数学归纳法教学设计-公开课

“新苗杯”初赛教学设计




课题：
学科组：
数学归纳法（第一课时）
数学组
授课教师： 胡潇


1 6

《数学归纳法（第一课时）》教学设计
一、教材内容分析
人教版《普通高中课程标准试验教科书·数学》（A 版选修2-2）第二章“推理与证明”
的 主要内容是数学的基本思维过程，也是人们生活和学习中经常使用的思维方式．该章内容
分为三小节：合 情推理和演绎推理、直接证明和间接证明、数学归纳法．通过合情推理归纳
出的有一类特殊问题——与正 整数n有关的命题——用之前学习的方法难以解决，从而我
们产生学习“数学归纳法”的必要性．学习了 数学归纳法后，学生可以解决部分“证明n取
无限多个正整数命题成立”的问题．
本节内容编 写思路是：问题情境引发数学归纳法的学习欲望——多米诺骨牌蕴含的原理
分析——用多米诺骨牌原理解 决数学问题——从具体问题中概括出数学归纳法．在这个过程
中，学生首先需要从生活实例中抽象出数学 原理，然后需要利用该原理对数学问题进行严格
证明．因此，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练 学生的抽象思维能力的好素材．
二、学情分析
高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理 能力．但对于数学归纳法，学生理解和接
受它是一件很困难的事情，因为学生缺少体验和认知基础．所以 需为学生创设与数学归纳法
有类似想法的实际体验．
三、教学目标
1. 通过具体情境，体会学习数学归纳法的必要性；
2. 借助生活实例和体验操作，感知数学归纳法的原理，体会数学与生活的紧密结合性；
3. 通过从解决 具体数学问题的思维中概括出数学归纳法，训练学生的抽象思维能力，
在证明过程中，培养学生严密的推 理能力．
四、教学重、难点
教学重点：①通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本 思想；②掌握数学归纳
法的证明步骤及每个步骤的作用．
教学难点：①如何类比多米诺骨牌原 理解决数学问题，了解数学归纳法的基本步骤；②
如何理解数学归纳法中第二步的本质——建立递推关系 ．
五、教学策略
基于上述分析，我采取以下的教学策略．
1：“设置问题串”教 学策略．在列举模型反思游戏过程时，设置具有启发性的问题，逐
步推进对思想方法的理解，为本节课教 学重点作铺垫；在类比抽象的过程中，设置类比问题，
帮助学生类比多米诺骨牌原理解决数学问题，突破 教学难点①；在形成数学归纳法概念后，
设置反思问题，了解数学归纳法第二步骤的作用，明确第一步骤 的起点问题，加深对数学归
纳法的理解，突破教学难点②；课堂小结时，利用问题串，帮助学生回顾知识 要点．
2：“螺旋上升”教学策略．先通过具体情境的探究，引发学生求知欲；再通过多米诺骨
牌初步体会和认识数学归纳法的雏形；然后类比这种思想，解决数学问题；进而从中提炼出
数学归纳法 ；通过对数学归纳法的步骤反思，对步骤的本质进行认识和剖析；通过例题教学，
帮助学生掌握数学归纳 法步骤和易错点，以此逐步完成对数学归纳法的深刻理解．

1 6

六、教学过程
教学流程
情境：将若干个小立方块如图所示摆放，第1堆摆放1个，第
2堆摆放9个……以此类推
设计意图
大纲版教材采用的引入
例题是：求证
1
2
?2
2
+3
2
?L?n
2

?
1
n
?
n?1
??
2n?1
?
．
6
该引入方式计算前几项
后，学生不容易归纳得到
结论，直接给出命题证 明
创设
情境
引入
新课
问题1：第3堆、第4堆、第5堆各有多少个小方块？
问题2：第n堆有多少个小方块？你能得到怎样的等式？
1
3
?2
3
+3
3
?L?n
3
?
333
……
显得较为突兀；课标版教
材引入例题是
a
1
?1
，
a
n?1
?
a
n

1?a
n
1
2
2
n
?
n?1
?

4
3
2在数列的学习中，学生已
能够解决该引例问题，较
难说明学习数学归纳法
是必要的 ．该例题的设计
旨在利用先行组织者，引
发学生认知冲突，明确学
习数学归纳法的必要 性，
激发学生求知欲．
牌游戏，激发学生学习兴
造吉尼斯纪录视频，激发
学生爱国情怀．
利用游戏 体验，激发学生
求知兴趣，让学生动手操
作，锻炼学生动手能
力．学生参与体验，才能
更好地从自身体验中总
结过程，为后面抽象原理
做铺垫．
反思游戏过程，让 学生亲
身经历多米诺骨牌原理
的提炼过程，培养学生抽
象思维和概括能力；利用
问题，逐步推进对思想方
预设：学生有可能得到
1?2+3?L?n?
?
1 ?2?3?L?n
?
，
提示学生进行化简．
问题3：如何验证你得到的结论正确与否呢？
总结：这个问题无法利用已学知识解决，因此， 我们需要一
种新的证明方法，这就是我们今天要学习的数学归纳法．（板
书）
在学习 数学归纳法之前，先来看一个小游戏：多米诺骨牌．2011利用视频引出多米诺骨
年12月31日晚， 中国小伙子刘杨成功以321197枚多米诺骨
简短的视频，我们一起感受一下当时壮观的场面．
（播放视频30s）
从视频上看多米诺骨牌游戏是很震撼的，我们自己也可以动
活动
体验
探究
原理
手体验一下多米诺骨牌游戏过程．
游戏道具：折叠的扑克牌
游戏规则：分组活动，每组8张扑克牌
①将本组所有折叠的扑克牌竖直摆放；
②摆放好后，推倒其中一张扑克牌．
游戏判定：所有扑克牌倒下即为成功．
请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题：
问题1. 我们把手动推到的扑克牌称作“第1张扑克牌”，第
1张扑克牌倒下后，其他扑克牌如何倒下的？
问题2. 如果任给n张扑克牌排成一列，要保证所有扑克牌全
部倒下，需要满足哪些条件？
2 6
牌的成绩，刷新了多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录．随着一段趣．同时，利用中国人 创

（小组代表发言）
预案：若学生回答相邻两张扑克牌相隔不能太远．
预设追问：不能相隔太远目的是什么？
预案：若学生忽略第1张扑克牌倒下的条件
总结：任给n张一列扑克牌倒下的条件
（1）第1块扑克牌倒下；
（2）第k张扑克牌倒下导致第k+1张扑克牌倒下．
预案：学生在总结第（2）步时，易用自然语言描述：任意一
张牌倒下导致后一张牌倒下．
预设追问：请用数学语言表述“任意一张”和“后一张”．
回到引入情境中需要证明的猜想
1
2
“
1
3
?2
3
?3
3
?L?n
3
?n
2
?
n?1
?
对任意的正整数n 成立”
4
问题：你能否将解决“任给n张扑克牌全部倒下”的思想运
用到“等式对任 意的正整数n成立”的证明中呢？
预案：稍停，观察有无学生能够解决该问题，若无，则给出
提示、问题1和2；若有，让学生陈述，教师点评总结．
提示：上述猜想换一个说法“任意正整数n等 式成立”，两个
问题说法类似．我们已经找到了使“任给n张扑克牌全部倒
下”的条件． 问题1：类比“任给n张扑克牌全部倒下”的两个条件，“任
意正整数n等式成立”需要满足什么条 件？
类比
抽象
形成
概念
n张扑克牌全部倒下
第1块多米诺骨牌倒下
第k块多米诺骨牌倒下导致
第k+1块多米诺骨牌倒下
任意正整数n等式成立
?
?
法的理解．问题1旨在帮
助学生思 考相邻扑克牌
的递推关系；问题2旨在
帮助学生总结两个条件，
预设追问：若不手动推 到任何一张扑克牌，扑克牌会倒下吗? 学生易忽略起点问题．
教师总结，提炼要点
利用问题串，类比多米诺
骨牌原理解决数学问题，
为数学问题的证明作铺
垫．
问题2：要证明猜想成立，现在需要解决什么问题？
问题3：验证上述两个条件是否满足，完成对猜想的证明．
（学生思考→小组讨论→投影成果→教师PPT规范格式）
证明：（1）当
n?1< br>时，左边
?1
3
?1
2
?
右边，结论成立；
（2）假设当
n?k
时，命题成立，即
1
2
1
3
?2
3
?3
3
?L?k
3
?k
2
?
k?1
?

4
3333
3
学生通过思考讨论，初 步
了解数学归纳法的步骤；
同时，在证明过程中，培
当
n?k?1
时 ，左边
?1?2?3?L?k?
?
k?1
?

养学生逻辑推理能力．
1
2
1
232
?k
?k?1
?
?
?
k?1
?
?
?
k?1< br>?
?
k
2
?4k?4
?

44
?< br>1
22
?
k?1
??
k?2
?
?
右 边
4
3 6

因此，若
n?k
时命题成立，可推 出
n?k?1
时命题成立．
1
2
由（1）、（2）可得，
1
3
?2
3
?3
3
?L?n
3
?n
2
?
n?1
?
对任意
4
正整数n成立．
问题：请概括上述证明过程的步骤．
总结：（学生总结，教师板书数学归纳法步骤）
任给n张扑克牌全部倒下
第1块多米诺骨牌倒下
第k块多米诺骨牌倒下→
结合上述两步，可知所有
多米诺骨牌都能倒下
任意正整数n等式成立
（1）
n?1
时命题成立；
（2）假设< br>n?k
时命题成立
结合上述两步，断定命题对
任意的正整数成立．
学 生总结解题步骤，形成
数学归纳法的概念，明确
其步骤，同时，培养学生
概括能力．
第k+1块多米诺骨牌倒下 验证
n?k?1
时命题成立．
上述证明问题的步骤方法即是数学归纳法．
利用上述两个证明步骤，可以建立命题链：
n=1
成立
n=2
成立
n=3
成立
n=4
成立
n=5
成立
…

反思1：第（2）步为什么要假设k成立？假设k成立为什么
可以作为条件使用？
提示：解决这个问题，需要明确（2）证明的是什么？
总结：（2）本质证明的是递推关系（上述链表中的箭头）
为了证明递推关系，构造了一个命题，假设k成立是所构造
命题的条件．
（2）证明了递推关系，（1）给出了起点问题．接下来我们研
究一下有关起点的问题．
辨析
概念
深化
理解
反思2：（1）用数学归纳法证明不等式 < br>通过反思问题，辨析数学
111
1???L?
n?1
?n
?< br>n??
*
,n?1
?
，第一步需要验证什么？
归纳法第一步 起点问题，
232
明确数学归纳法第二步
（2）用数学归纳法证明：凸n边形的对角线 条数为
n
?
n?3
?
2
总结：利用数学归纳法证明时，第一 步从等于几开始起，要
，第一步需要验证什么？
的作用，深化对数学归纳
法概念的理解．
根据具体问题而定．
问题：从这两个问题中，你觉得刚才得到的数学归纳法可以
怎样的修改呢？
预设追问：若(1)修改为
n?n
0
命题成立，最后得到什么结论?
数学归纳法步骤可总结为：
（1）证明当
n?n
0
（
n< br>0
??
*
）时，命题成立；
（2）假设
n?k
（< br>k?n
o
,k??
*
）时命题成立，证明当
n?k?1
时命题成立；
4 6

结合上述两步，断定命题对任意的正整数
n?n
0
成立． < br>总结：数学归纳法可用于证明与正整数n（n取无限多个值）
有关的数学命题，但是并不是所有与 正整数n有关的数学命
题都可以用数学归纳法证明．
?
1
?
预设反 例：
a
n
?
?
1?
?
单调增问题不能用数学归纳法 证明．
?
n
?
n
例. 利用数学归纳法证明
1
1
2
?2
2
?3
2
?L?n
2
?n
?
n?1
??
2n?1
?

6
对任意正整数n成立．
（学生板书→学生修改→教师点评修改）
证明：（1）当
n?1
时，左边=右边，命题成立．
（2）假设当
n?k
时，命题成立，即
1
1
2
?2
2
?3
2
?L?k
2
?k
?
k?1
??
2k?1
?
．
6
1
2
当
n?k?1
时，左边
? k
?
k?1
??
2k?1
?
?
?
k?1< br>?

6
?
?
11
2k
2
?7k?6
?
?
k?1
?
?
?
k?2
??
2 k?3
??
k?1
?

?
66
1
2
?
k?1
?
?1
?
?
右边
?
k?1< br>??
k?2
?
?
??
6
学生通过运用数学归纳
法，模仿格式规范证明，
检验数学归纳法步骤掌
握情况，在证明过程中，
培养严谨的 数学推理能
力．
例题
呈现
巩固
知识
因此，若
n?k
时命题成立，可推出
n?k?1
时命题成立．
综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成立．
课堂
练习
明确
易错
点
课堂
小结
回顾
要点
(备用)
利用数学归纳法判断
展示利用数学归纳法证
明的易错点，说明在证
明递推关系时注意添加
项问题．
?
n?1
??
n?2
?
L
?
n?n
?
?2
n
?1?3?L?
?
2n?1
?

是否对任意正整数n成立？
预设错误：
n?k?1
时，添加项错误
通过本节课的学习：
问题1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？
问题2. 数学归纳法每一步的作用是什么？
问题3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问题？
（学生总结）
利用问题串，帮助学生
回顾本节课知识要点．
七、板书设计

数学归纳法
课堂引入猜想

（1）证明n=n
0
命题成立：
证明起点：
（2）假设n=k命题成立，
证明递
验证n=k+1命题成立．
推关系：
综合（1）（2）可得，命题对于
任意正整数n≥n
0
成立．
媒体展示区域
学生展示区域
5 6