题意
,得两圆的半径分别为r
1
=1和r
2
=4,两圆的圆心距d=
[2
?(?2)?(5?2)
=5.
因为d=r
1
+r
2
,所以两圆外切.
(2)将两圆的方
程化为标准方程,得(x+3)
2
+y
2
=16,x
2
+(
y+3)
2
=36.
22
精品资料，祝您成功。
故两圆的半径分别为r
1
=4和r
2
=6,
两圆的圆心距d=
(0?3)
2
?(3?0)
2
?32
.
因为|r
1
-r
2
|＜d＜r
1
+r
2<
br>,所以两圆相交.
例2 已知圆C
1
:x
2
+y
2
+2x-6y+1=0,圆C
2
:x
2
+y
2
-
4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
活动：学生审题,思考并交流,
探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆
方程,联立方程组,消去x2
项、y
2
项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公
共弦
长.
解:设两圆交点为A(x
1
,y
1
)、B(x<
br>2
,y
2
),则A、B两点坐标满足方程组
22
?
?
x?y?2x?6y?1?0,
?
22
?
?
x?y?4x
?2y?11?0.
(1)
(2)
①-②,得3x-4y+6=0.
因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C
1
的圆心(-1,3),半径r=3.
又点C
1
到直线的距离为d=
|?1?3?4?3?6|
9
=.
22
53?(?4)
所以AB=2
r?d
22
924
24
?2
3
2
?()
2
?
,即两圆的公共弦长为.
55
5
点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.
思路2
例1 求过点A(0,6)且与圆C:x
2
+y
2
+10x+10
y=0切于原点的圆的方程.
图1
精品资料，祝您成功。
活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图1.所求圆经<
br>过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.
解:将圆C化为标准方程,得(x+5)
2
+(y+5)
2
=50,
则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.
设所求圆的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
.
由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有 <
br>?
(0?a)
2
?(0?b)
2
?r
2
,<
br>?
a?3,
?
?
222
(0?a)?(6?b)?r,
解得
?
?
b?3,
?
a?b?0,
?
?
r?32.
?
于是所求圆的方程是(x-3)
2
+(y-3)2
=18.
点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种
方程形式更恰当,要根据
题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.
例2
已知⊙O方程为x
2
+y
2
=4,定点A(4,0),求过点A且和⊙O相切
的动圆圆心的轨迹方程.
活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和
,两圆内切,连心线长等于
两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这
个几何条件坐标化,即得到它
的轨迹方程.
解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.
当动圆P与⊙O外切时,|PO|=|PA|+2；
当动圆P与⊙O内切时,|PO|=|PA|－2.
综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.
将此关系式坐标化,得
|x
2
?y
2
?(x?4)
2
?y
2
|
=2.
y
2
化简可得(x－2)－=1.
3
2
精品资料，祝您成功。
解法二：由解法一可得动点P满足几何关系||OP|－|PA||=2,
即
P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2,所以P点轨迹是以O、A为焦点,2为实轴长的双
曲线
,中心在OA中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=
c
2
?
a
2
?3
,所以轨迹方程为(x－2)
2
y
2
－=
1.
3
点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识
、解析几何、
代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几
何的知识运用.
（四）知能训练
课堂练习P
141
练习题
（五）课堂小结
本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.
（六）作业
习题4.2 A组8、9、10、11.
精品资料，祝您成功。