构造等差数列或等比数列(公开课)

构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于 一些递推数列问题，若能构
造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

例1 设各项均为正数的数列
有等式：
的前n项和为S
n
，对于任 意正整数n，都
成立，求

的通项
a
n
.
解：

即
， ∴

，∵

是以2为公差的等差数列，且

∴


，求数列的通项公式

解：∵


.
，∴.
.

例2 数列中前n项的和
当n≥2时，



令，则

是以为公比的等比数列，

∴.

，且



2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某 个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法
就可求得这一数列的通项公式.

例3 设是首项为1的正项数列，且
N*），求数列的通项公式
a
n
.



解：由题设得

∵，

∴


.

例4 数列中，，且
求通项公式
a
n
.


解：∵



∴（n∈
N*）

3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

例5 数列
解：



，
中，，前n项的和

，求.


，（n∈N*），

，∴.
.
，（n∈

∴

∴


4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题
得以解决.

例6 设正项数列满足，
公式.

，
，则

是以2为公比的等比数列，

，

∴

例7 已知数列中，，n≥2时

，求通项公式.

，

.
，
（n≥2）.求数列的通项
解：两边取对数得：，设
解：∵，两边取倒数得

可化为等差数列关系式.



∴

.

求数列通项公式的十种方法

一、公式法
例1 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?2
，
a
1
?2
，求数列
{ a
n
}
的通项公式。
n
a
n?1
a
n< br>3
a
n?1
a
n
3
a
n
，则，故数 列
????{}
是
n?1nn?1n
n
222222
2a
n
3
a
2
3
以
1
为首项，以为公差 的等差数列，由等差数列的通项公式，得，
?1?(n?1)
??1
n
12
2
22
2
31
n
所以数列
{a
n< br>}
的通项公式为
a
n
?(n?)2
。
22
解：
a
n?1
?2a
n
?3?2
两边除以
2
n?1
，得
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1?2a
n
?3?2
转化为
a
n?1
a
n
3
?
n
?
，说明数列
n?1
222
a
n
a
3
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列
{n
}?1?(n?1)
n
n
22
2
n
{an
}
的通项公式。
二、累加法
，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 例2 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n?1
解：由
a
n?1
?a
n
?2n?1
得
a
n?1< br>?a
n
?2n?1
则
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?
?< br>?(a
3
?a
2
)?(a
2
?a
1
)?a
1
?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]?
?
?(2?2? 1)?(2?1?1)?1
?2[(n?1)?(n?2)?
?
?2?1]?(n?1 )?1
(n?1)n
?2?(n?1)?1
2
?(n?1)(n?1)?1< br>?n
2
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a< br>n
?n
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1< br>?a
n
?2n?1
转化为
a
n?1
?a
n< br>?2n?1
，进而求
出
(a
n
?a
n?1
) ?(a
n?1
?a
n?2
)???(a
3
?a
2< br>)?(a
2
?a
1
)?a
1
，即得数列
{a
n
}
的通项公式。
2

，a
1
?3，求数列
{a
n
}
的通项公式。 例3 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2?3?1
n

解：由
a
n?1
?a
n
?2?3?1得
a
n?1
?a
n
?2?3?1
则
nna
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1?a
n?2
)?
?
?(a
3
?a
2
) ?(a
2
?a
1
)?a
1
?(2?3
n?1
?1)?(2?3
n?2
?1)?
?
?(2?3
2
?1) ?(2?3
1
?1)?3
?2(3
n?1
?3
n?2
?
?
?3
2
?3
1
)?(n?1)?3
3(1? 3
n?1
)
?2?(n?1)?3
1?3
?3
n
? 3?n?1?3
?3
n
?n?1
所以
a
n
?3?n ?1.

评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?a
n
?2?3?1
转化为
a
n?1
?a
n
?2?3 ?1
，
进而求出
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)???(a
3
?a< br>2
)?(a
2
?a
1
)?a
1
，即得数列< br>{a
n
}
的通
项公式。
nn
n

，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 例4 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?3a
n
?2?3?1
n?1
解：
a
n?1
?3a
n
?2?3?1
两边除以
3
，得
n
n
a
n?1a
n
21
?
n
??
n?1
，
n?1
3333
则
a
n?1
a
n
21
，故 ???
3
n?1
3
n
33
n?1
a
n
a
n
a
n?1
a
n?1
a
n?2
a
n?2
a
n?3
a
2
a
1
a
1
?(?)?(?)?(?)?
?
?(?)?
3
n
3
n
a
n?1
a
n?1
3
n?2
3
n?2< br>3
n?3
3
2
3
1
3
212121213< br>?(?
n
)?(?
n?1
)?(?
n?2
)?
?
?(?
2
)?
333333333
2(n?1)11111??(
n
?
n
?
n?1
?
n?2
?< br>?
?
2
)?1
333333

1
(1?3< br>n?1
)
n
a
n
2(n?1)
3
2n11< br>因此
n
，
???1???
n
331?3322?3
则
a
n
?
211
?n?3
n
??3
n?.

322
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?3a
n
?2?3?1
转化为
a
n?1
a
n
21
，
???
3
n?1
3
n
3 3
n?1

进而求出
(
a
n
a
n?1
a
n?1
a
n?2
a
n?2
a
n?3a
2
a
1
a
1
?
a
n
?，即得数列
?)?(?)?(?)???(?)?
?
n
?
3n
3
n?1
3
n?1
3
n?2
3
n? 2
3
n?3
3
2
3
1
3
?
3?
的通项公式，最后再求数列
{a
n
}
的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列
{a
n
}
满足
a< br>n?1
?2(n?1)5?a
n
，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
解：因为
a
n ?1
?2(n?1)5?a
n
，a
1
?3
，所以
a
n
?0
，则
n
a
n?1
?2(n?1)5
n
，故
a
n
a
n
?
a
n
a
n?1
a
a
??
?
?
3
?
2
? a
1
a
n?1
a
n?2
a
2
a
1
?[2(n?1?1)5
n?1
][2(n?2?1)5
n?2
]?
?
?[2(2?1)?5
2
][2(1?1)?5
1
]?3

?2
n?1
[n(n?1)?
?
?3?2]?5
(n?1)?(n?2)?
?
?2?1
?3
?3?2
n?1
?5
n(n?1)
2
?n!
n?1
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?3?2?5
n(n?1)
2
?n!.

n
评注：本题解题的关键是把递推关系
a
n?1
?2(n?1)5?a
n
转化为
a
n?1
?2(n?1)5
n
，进而求
a
n
出
a
n
a
n?1
a
a
????
3
?
2
?a
1
，即 得数列
{a
n
}
的通项公式。
a
n?1
a
n?2
a
2
a
1
例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1，a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
???(n?1)a
n?1
(n?2)
，求
{a
n
}
的通项公式。
解：因为
a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
???(n?1)a
n?1
(n?2)< br>
所以
a
n?1
?a
1
?2a
2
?3a
3
???(n?1)a
n?1
?na
n

用②式－①式得
a
n?1
?a
n
?na
n
.

则
a
n?1
?(n?1)a
n
(n?2)

②
①

故
a
n?1
?n?1(n?2)

a
n
a
n
a
n?1
a
n!
????
3?a
2
?[n(n?1)???4?3]a
2
?a
2
.

a
n?1
a
n?2
a
2
2
所以
a
n
?
③
由
a
n
?a
1?2a
2
?3a
3
???(n?1)a
n?1
(n?2 )
，
取n?2得a
2
?a
1
?2a
2
，则
a
2
?a
1
，又知
a
1
?1
，则
a
2
?1
，代入③得
a
n
?1?3?4?5??? n?
所以，
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
n!
。
2
n!
.

2
a
n?1
?n?1(n?2)
，
a
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式< br>a
n?1
?(n?1)a
n
(n?2)
转化为
进而求 出
a
n
a
n?1
a
????
3
?a
2
，从而可得当
n?2时，a
n
的表达式，最后再求出数列
{a< br>n
}
的
a
n?1
a
n?2
a
2通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列
{a
n
}满足
a
n?1
?2a
n
?3?5，a
1
?6< br>，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
n
解：设
a
n?1
?x?5
n?1
?2(a
n
?x?5n
)
④
nn?1n
?2a
n
?2x?5
，等式两边消去将
a
n?1
?2a
n
?3?5
代入④式，得
2a
n
?3?5?x?5
n
n
n
2a
n< br>，得
3?5
n
?x?5
n?1
?2
,x??1,，两边除以
5
，得
3?5x?2x则
代入④式得
x?5
a
n?1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)
⑤
a
n?1
?5
n?1
n
?2
{a ?5}
是以由
a
1
?5?6?5?1?0
及⑤式得
a
n
?5?0
，则，则数列
n
n
a
n
?5
1
n
a
1
?5
1
?1
为首项，以2为公比的等比数 列，则
a
n
?5
n
?2
n?1
，故
an
?2
n?1
?5
n
。
评注：本题解题的关键是把递 推关系式
a
n?1
?2a
n
?3?5
转化为
an?1
?5
nn
n
n?1
?2(a
n
?5n
)
，
从而可知数列
{a
n
?5}
是等比数列 ，进而求出数列
{a
n
?5}
的通项公式，最后再求出数列

< br>{a
n
}
的通项公式。
例8 已知数列
{a
n< br>}
满足
a
n?1
?3a
n
?5?2?4，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：设< br>a
n?1
?x?2
n?1
n
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)
⑥
将
a
n?1
?3a
n
?5?2?4
代入⑥式，得
n
3a
n
?5?2
n
?4?x?2
n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)

整理得
(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y
。
nn
令?
?
5?2x?3x
?
x?5
，则
?
，代入⑥ 式得
?
4?y?3y
?
y?2
⑦
a
n?1< br>?5?2
n?1
?2?3(a
n
?5?2
n
?2)< br>
1
由
a
1
?5?2?2?1?12?13?0
及⑦式，
a
n?1
?5?2
n?1
?2
?3
， 得
a
n
?5?2?2?0
，则
a
n
?5?2
n
?2
n
故数列
{a
n
?5?2?2}
是以
a1
?5?2?2?1?12?13
为首项，以3为公比的等比数列，
因此
a
n
?5?2?2?13?3
nn?1
n1
，则
a
n
?13?3
n?1
?5?2
n
?2
。
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?3a
n
?5?2 ?4
转化为
a
n?1
?5?2
n?1
?2?3(a
n
?5?2
n
?2)
，从而可知数列
{a
n
?5? 2
n
?2}
是等比数列，进而求
出数列
{a
n
?5 ?2?2}
的通项公式，最后再求数列
{a
n
}
的通项公式。
例9 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n?1
?x(n?1)?y (n?1)?z?2(a
n
?xn?yn?z)
⑧
将
an?1
?2a
n
?3n?4n?5
代入⑧式，得
2
2 2
2
n

2a
n
?3n
2
?4n?5 ?x(n?1)
2
?y(n?1)?z?2(a
n
?xn
2
?yn?z)
，则
2a
n
?(3?x)n
2
?(2x?y ?4)n?(x?y?z?5)?2a
n
?2xn
2
?2yn?2z

等式两边消去
2a
n
，得
(3?x)n?(2x?y?4)n?(x ?y?z?5)?2xn?2yn?2z
，
22
?
3?x?2x
?
x?3
??
解方程组
?
2x?y?4?2y
，则
?
y?10
，代入⑧式，得
?
x?y?z?5?2z
?
z? 18
??
a
n?1
?3(n?1)
2
?10(n?1)?1 8?2(a
n
?3n
2
?10n?18)
⑨
由
a
1
?3?1?10?1?18?1?31?32?0
及⑨式，得
a
n
?3n?10n?18?0

22
a
n?1
?3(n? 1)
2
?10(n?1)?18
?2
，故数列
{a
n
?3n
2
?10n?18}
为以则
2
a
n
?3n ?10n?18
a
1
?3?1
2
?10?1?18?1?31?32
为首项，以2为公比的等比数列，因此
a
n
?3n
2
?10 n?18?32?2
n?1
，则
a
n
?2
n?4
? 3n
2
?10n?18
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5
转化为
2
an?1
?3(n?1)
2
?10(n?1)?18?2(a
n
? 3n
2
?10n?18)
，从而可知数列
2
{a
n
?3n
2
?10n?18}
是等比数列，进而求出数列
{a
n
?3n?10n?18}
的通项公式，最后再
求出数列
{a
n
}< br>的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2?3?a
n
，
a
1< br>?7
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：因为a
n?1
?2?3?a
n
，a
1
?7
，所以< br>a
n
?0，a
n?1
?0
。在
a
n?1?2?3?a
n
式两边取
常用对数得
lga
n?1
?5 lga
n
?nlg3?lg2

设
lga
n?1
?x(n?1)?y?5(lga
n
?xn?y)

⑩
11 ○
n5
n5
n5

?lg?2xn(?
将⑩式代入
○
11式，得
5lga
n
?nlg3?1)y?5(lga
n
?xn?y
，两边消去
5lga
n
并整理，得
(lg3? x)n?x?y?lg2?5xn?5y
，则
lg3
?
x?
??
lg3?x?5x
?
4
，故
?

?
x?y?lg2?5y
lg3lg2
?
?
y??
?
164< br>?
代入
○
11式，得
lga
n?1
?
由lga
1
?
得
lga
n
?
lg3lg3lg2 lg3lg3lg2
12
(n?1)???5(lga
n
?n??)

○
41644164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
12式， ?1???lg7??1???0
及
○
41644164
lg3lg3l g2
n???0
，
4164
lga
n?1
?
则< br>lg3lg3lg2
(n?1)??
4164
?5
，
lg3 lg3lg2
lga
n
?n??
4164
lg3lg3lg2lg3 lg3lg2
为首项，以5为公比的等
n??}
是以
lg7???
4 1644164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
n?1
比数列，则
l ga
n
?n???(lg7???)5
，因此
41644164
所以 数列
{lga
n
?
lga
n
?(lg7?
lg3l g3lg2
n?1
lg3lg3lg2
??)5?n??
41644641
4
1
6
1
4
n?1
n
4
? (lg7?lg3?lg3?lg2)5
?[lg(7?3?3?2)]5
1
4
1
16
1
4
1
4
1
16
1
4< br>n?1
?lg3?lg3?lg2
1
16
1
4
n4
1
16
1
4
?lg(3?3?2)
n
41
16
1
4

?lg(7?3?3?2)5
n?1?lg(3?3?2)
?lg(7
5n?1
?3
?lg(7
5n ?1
?3
n?1
5
n?1
?n
4
?3
5< br>n?1
?1
16
?2
)
5
n?1
?1
4
)
5n?4n?1
16
?2
5
n?1
?14
则
a
n
?7
5
?3
5n?4n?1
16
?2
5
n?1
?1
4
。
n5
评注： 本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
a
n?1
?2?3?a
n
转化为

lg3lg3lg2lg3lg3lg2
(n?1)???5(lga
n
?n??)
，从而可知数列
41644164
lg3lg3lg2 lg3lg3lg2
{lga
n
?n??}
是等比数列，进而求出数列
{lga
n
?n??}
的通项
41644164
lga
n ?1
?
公式，最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
解：因为
a
n?1
?a
n< br>3(n?1)?n?2
?a
n?2
2
3(n?1)2
n
，a
1
?5
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
3(n?1)?23n?2
?[a
n
]

?2
n? 2n?1
3(n?1)2
n
，所以
a
n
?a
n?1
3n?2
n?1
(n?2)?(n?1)
3(n?2)?2
?[a< br>n
]
3
?3
3
n?32
(n?1)?n?2
(n?2)?(n?1)
(n?3)?(n?2)?(n?1)
3(n?2)(n?1)n?2
?a
n?3
?
?
?a
1
3
?a
n ?1

?2?3
??
(n?2)?(n?1)?n?2
1?2???
?(n?3)?(n?2)?(n?1)
n(n?1)
2
3
n?1
?n!?2
1
又
a
1
?5
，所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?5
3
n? 1
n(n?1)
?n!?2
2
。
3(n?1)2
n
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式
a
n?1
?a
n
两边取常用对数得
lga
n?1
?3(n?1)?2?lg a
n
，即
n
lga
n?1
?3(n?1)2
n，再由累乘法可推知
lga
n
n(n?1)
2
n?1
l ga
n
lga
n?1
lga
3
lga
2
l ga
n
???????lga
1
?lg5
3?n!?2
lg a
n?1
lga
n?2
lga
2
lga
1
，从而
a
n
?5
3
n?1
?n!?2
n(n?1)
2
。
七、数学归纳法
例12 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?
8(n?1)8
，a?
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
1
(2n ?1)
2
(2n?3)
2
9
解：由
a
n?1
?a
n
?
8(n?1)
8
及，得
a?
1
22
(2n?1)(2n?3)
9

8(1?1)88?224
???
(2?1?1)
2
(2?1?3)
2
99?2525
8(2?1)248?348
a
3
?a
2
????
(2?2?1)
2
(2?2?3)
2
2525?4949
8(3 ?1)488?480
a
4
?a
3
????
(2?3?1)
2
(2?3?3)
2
4949?8181
a
2
?a
1
?
(2n?1)
2
?1
由此可猜测
a
n
?
，往下用数学归纳法证明这个结论。
2
(2n?1)
(2?1? 1)
2
?18
?
，所以等式成立。 （1）当
n?1
时，< br>a
1
?
(2?1?1)
2
9
(2k?1)
2
?1
（2）假设当
n?k
时等式成立，即
a
k
?< br>，则当
n?k?1
时，
2
(2k?1)
a
k?1< br>?a
k
?
8(k?1)

22
(2k?1)(2k? 3)
(2k?1)
2
?18(k?1)
??
(2k?1)
2
(2k?1)
2
(2k?3)
2
[(2k?1)
2
?1](2k?3)
2
?8(k?1)
?
(2k?1)
2
( 2k?3)
2
(2k?1)
2
(2k?3)
2
?(2k?3 )
2
?8(k?1)
?
(2k?1)
2
(2k?3)
2
?
(2k?1)(2k?3)?(2k?1)
(2k?1)
2
( 2k?3)
2
222

(2k?3)
2
?1
?(2k?3)
2
[2(k?1)?1]
2
?1
?
[2( k?1)?1]
2
由此可知，当
n?k?1
时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何
n?N
都成立。
评注：本题解题的关 键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项
公式，最后再用数学归纳法加以证 明。
八、换元法
*

例13 已知数列
{a
n}
满足
a
n?1
?
1
求数列
{a
n< br>}
的通项公式。
(1?4a
n
?1?24a
n
)， a
1
?1
，
16
1
2
(b
n
?1 )

24
解：令
b
n
?1?24a
n
，则
a
n
?
故
a
n?1
?
1
2
1
(b
n?1
?1)
，代入
a
n?1
?(1?4 a
n
?1?24a
n
)
得
2416
1
2
11
2
(b
n?1
?1)?[1?4(b
n
?1) ?b
n
]

241624
即
4b
n?1
? (b
n
?3)

因为
b
n
?1?24a
n
?0
，故
b
n?1
?1?24a
n?1
?0

则
2b
n?1
?b
n
?3
，即
bn?1
?
可化为
b
n?1
?3?
22
13b
n
?
，
22
1
(b
n
?3)
，
2
1
为 公比的等比数
2
所以
{b
n
?3}
是以
b
1
?3?1?24a
1
?3?1?24?1?3?2
为首项，以
列， 因此
b
n
?3?2()
1
n?1
1
n?2
11
?2
，得
?()
，则
b
n
?()
n? 2
?3
，即
1?24a
n
?(
n
)?3
2 222
211
n
1
a
n
?()
n
?()?
。
3423
评注：本题解题的关键是通过将
1?24a
n
的换元为
b
n
，使得所给递推关系式转化
13
从而可知数列
{b
n
?3}
为等比数列，进而求出数列
{b
n
?3}的通项公式，
b
n?1
?b
n
?
形式，
22< br>最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
九、不动点法
例14 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
21a
n
?24
，a
1
?4
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
4a
n
?1
解：令
x?
21x?2421x?24
2
，得
4x?20x?
的
24?0
，则
x
1
?2，x
2
?3
是函数
f(x)?
4x?14x?1
两个不动点。因为

21a
n< br>?24
?2
a
n?1
?24a
n
?121a
n
?24?2(4a
n
?1)13a
n
?26
13
a
n
?2
。所以数列
????
21a?24
a
n? 1
?39a
n
?3
n
?3
21a
n
?24 ?3(4a
n
?1)9a
n
?27
4a
n
?1?
a
n
?2
?
a?2
a
1
?2
4?213
13
??2
为首项，以为公比的等比数列，故
n
?2( )
n?1
，
??
是以
9
a
1
?34?3a
n
?39
?
a
n
?3
?
则
an
?
1
13
2()
n?1
?1
9
?3
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
f(x)?
个根
x
1
?2，x
2
?3
，进而可推出
21x?2421x?24
的不动点，即方程
x?
的两
4x?14x?1
?
a?2
?< br>a
n?1
?2
13
a
n
?2
??
， 从而可知数列
?
n
?
为等比数
a
n?1
?39a< br>n
?3
?
a
n
?3
?
列，再求出数列
?
?
a
n
?2
?
?
的通项公式，最后求出数列< br>{a
n
}
的通项公式。
a?3
?
n
?
例15 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
7a
n
?2
，a
1
?2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
2a< br>n
?3
解：令
x?
7x?23x?1
2
，得
2x?4x?2?0
，则
x?1
是函数
f(x)?
的不动点。 2x?34x?7
7a
n
?25a?5
?1?
n
，所以
2a
n
?32a
n
?3
因为
a
n?1?1?
35
2a?3
21
2
?
2
(1?
2
)?
1
?
2
，
?
n
??
a
n?1
?15a
n
?55a
n
?15a
n
?1a
n
?15
a
n
?
?
1
?
1 1
2
??1
为首项，以为公差的等差数列，则是以
?
5
a< br>1
?12?1
?
a
n
?1
?
所以数列
?
12
2n?8
?1?(n?1)
，故
a
n
?< br>。
a
n
?15
2n?3
评注：本题解题的关键是先求出函数
f(x)?
3x?17x?2
的不动点，即方程
x?
的根
4 x?72x?3

x?1
，进而可推出
1
a
n?1?1
?
?
1
?
12
?
，从而可知数列
??
为等差数列，再求出数列
a
n
?15
?
a
n< br>?1
?
?
1
?
??
的通项公式，最后求出数列
{a
n
}
的通项公式。
a?1
?
n
?
十、特征根法
例16 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?3a
n
?an?1
(n?2)，a
1
?a
2
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：
a
n?1
?3an
?a
n?1
(n?2)
的相应特征方程为
?
?3?
?1?0
，解之求特征根是
2
?
1
?
3?5 3?53?53?5
，
?
2
??c
2
，所以
an
?c
1
。
2222
由初始值
a
1
?a
2
?1
，得方程组
?
3?5
1
3?5
1
1?c()?c()
?
12
?
22

?
?
1?c(
3?5
)
2
?c(
3?5
)
2
12
?
?22
?
5?25
c?
?
1?
5
求得
?

?
c?
5?25
2?
5
?
从而
a
n
?
5?253?5
n
5?253?5
n
()?()
。
5252
评注：本题解题 的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出
c
1
，c
2
，从而 可得数列
{a
n
}
的通项公式。