1.6微积分基本定理教学设计(优秀经典公开课比赛教案)

1.6微积分基本定理
一、教学目标
1、通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积
分；
2、通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义；
3、通过微积 分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养
学生辩证唯物主义观点，提高理 性思维能力。
二、
教学重难点
重点：
通过探究变速直线运动物体的 速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的
含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点：
了解微积分基本定理的含义

三、教学过程
（一）预习导学
1、定积分的概念：
2、用定义计算的步骤：
（二）问题引领，知识探究
⑴导数与积分的关系;
我们讲过用定积分定义计算定 积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般
方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比 较一般的方法呢？
下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：
设一物体沿 直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（
v(t)?o
），
则物体在时间间隔
[T
1
,T
2
]
内经过的路程可 用速度函数表示为
达，即

?
T
2
T
1
v(t)dt
。
另 一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在
[T
1
,T
2
]< br>上的增量
S(T
1
)?S(T
2
)
来表
?< br>T
2
T
1
v(t)dt
=
S(T
1
)?S(T
2
)

而
S
?
(t)?v(t)
。
说出你的发现
⑵ 微积分基本定理
对于一般函数
f(x)
，设
F
?
(x)?f(x)
，是否也有

?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
？
若上式成立 ，我们就找到了用
f(x)
的原函数（即满足
F
?
(x)?f(x)
）的数值差
F(b)?F(a)
来计算
f(x)
在
[a,b ]
上的定积分的方法。

设
F
?
(x)?f(x)
则在
[a,b]
上，⊿y=
F(b)?F(a)

将
[a,b]
分成n 等份，在第i个区间[xi-1,xi]上，记⊿yi=F(xi)-F(xi-1),则
⊿y=∑⊿yi 如下图，因为⊿hi=f(xi-1) ⊿x 而⊿yi≈⊿hi 所以
⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1) ⊿x 故

1

⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1) ⊿x=

即
b
?
b
a
f(x)dx

?
a
f(x)dx
=
F(b)?F(a)


所以有微积分基本定理： 如果函数
F(x)
是
[a,b]
上的连 续函数
f(x)
的任意一个原函
数，则
?
?
b
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
?
b
a
f(x)dx

（此处并不要求学生理解证明的过程）
为了方便起见，还常用
F(x)|
b
a
表示
F(b)?F(a)
，即
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的
一般方 法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了 导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后
面的学习奠定了基础。因此 它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅
如此，它甚至给微积分学的发展带来了深 远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
⑶应用举例
例1．计算下列定积分：
3
1
1
dx(2x?)dx
。 ； （2）
2
?
1
x
?
1
x
1
'
解：（1）因为
(lnx)?
，
x
2
1
2
所以
?
dx? lnx|
1
?ln2?ln1?ln2
。
1
x
（1）
2

2

1
，
x
2
333
11
所以
?
(2x?
2
)dx?
?
2xdx?
?
2
dx

111
xx
1
3
122
3
。
?x
2
|
1
?|
1
?(9?1)?(?1)?
x33
（2））因为
(x)?2x,()??
2''
1
x
练习：计算
解：由于
?
1
0
x
2
dx

1
3
x
是
x
2
的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
3
1
1
31
1
3
1
3
1
2
?
xdx
=
x|
0
=
?1??0
=
0
3
3
33
例2．计算下列定积分：
?
?
0
sinxdx,
?
sinxdx,
?
sinxdx
。
?
0
'
2
?
2
?
由计算结果你能发现什么 结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为
(?cosx)?sinx
，
所以
?
?
?
sinxdx?(?cosx)|?(?cos2
?
)?(?cos
?< br>)??2
，
?
?
?
?
?
sinxdx?( ?cosx)|?(?cos2
?
)?(?cos0)?0
.
?
0
2
2
2
0
2
0
?
sinxdx?(?c osx)|
?
0
?(?cos
?
)?(?cos0)?2
，
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等
于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且
等于曲边梯形的面积的相反数；



3

( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分
的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的
曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公 里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度
a
=1.8
2
米秒刹车 ，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t =0时，汽车速度
v
0
=32公里小
32?1000
米秒
?
8.88米秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为
v(t)=v
0
?at=8. 88-1.8t
当
3600
8.88
?4.93
秒 汽车停住时,速 度
v(t)=0
,故从
v(t)=8.88-1.8t=0
解得
t=
1.8
时=
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
s?
?
4.93
0
v(t)dt?
?
4.93
0
1
(8 .88?1.8t)dt
=
(8.88?1.8?t
2
)
2
0
4.93
?21.90
米,即在刹车后,汽
车需走过21.90米才能停住 .
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一
种有 效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成
为一门影响深远的 学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的
成果．
四、目标检测
课本p55练习⑴----⑻
五、教学反思：


4