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职高公开课椭圆的性质

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-03 01:23
tags:高中数学公开课

高中数学选修1-1的教学反思-新ces学法高中数学视频

2020年10月3日发(作者:仲剑平)


课 题:

班 级:

时 间:

地 点:

授课人:


















学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。
教师:除了轴对称性外,还可能有什么对称性呢?
稍作提示容易发现中心对称性。
教师:这仅仅是由观察、猜想得到的结果,怎样用方程证明它的对称性?
师生讨论后,需要建 立坐标系,确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在x
x
2
y
2
轴上的 椭圆的标准坐标系,它的方程就是
2
+
2
=1。
ab
教师:这节课就以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。
教师:这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴,我们先证椭圆关于y
轴对称。
为了证明对称性,先作如下铺垫:(一起回顾)
教师:在第一册学过,曲线关于y轴对称是指什么呢?
学生:曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。
教师:要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上,只要证明-----
学生:曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。
在学生尝试进行问题解决的过程中,当 他们难以把握问题解决的思维方向,
难以建立起新旧知识的联系时,这就需要教师适时进行启发点拨。
教师:同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程,仔细体会并思考“为什么
把x换成- x时,方程不变,则椭圆关于y轴对称”。
请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程,以此来训练学生表 述的逻辑性、完
整性和推理的严谨性。
教师对学生的证明进行评价。
教师:用类似 的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。课件展示
x
2
y
2
对称性并总结:方程
2
+
2
=1表示的椭圆,坐标轴是其对称轴,原点是其 对称
ab
中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).
教师引导学生对这一环节进行反思,即通过建立坐标系,用椭圆的方程研究
椭圆的性质,这种方法我们今 后经常用到。
投影显示下图及问题
y

1






o x

问题:图中的椭圆有对称轴和中心吗?
指导学生思考讨论后获取共识:坐标系 是用来研究曲线的重要工具,而椭圆
的对称性是椭圆本身固有的性质,无论椭圆在坐标系的什么位置,它 都有两条互
相垂直的对称轴,有一个中心,与坐标系的选取无关。(此问题也为后面研究平
移变 换埋下伏笔)。
2.顶点的发现与确定
教师:我们研究曲线,常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。
教师提问:你认为椭圆上哪几个点比较特殊?
由学生观察容易发现,椭圆上存在着四个特殊点,这四个点就是椭圆与坐标
轴的交点,同时也是椭圆与它的对称轴的交点。
教师启发学生与一元二次函数的图像(抛物线)的顶点作类比,并给出椭圆
的顶点定义。
教师:能根据方程确定这四个顶点的坐标吗?
由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b,因此B
1
(0,-b),
B
2
(0,b) ,令y=0,得x=±a,因此A
1
(-a,0), A
2
(a,0)。
结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长,半焦距,
点明方程中a、b 和c的几何意义和数量关系。
由学生探究得出椭圆的一个焦点F
2
到长轴两端点A
1
, A2
的距离分别为a+c
和a-c。教师指出,这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用 到。
3.图形的范围
教师:同学们继续观察椭圆,如果分别过A
1
、A< br>2
作y轴的平行线,过B
1

B
2
作x轴的平行线(课件展示),同学们能发现什么?
学生能答出:椭圆围在一个矩形内。
教师补充完整:椭圆位于四条直线x=±a, y=±b所围成的矩形里,说明椭圆
是有范围的。
x
2
y
2教师:下面我们想办法再用方程
2
+
2
=1(a>b>0)来证明这一结 论的正确
ab

2


性。启发学生,用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。
从方程的结构特点出发,师生共同分析,给出证明过程。
x
2
y
2

2
+
2
=1,利用两个实数的平方和为1,结合不等式知识得,
ab
x
2
≤a
2
且y
2
≤b
2< br>,则有|x|≤a,|y|≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。
4.离心率
教师:我们在学习椭圆定义时,用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样
吗?
同学们能回答出:不一样,有的圆一些,有的扁一些。
请同学们思考:椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢?
课件动画演示
此时学生展开讨论,可能有的说与a、c有关,也可能说与a、b有关等等。
通过观察演示实验,化抽象为具体,引导学生思考。
教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形
里,矩形的变化对椭圆形状的影响。
矩形越狭长,椭圆越扁;矩形越接近于正方形,椭圆越接 近于圆;当矩形变
为正方形时,即a=b时,椭圆变为圆。
bb
即当比值越小,椭圆越扁;比值越大,椭圆越接近于圆。
aa
c
2
a
2
?c
2
bcb
a
2
?c
2
1?()
由于 ===,所以当越大时,越小,椭圆
2
a
a
aaa
a
cbc
越小时,越大,椭圆越接近于圆。把比值e=叫椭圆的离心率,aaa
分析出离心率的范围:0<e<1。
结论:椭圆在- a<x<a,-b<x<b 内,离心率e越大,它就越扁;离心率e
越接近于0,它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程 度的量。
bc
由上面的分析可以看到,比值、的大小都能反映椭圆的圆扁程度,为什
aa
c
么定义是椭圆的离心率呢?因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的,是决定
a
c
椭圆形状最关键的要素,随着今后的学习可以看到还有更重要的几何意义。
a
三.巩固与创新应用
越扁;当
x
2
y
2
例1求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率和顶点,并画出它的草图。
2516
本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程,后一部分由教师

3


介绍画椭圆草图的方法(考虑到画草图对学生来说比较实用)。
解:由于a=5, b=4 ,c=
25?16
=3
椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=8
c3
离心率e==
a5
因为焦点在x轴上,所以椭圆的四个顶点的坐标是
(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)
教师:根据椭圆的性质,可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图,
方法如下:(课件展示) < br>首先确定椭圆的四个顶点,其次画出表示范围的矩形框,然后画出椭圆在第
一象限的部分,最后根 据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图
形。
教师提醒学生:画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。
学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。
教师说明,如果需要比较准确地画出椭圆,可以按教材例1那样,用描点法
画出椭圆在第一象 限的部分,再根据对称性画出整个椭圆(要求学生课下阅读教
材中的描点法作图)。
x
2
y
2
练习:如果把例1中的椭圆方程改为+=1,则长轴长、短轴长、离心
1625
率和顶点有什么变化。
此处是一个创新点,培养学生用类比的思想解决问题的能力 ,也通过与上题
做比较,使学生体会到椭圆的性质是其本身固有的,是客观存在的,与坐标系的
选取无关。
学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错,教师要予以
纠正。 (此题用实物投影展示或由学生到黑板板书)
例2 我国发射的“神舟五号”飞船在变轨前是沿以地球的中心F
2
为一个焦
点的椭圆轨道 运行的。已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面约为200km,
远地点B(离地面最远的点)距 地面约为350km,地球半径为6371km并且F
2

A、B在同一直线上,求飞 船运行的轨道方程。(结果精确到0.01km)
设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应 用意识和运用数学知识解
决实际问题的能力;第二,为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。

4


师生共同分析:先把实际问题转化为数学问题。(求神舟五号飞 船的轨道方
程,就是求椭圆的方程)。
教师:求椭圆的方程又需要先做什么呢?(建立坐标系)。
怎样建系?(以过A、B的直线为 x轴,F
2
为椭圆的右焦点,记F
1
为左焦点
x
2
y
2
建立如图所示的直角坐标系(课件上作图、建系)则它的标准方程为
2
+
2
=1
ab
(a>b>0)。
下面确定a、b的值,题中提供的 信息是近地点、远地点到地面的距离以及
地球的半径,由这些条件我们可以知道些什么呢?
学生对照图形认真思考,相互讨论由学生得出解法。
|F
2
A|=6371+200 ,|F
2
B|=6371+350
又∵|F
2
A|=|o A|-|oF
2
|=a-c
因此,有 a-c=|o A|-|oF
2
|=|F
2
A|=6371+200=6571
同理,得 a+c=|o B|+|oF
2
|=|F
2
B|=6371+350=6721
解得 a=6646, c=75
2222
b=a-c=(a+c)(a -c)=44163691≈6645.58
x
2
y
2
因此,飞船的 轨道方程为+=1
22
66466645.58
学生可能出现的另一种解法:
由2a =|AB|=|BN|+|NM|+|MA|
=350+2×6371+200
∴ a =6646
c =|oF
2
|=|o A|-|F
2
A|
=6646-6371-200=75
以下做法同上。
计算过程由学生用计算器求得。
教师最后课件展示:用计算机画出飞船运行的
轨迹。
四.总结提炼
教师:通过这节课学习,你学到了什么?(教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结,培养学生反思自己学习过程的意识)
1.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决
有关问题的基础。
2.数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法,平时学习中
注意运用。
3.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法(坐标
法),这种方法不 仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。
五.研究性作业
(1).以椭圆这 部分内容为知识背景,以自述体的形式写一篇200字左右数学小
短文,题目为《我的自述》,下次课进 行展读。(本作业意图是,通过短文的形式

5

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