教师资格证面试高中数学知识点-北师大高中数学必修5公式
《等比数列的前n项和》教案
一.教材分析
1.在教材中的地位和作用
在《数列》一章中,《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内
容,从知
识体系来看,它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延,也是前
面所学
函数的延续,实质是一种特殊的函数。而且还为后继深入学习提供了知识
基础,同时错位相减法是一种重
要的数学思想方法,是求解一类混合数列前n
项和的重要方法,因此,本节具有承上启下的作用。等比数
列的前n项和公式的
推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法,如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。在实际问题中也有广泛的应用,如储蓄、分期付款的有关计算。
2.教材编排与课时安排
提出问题——解决问题——等比数列的前n项和公式推导——强化公式应
用(例题与练习)
二.教学目标
知识目标:理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,
在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
能力目标:通过启发、引导、分析、类比、
归纳,并通过严谨科学的解题思
想和解题方法的训练,提高学生的数学素养。
情感目标:通过
解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会,
形成科学的世界观和价值观。
三.教学重点与难点:
教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的应用。
教学难点:公式的推导方法(“错位相减”)和公式的灵活运用。
四.教学过程:
(一)、复习回顾:
(1)等比数列及等比数列通项公式。
复习回顾例题1:
?
a
n
?
为等比数列,
请完成下表除
?
s
n
?
外的所有项
a
1
1
3
a
2
a
3
a
4
27
……
……
……
……
q
a
n
s
n
1
2
2
1
2
4
1
3
答案如下:
a
1
1
a
2
a
3
a
4
27
……
……
……
……
q
3
a
n
s
n
3
1
2
2
1
3
2
3
n?1
1
2
3
1
3
2
1
3
1
4
2
1
3
2
1
2
1
3
1
n
2
1
3
n?2
(2)回忆等差数列前n项和公式的推导过程,是用什么方法推导的。
(二)、情境导入:
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大
家听说过吗? “
请在第一个格子里放上1颗麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,
第三个格子里放上4颗麦粒,以此类推.
每一个格子里放的麦粒都是前一个格子
里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现
上述要求.”这就
是国际象棋发明者向国王提出的要求。假定千粒麦子的质量为40 g,按目前世界<
br>小麦年度产量约6亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求。怎样计算?请列出
算式。
探讨1:S=1+2+2
2
+2
3
+…+2
63
,①
注意观察每一项的特征,有何联系?
探讨2:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项
2S=2+2
2
+2
3
+…+2
63
+2
64
,②
经过比较、研
究,学生发现:(1)(2)两式有许多相同的项,把两式相减,
相同的项就消去了,得到 :
这个数很大,超过了1.84×10
19
,假定千
s
64
?2
64
?1
粒麦子的质量为40
g,那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约6
亿吨,因此,国王不能实现
他的诺言。国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了
一个很不幸的后果的发生,这都是他不具
备基本的数学知识所造成的结果,.而避免这个不
幸的事情发生,正是我们这节课所要探究的知识.
五、推进新课
等比数列前n项公式的推导:
1.错位相减法,
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q
2<
br>???a
1
q
n?2
?a
1
q
n?1
①
23n?1n
aq?aq?aq?
?
?aq?aq
11111
qS
n
?
②
①-②得:
?
1?q
?
S
n
?a
1
?a
1
q
n
a
1
1?q
n
当
q?1
时,得到
S
n
?
1?q
??
当q=1,S
n
=na
1
(q?1)
(q?1)
?
na
1
?<
br>等比数列前n项和公式:
S
n
?
?
a
1
1?
q
n
a
1
?a
n
q
?
1?q<
br>?
1?q
?
??
注意:1.公比为1的情况
2.已知
a
1,
q,n,a
n
,s
n
中的任意三项,可以求其他两项 (知三求二)
六、例题剖析
例2:完善例1的表格
11
1
例3:
,,
…的等比数列
24
8
(1)求前8项的和
(2)求第4项到第8项的和
解 :(1)
?a
1
?
11
,q?,n?8
22
11
(1?
n
)
2
?
255
?S
8
?
2
1
256
1?
2
1<
br>为公比的前5项和)
2
(2)方法一(先求出
a
4
,等价于
求一个以
a
4
为首项,
解:
?a
4
?a
1
q?
1
,n?5
16
11
(1?
5
)
2
?
31
?S
'
?
16
1
256
1?
2
3
方法二:(
s
8
?s
3
)
1
?
1
?
1
?
1
?
1?1?
????
31
2
?
2
8
?
2
?
2
3?
解:
s
8
?s
3
?
=
?
11
256
1?1?
22
七、小结:
1.熟记等比数列前n项和的通项公式,重点掌握错位相减的方法。
2.易错点:易忽略公比q=1的情况
3.思想方法:类比、分类讨论、错位相减、特殊到一般
八.作业:
1.已知等比数列
?
a
n
?
的前n项
和
s
n
?48
,
S
2n
?60
求
s
3n
(并思考用不
同的方法来解答这个问题)
2.课本P58 页1,2题