正余弦定理的应用——三角形面积公式公开课一等奖

正余弦定理的应用——三角形面积公式

一、教学内容解析
本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一
章1.2节。
1. 教材内容
本节内容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进< br>一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新
的三角形面积公式 ，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角
形面积实际问题的求解过程。
2.教学内容的知识类型
在本课教学内容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概 念属于
概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和
余弦定理 求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——
解决问题的研究模式，以及从直观到 抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知
识。
3.思维教学资源与价值观教育资源
已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分
析问题——解决问题的研究思 维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学
建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积” 公式，激发学生学习数
学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。

二、学生学情分析
主要从学生已有基础进行分析。
1. 认知基础：从学生知识最 近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和
高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的 关系。现在进一步探
究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。
2.非认知基础：通过小 学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生
具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。 具备相当的日常生活经验，
能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。


三、教学策略选择
1

《普通髙中数学课程标准(20 17年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视
情境的创设和问题的提出。史宁中教授曾指出:“设计 情境和提出问题的目的是
启发学生思考,设计情境和提出问题的根基是数学内容的本质”。
基 于此，本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效
问题情境，努力营造开放、民主 、和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与积极
性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，分析 问题、解决问题，收获
数学自信。
1、教学方法的选择
本课结合幻灯片、实物投影 等多媒体技术的教学手段，选择观察发现式、问
题启发式、合作讨论式的教学方法。依据的学生认知规律 ，创设具体问题，用问
题串起教学，这样的设计也体现了发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，不断激发学生学习数学的兴趣，树立了学生的自信，激发探索欲望。在师
生互动、生生互动中 ，体验知识与方法的生成过程，形成学生主动参与，自主与
合作探究的课堂气氛，为不同认知基础的学生 提供相应的学习机会和适当帮助。
2、学习反馈的分析
通过课堂小结反馈学生的知识、方法 、思想、学法上的收获。通过三道当堂
小测题目反馈学生对运用正弦定理和余弦定理求三角形面积掌握程 度。

四、教学目标设置
本课教学以《普通高中数学课程标准（2017年版）》 为基本依据，以“数
学育人”作为根本目标设置。
1.主题目标 突出几何直观与代数运算之 间的融合，即通过形与数的结合，
感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。
2.单元目标 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。
3.细化目标
为了达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下：
（一）能通过分析 问题、解决问题推导出三角形两边及其夹角面积公式，会
运用正弦定理、余弦定理节求三角形面积。
（二）经历从生活实际问题抽象出数学模型并求解的过程，发展学生数学建
模素养，收获数学自信。
（三）体会数学来源于生活，提高数学学习兴趣；通过数学史知识扩展，领
略数学魅力。

五、教学重点难点
2

1. 教学重点及突出重点
本节重点在于运用正弦定理和余弦定理求三角形面积。
为了突出重点设置了三个层次的题目： 首先是推导出三角形面积公式后的跟
踪训练，熟练三角形面积公式；其次是通过例一及例一练习题来重点 加强用正弦
定理求三角形面积公式；最后通过生活实际问题探究强化余弦定理求三角形面积
公式 知识。此外，在课堂小测中再次突出重点准备了三道题强化重点。
2.教学难点及难点突破
难点1：例一中如何灵活选用正弦定理和余弦定理求解三角形面积。
难点1突破
设 置为例题，注重分析过程，剖析思路并详细板书过程，帮助学生理解。从
问题出发，抓住面积公式，要计 算面积就要知道三角形的两边及其夹角，明确要
求的元素；联系题目，已知两角和其中一角的对边，属于 正弦定理问题；代数求
解，代入具体数值求值。数学题的解题过程其实就是运用所学知识把已知条件和< br>所求联系起来的过程，这中间注意培养学生运用“联系”的思想方法。
难点2：生活实际问题的解决——能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际
问题。
难点2突破
合作探究——把本该是例题的题作为探究题目，在例一认真讲解的基础上，
放心大胆交由学生合作探究解题，引导学生在探究中解决问题，加深印象，最终
收获数学自信。

六、教学过程设计
1、教学流程

教
师
活
动

创设情境

提出问题
问题驱动

引发学生思考


学
生
活
动
提升难度
例题分析
详细板书
帮助学生理解
生活实际
深入探究
数海拾贝
培养建模能力
课堂小结
当堂检测
高考提升
及时反馈问题
复习旧知

思考探究

得出结论

解决所提问题
理解例题
学习过程
跟踪训练
掌握解题方法
合作探究
建立模型
解决问题
增长数学见识
自主小结
认真自测
挑战自我
追求融会贯通
师
生
配
合
完
成
学
习
内
容






2、具体过程
3

步骤1：提出问题，引发思考（3min） 前面我们学习了正弦定理和余弦定理，并利用这两个定理进行了解三角形的探索，
今天我们更进一步 来探究三角形面积的计算。
根据初中三角形全等判定的知识，我们知道：在三角形中两边和夹角确定， 这个
三角形就是确定的。那么它的面积该如何求呢？
设计意图：
通过创设问题，形成思维撞针，激发深层次思考，揭示课题。

步骤2：复习旧知，新课准备（3min）
我们初中学习过的面积公式是什么？
直角三角形中的边角有什么关系？
那我们不妨从这两个方面入手，来具体探究一下已知两边和夹角求三角形面积的
问题。
设计意图：
复习初中三角形面积公式和直角三角形边角关系，并在这个过程中发 现方法，把
高用边和角表示，更有利于学生接受，并在潜移默化中教会学生运用联系的观点看问题，提高学生分析问题的能力，培养逻辑推理和数学建模素养。

步骤3：问题驱动，探索发现（6min）
给出问题，学生自主探究，再让学生分享探索过程，得出结论。把课堂还给学生。
探究一
如图，在
?ABC
中，边
BC，CA，AB
上的高分别记为
h
a
，h
b
，h
c
。
问题1 你能用
?ABC
边角分别表示
h
a
，h
b
，h
c
吗？
提示
h
a
?
b
sin
C
?
csin
B


h
b
?c
sin
A
?
a
sin
C

h
c
?asinB?bsinA

问题2 你能用边
a
与高
h
a
表示
?ABC
的面积吗？
提示
S
?ABC
?
111
ah
a
?
ab
sin
C
?
ac
sin
B
222
1
同理我们可以得出
S
?ABC
?
bc
sin
A

2
结论，已知
?ABC
中，
a，b，c，
所对的角分别为
A，B，C< br>，其面积为
S
,则：
S
?ABC
?

111
absinC?acsinB?bcsinA

222
4

设计意图：
带着问题学习，让学生自己发现关系，引导其总 结，能够激发学生的学习主动性，
建立数学学习自信，并且对知识印象深刻。

步骤4：解决问题，实践真知（2min）
经过前面同学们的探究，现在我们可以回答刚上课时老师的问题了。
学生回答问题：在三角形中两边和 夹角确定，这个三角形就是确定的。那么它的
面积该如何求呢？
实践出真知，来道题试试看：
练习1、在
?ABC
中，已知
A?30? ，b?2，c?23，
求
?ABC
的面积？
参考答案
S
?ABC
?
设计意图：
呼应开头，让学生经历提出问题，发现问 题，解决问题的过程，并在这个过程中
熟练公式，体会解决问题的快乐，建立数学自信。

步骤5：提升难度，例题学习（10min）
同学们成功的get到了用两边及其 夹角表示的三角形面积公式这个新技能，下面
让我们一起来看看这个题如何解。
例1 在?ABC
中，已知
B
?60
?
，C
?45
?< br>，b
?4
，求
?ABC
的面积？
解：
A?180< br>?
?(B?C)?180
?
?(60
?
?45
?)?75
?


sinA?sin75
?
?si n(45
?
?30
?
)?sin45
?
cos30
?
?cos45
?
sin30
?
?
根据正弦定理，

bcbsinC
46
，
c?
，
??< br>3
sinBsinCsinB
S?
11466?212?43
bcsi nA??4???
.
22343
6?2

4
111
bcsinA??2?23??
3

222
练习 在
?ABC
中，已知
B
?45
?,
C
?120
?
,
b
?2
，求
?AB C
的面积？
参考答案
3-3

2
5

设计意图：
难度提升，把三角形面积公式和正弦定理相结合，学 生要求解面积，先要同正弦
定理解三角形。通过此题帮助学生复习加深正弦定理，教会学生用联系的观点 看问题，
逐步分析问题解决问题，同时为接下来学生自主探究余弦定理相关面积问题做好铺垫。
讲练结合，例题讲完紧跟练习，及时巩固。

步骤6：生活实际，深入探究（10min）
老师我们学的这些知识有用么，有用，现在就有一个问题等你解决？

好多同学说，
学生自主探究解决问题并请同学上黑板分享解题思路。
探究二
如图 ,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的
区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的 三条
边长分别为68
m
,88
m
,127
m
,这个 区域的面积是多少？
（只需列式不需要计算）
思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目
吗？
提示：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式
求解。
解:设
a?68m,b?88m,c?127m,
根据余弦定理的推论，
c
2
?a
2
?b
2
127
2
?6 8
2
?88
2
?

cosB?

2ac2?127?68

sin
B
?1?cos
2
B

1
应用
S
?
acsinB
可解。
2
设计意图：
从生活中挖掘、提炼素材,寻找实际背景和激趣元素,可以激发学生学习数学的兴
趣,体会数学在实际生 活中的应用意识,培养学生由实际问题抽象出数学问题的能力。引
导学生自主思考如何把生活实际问题化 归为数学问题，并利用余弦定理求解三角形面
积。通过化归过程体会数学建模的思想，提升数学思维。



步骤7：数海拾贝，延伸课堂（3min）
在数学史上解三角形的问题中，如何由三角形的三边直接求出三角形的面积是
6

一个比较困难的问题，古希腊数学家阿基米德、古希腊数学家海伦，还有我国南宋著
名数学家秦九韶 都给出了求解公式，有兴趣的同学可以阅读书21页进一步的学习。
S?p(p?a)(p?b)( p?c)
，这里
p?
1
?
22
?
c
2?a
2
?b
2
?
ca?
?
?
4
?
2
?
?
?
?
?
?
2
1
(a?b?c)
.——海伦公式
2
S?
?
?
——秦九韶“三斜求积”公式
?
?
设计意图：
介绍数学史小知 识，增长学生见识，培养数学兴趣，感受数学史魅力。不仅语文
有诗和远方，在几千年文明中数学也有其 独特的魅力。

步骤8：小结提升，课堂自测（3+5min）

我们这节课的内容就到这，请大家说说这节课有什么收获。
同学们总结的很好，接下来检验一下你们是不是真的学会了。
课堂小测：
1、 在
?ABC
中，已知
A
?60
?
,
b
?1 ,
c
?2,
则
?ABC
面积为（）.
2、在
?A BC
中，已知
a?3,b?13,c?4
,则
?ABC
面积为（）.
3、在
?ABC
中，已知
A
?60
?
,
b
?2,
?ABC
面积为
23
，则
a?
（）.
高考链接：（2017全国二卷理数17题）
4、
?ABC
的内角
A、B、C
所对的边分别为
a,b,c
，已知
sin(A?C)?8sin< br>2
(1)求
cosB
.
(2)若
a?c?6,
?ABC
面积为2，求
b
.
设计意图：

梳理课堂所学，强化三角形面积公式。当堂检测学习效果， 及时反馈问题。个
别学生单独辅导，帮助学生真正融会贯通。见识高考真题，激发求知欲，为学有余力< br>学生加餐。


6.作业与板书
B
,
2
7

布置作业：
1、课本18页练习题1、2
2、配套练习册23页1-5

七、教学反思
板书设计：
课题
1三角形面积公式 学生分享探究
2例题一
1.本 节课设计的亮点在于非常重视学生的思维活动和自主探究，把课堂还
给学生，让学生成为主体，注重对学 生思维的发展和培养。
2.本节课的知识推进采用螺旋上升的方式，题目设置层次分明，逐渐增加难度，符合学生认知规律，学习阻力小最后上升到高考题层面，激发学生学习
斗志。
3.本节课设计课堂自测，及时反馈问题，帮助学生巩固知识，强化重点。
4.从高考要求来看，在题目设计上可以考虑更多元，题型更多，更贴近生
活实际。




8