高中数学全国试卷分析-高中数学 研究性教学
教学目标：
1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，
2．学会计算数据的方差、标准差；
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．
教学方法：
引导发现、合作探究．
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉
强度（单
位：kgmm）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．
甲
乙
110
115
120
100
130
125
125
130
120
115
125
125
135
125
125
145
135
125
125
145
2
提出问题：哪种钢筋的质量较好？
二、学生活动
由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，
最大值145高
于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我
们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）．由图可以看出，
乙的极差较大，数据点较
分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运
用极差对两组数据进行比较，
操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不
大时，就不容易得出结论．
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差．
三、建构数学
1．方差：
?
1
n
2
2．标准差：
s?
(x?x)
?
i
n
i?1
标准差也可以刻画数据的稳定程度
．
3．方差和标准差的意义：
描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．
四、数学运用
例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：
thm
2<
br>），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
品种
甲
乙
第1年
9.8
9.4
第2年
9.9
10.3
第3年
10.1
10.8
第4年
10
9.7
第5年
10.2
9.8
解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为
÷5＝0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
÷5＝0.24
因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．
例2 为了
保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已
知某校使用的100只日光灯在必须换
掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的
平均使用寿命和标准差．
天数
灯泡
数
151~1
80
1
181~2
10
11
211~2
40
18
241~2
70
20
271~3
00
25
301~3
30
16
331~3
60
7
361~3
90
2
分析 用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．
解：各组中值分别
为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为
165×1%＋1
95×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×
7%＋
375×2%＝267.9≈268(天)
这些组中值的方差为
1100×＝2128.60(天
2
)．
故所求的标准差约
2128.6?46
（天）
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.
巩固深化，反馈矫正：
（1）课本第71页练习第2，4，5题 ；
（2）在一次
歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，
9.9，9.6，9.4，
9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方
差分别为
；
五、归纳整理，整体认识
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
（1）用样本平均数估计总体平均数．
（2）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越
精确．
2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化
的幅度．