高三数学第二轮《数形结合》公开课教案

华侨中学高三数学（理科）第二轮复习
专题：数形结合思想 教学地点：厦门一中集美分校 高三（4）班
授课教师：华侨中学 王磊
【思想方法概述】
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况， 讨论函数
的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．< br>从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然
会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方
法，在考题形 式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形
结合的思想方法．复习中应 提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊
数或特殊点来精确确定图形间的位置关系 ．
以
形助数
(数题形
解)
以
数辅形
(形题数
解)
借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的
关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目
的的解决数学问题的数学思想．
借 助于数的精确性和规范性及严密性来阐明
形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解
决问 题的数学思想．
数形结合思想通过
“以形助数，以数辅
形”，使复杂问题简单
化，抽象问题具体化，能
够变抽象思维为形象思
维，有助于把握数学问题
的本质，它 是数学的规律
性与灵活性的有机结合．
1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数 辅形”两个方面，其应用大致可
以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即 以形作为手段，数
作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规 范严
密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明
曲线的几何性质．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性 原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解
题将会出现漏洞．有时，由于图 形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质
只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来 的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数< br>问题进行几何分析容易出错．
（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用 时，一要考虑是否可
行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖 掘隐含
条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点
（1）集合的运算及Venn图；

（2）函数及其图象；
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；
（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；
（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；
（6）对于研 究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的
零点、顶点是关键点），做好知 识的迁移与综合运用．
4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择 题、填
空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和
速度．具体操作时，应注意以下几点：
（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；
（ 2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，
值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调
整，以便于作图），然后作出两个函 数的图象，由图求解；
（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观 代替相
关的计算和推理论证．

?
x?1?0
y
?
【例题1】. 【2015课标全国Ⅰ理15】若
x,y
满足约束条件
?
x?y?0
，则的最
x
?< br>x?y?4?0
?
大值为 .


【变式】设点P
(x,y)
为圆
x
2
?y
2
?1< br>上的动点.
(1) 求
(x?2)
2
?(y?1)
2
的取值范围 （2）求
x?y
的取值范围； (3)求
范围




【规律方法】
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结 合的方法来解题，
即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．
y?1
的取值
x?2

b－n
(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率．
a－m(3)（a－m）＋（b－n）表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．
只要具 有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用
数形结合的思想方法．
【例题2】已知
0?a?1.
则方程
a
|x|
?|log< br>a
x|
的实根个数为






【变式】
已知关于
x
的方程
x?4x?5?m
有四个不相等的实根，则实数
m
的
2
22
取值范围为






【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，以形辅数。
【例题3】（2 015课标全国Ⅰ理10）已知抛物线C：
y?8x
的焦点为F，准线为
l
， P
是
l
上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若
PF?4FQ
，则
QF?
（ ）
A.




【规律与总结】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线；4、数形结合



【变式】已知
P
为抛物线
y
＝4
x< br>上的一个动点，
Q
为圆
x
＋(
y
－4)＝1上一个动 点，那

222
2
75
B.
3
C. D.
2

22

么点P
到点
Q
的距离与点
P
到抛物线的准线的距离之和最小值是( )
A．5 B．8
－1 ＋2




【课时练习】
?
2
?x
?1
x?0
?
1.设函数
f(x)?
?
1
，若
f(x
0
)?1
，则
x
0
的取值范围是（ ）
2
x?0
?
?
x
（
A
）（
?1
，1） （
B
）（
?1
，
??
）
（
C）（
??
，
?2
）
?
（0，
??
） （
D
）（
??
，
?1
）
?
（1，
??
）
2.设命题甲：
0?x?3
，命题乙：
|x?1|?4，则甲是乙成立的（ ）
A. 充分不必要条件
C. 充要条件



3．函数
f
(
x
)＝
ax
＋
bx
＋
cx
＋
d
的图象如图所示，则下列结论成 立的是( )
32
B. 必要不充分条件
D. 不充分也不必要条件

A．
a
>0，
b
<0，
c
>0，
d
>0 B．
a
>0，
b
<0，
c
<0，
d
>0
C．
a
<0，
b
<0，
c
<0，
d
>0 D．
a
>0，
b
>0，
c
>0，
d
<0



4.如图，函数
f
(
x
)的图象为 折线
ACB
，则不等式
f
(
x
)≥log
2
(
x
＋1)的解集是( )

A．{
x
|－1＜
x
≤0} B．{
x
|－1≤
x
≤1}
C．{
x
|－1＜
x
≤1} D．{
x
|－1＜
x
≤2}

?
4x?5y?8
?
5.【2015高考广东，理6】若变量
x
，< br>y
满足约束条件
?
1?x?3
则
z?3x?2y
的< br>?
0?y?2
?
最小值为（ ）
A．
3123
B.
6
C.

D.
4

55
6. 【2015高考新课标2，理11】已知
A
，
B
为双曲线
E
的左，右顶点，点
M
在
E
上，?
ABM
为等腰三角形，且顶 角为120°，则
E
的离心率为（ ）
A．
5
B．
2
C．
3
D．
2

7.(201 6届高三·洛阳四校联考)已知
y
＝
f
(
x
)为偶函数，当
x
≥0时，
f
(
x
)＝－
x
＋2
x
，
1
则满足
f
(
f
(
a
))＝ 的实数
a
的个数为( )
2
A．8
C．4
2
2
B．6
D．2
8.当
x
∈(1，2)时， (
x
－1)＜log
a
x
恒成立，则
a
的取值范围 为________．


xy
9．已知x，y满足条件＋＝1，求y－3x的最大值与最小值．
1625



10. 函数
y?x
2
? 2x?2?x
2
?6x?13
的最小值为___________.
22
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