等比数列前n项和优秀教案(公开课比赛教案)

等比数列的前n项和

一、教学目标
1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相
关问题。
2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类
讨论的思想方法。 < br>3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价
值、应用价值，发展数学 的理性思维。
二、教学重点与难点
重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决
相关问题。
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想
本节课采用探究 式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，
以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦 定理的发现”为基本探究内
容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、< br>探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的
尝试活动，将自己所学知 识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生
在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增 知，在“探究”
中创新。设计思路如下：
创设情境
布疑激趣
观察实验
建立模型
探寻特例
提出猜想
深入思考
证明猜想
简单应用
总结评估

四、教学过程

（一）创设问题情景
课前给出复习：等比数列的定义及性质
课首给出引例：“一个 穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，
哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中 ，富人第一天借
给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多
1万 ;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数
都是上一天的两倍,30天后互 不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,
但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难 。”请在座的同
1

学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入
到研究者的角色中来！]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
(1?30)?30
'
?1?2???30??465
（万元） 穷人30天 借到的钱：
S
30
2
穷人需要还的钱：
S
30
?1 ?2?2
2
???2
29
?
?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
教师紧接着把如何求
S
30
?1?2?2
2
???2
29
?
？的问题让 学生探
究，
S
30
?1?2?2
2
???2
29
①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
2S
30
?2?2
2
?? ?2
29
?2
30
②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）
S
30
?2
3 0
?1?1073741823
答案:穷人不能向富人借钱
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿
以上方法推导）
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q
2< br>???a
1
q
n?2
?a
1
q
n?1
(1)

qS
n
?a
1
q?a
1
q2
?
?
?a
1
q
n?1
?a
1
q
n
(2)

（1）-（2）有
(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
n


q?1
?
na
1
,
?

S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)a
1
?a
n
q
,q?1

?
1?q
?
1?q
?
推导等比数列前n项和
Sn
的公式，教师引导讲完课本上的推导方法
后，
教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发
言）
2

学生A：
?
a
2
?
a
3
?
?
?
a
n
?q

?
a
2
?a
3
?
?
?a
n
?q
即
a
1
a
2
a
n?1
a
1
?a
2
?
?
?a
n?1
s
n
?a
1< br>a?a
n
q
?q
?s
n
?
1
(q? 1)
s
n
?a
n
1?q
。
学生B：
s
n
?a
1
?a
1
q???a
1
q
n?2
?a
1
q
n?1

?a
1
?qa< br>1
?a
1
q?
?
?a
1
q
n?2< br>?a
1
?qs
n?1
?a
1
?q
?
s
n
?a
n
?
?a
1
?qs
n
? a
n
q
??
?s
n
?qs
n
?a
1
?a
n
q
?s
n
?
a
1
?a< br>n
q
(q?1)

1?q
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各 种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设
问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养 学生的探究能力，发挥
了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、
成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ]
【基础知识形成性练习】
1、求下列等比数列的各项和：
1111
(1)1，3，9，…，2187 （2）
1,?,,?,?,?

248512
2、根据下列条件求等比数列< br>?
a
n
?
的前n项和
S
n

①a
1
?2,q?2,n?8 ②
a
1
?8,q?2,a
n
?
(四)数学应用
例1 求等比数列12，14，18……的
(1)前8项的和;
(2)第四项到第八项的和
11
解 ：（1）
?a
1
?,q?,n?8

22
11
(1?
n
)
2
?
255

?S
8
?
2
1
256
1?
2
1< br>
2
3

（2）
?a
4
? a
1
q
3
?
1
,n?5

16
11
(1?
5
)
2
?
31

?S
'
?
16
1
256
1?
2
例 2：在等比数列
?
a
n
?
中，
（1）已知
a
1
??4,q?2,
求
S
n

（2）已知
a
1
?1,a
k
?243,q?2
求
S
k

[例1教师板演示范，强调解题的规范。例2、例3学生分析解 法，学生
不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。]
【演练反馈巩固性练习】
1、在等比数列
?
a
n
?
中，
①已知
a
1
??1.5,a
7
??96
，求
q
和
S
n

②已知
a
3
?4,S
3
?12,求
q
和
a
1

2、求数列
1?a?a
2
?a
3
?
?
a
n?1
?
?
(a ?0)
的前n项和。
[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就
算完成了作业。然后老师给出评价]
（五）课堂小结
等差数列 等比数列
求和公式
推导方法
公式应用
[由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容]
（六）布置作业
1、根据下列条件，求等比数列
?
a
n
①:
a
1
?
的前n项和
S
n

?3,q?2,n?6
②:
11
,a
n
?

22
a
1
?8,q?
4

,n?4
④: ③：
a
2
?0.12,a< br>5
?0.00096
a
1
?a
3
?10,a
4
?a
6
?
2、在等比数列
?
a
n
5,

4
?
中，
①:已知
a
1
?2, S
3
?26
，求
q
和
S
n

②: 已知
S
2
?30,S
3
?115
，求
S
n

3、在等比数列
?
a
n
?
中，已知
S< br>n
?48,S
2n
?60
，求
S
3n

[作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症
结所在，就算完成了作业。]
五、板书设计
公式推导 例题
等比数列的前n项和 练习
六、教学后记(教学反思)
本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这 是一节
探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发，
采用“教师设计 问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方
法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布 疑激趣（2）启发引导学
生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的
前提下，在教师预设的思路 中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到
了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、 能力目标、情
感目标均得到了较好的落实。
5