2.3.1双曲线及其标准方程公开课教学设计

§2.3.1双曲线及其标准方程
海南华侨中学 王芳文

1．教学背景
1.1 学生特征分析
我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上， 学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是
学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上， 对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象
概括及分析综合能力。
知识储备上，学 生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，
会根据题目条件求 简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质
了解不深，而且理 性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困
难。把新问题转化 为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。
1.2教师特点分析
自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进
行有 效指导。
不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。
1.3 学习内容分析
1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的 进一步深化和
提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作 用就是纵向承
接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求 和课程标准角
度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正 因如此，学生
在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆 与双曲线的区
别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学 中要时刻注意
运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习 能相互促进。
2、例题分析：
温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。
探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；

- 1 -

2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F
1
，F
2
上；
3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线.
点M在运动过程中满足什么几何条件？(如图（A）、（B）)

点M满足的几何条件：

点M满足的几何条件：

从直观上让学 生认识双曲线,分析双曲线上动点所满足的几何关系,类比椭圆定义，帮助学生归纳双曲线
的定义。 < br>例题：例1已知双曲线的两个焦点分别为
F
1
(?5,0)
，
F
2
(5,0)
，双曲线上一点
P
到
F
1
，
F
2
距离差的绝对值
等于6，（1）求双曲线的标准方程. （2）双曲线上一点Ｐ，若|PF
1
|=10，则|PF
2
|=

.
让学生能够在初步认识双曲线的定义和标准方程的情况下，分清
a,b,c，能直接写出标准方程。
思考：把例1中的绝对值去掉，求点P的轨迹，再次从轨迹方程的角度辨 析概念，帮助学生形成完整准确
的理性认识。
2．教学目标
1、掌握双曲线的定义和标准方程。
2、学生经历定义的归纳、发现，和标准方程的推导过程 ，进一步体会类比和数形结合的思想方法，提
高观察能力和探究分析能力。
3、在教师的指导 下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认识，能对数学学
科产生兴趣。
【教学重点】理解和掌握双曲线的定义及其标准方程
【教学难点】双曲线标准方程的推导

- 2 -

【教学方式】启发式、探究式
【辅助工具】多媒体课件，几何画板。
3．教学方法
著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”
双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验， 因此在教学中采用了
“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：（1） 以类比思维作为教学的主线（2） 以自主探究
作为学生的学习方法
三、教学过程与设计
教学
环节

一、
温故
知新
1.复习椭圆概念
2．那么，与两定点距离的差为非
零常数的点的轨迹是什么？

学生回答
教师展示课件，
提出问题：与两定点距离的差
为非零常数的点的轨迹是什
么？
二、
实验
操作
，
形成
概念
3.引入新课题，探索新概念
实验操作：1.取一条拉链，拉开一
部分；
2.在拉开的两边各选择一点，分别
固定在点F
1
，F
2
上；
3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐
渐拉开或者闭拢，画出一条曲线.
点M在运动过程中满足什么几何

1. 动点M满足什么几何条
件？
2. 类比椭圆定义，大家能否
复习巩固旧知
识，为引入双
曲线定义作铺
垫.
激发学生兴
趣，让学生带
着问题学习
类比椭圆的
定义，让学生能从图中分析
得到双曲线的
定义，而且强
互助合
作，讨论
分析。
教师课
件展示，
问题引
导，学生
回答。
教学过程 师生活动 设计意图 教学策
略


问答
归纳一下双曲线的定义？
调椭圆与双曲
3. 常数有没有要求？为什
么？
把拉链固定的两个点位置互
线定义的区别
与联系

- 3 -

条件？
如图（A），
换，此时点M满足什么几何条
件？如图（B），

归纳双曲线定义

三、
推理
验证
以F
1
,F
2
所在的直线为x轴，线段

F
1
,F
2
的中点为原点建立直角坐标系
2. 设点．
设M（x , y）,则F
1
(-c,0),F
2
(c,0)
3.列式
|M F
1
| - |M F
2
|=±2a
回忆椭圆标准方程，类比椭圆标准
方程的建立过程，推导双曲线的标
准方程。
1. 建系.

1. 类比椭圆标准方程的建立
过程，如何求双曲线的标
准方程呢?
2. 如何建系?化简 ？
本环节不
断刺激学生回
顾椭圆的标准
方程的推导过
程，类比说明< br>双曲线的标准
方程推导的关
键步骤。体会
椭圆与双曲线
师生问
答
积极评
价








3. 为何可令
c
2
?a
2
?b
2
？
4.
a
和
b
有没有大小关系？
5. 椭圆中
a
和
b
谁大？
的的区别与联
系，同时强化
求曲线方程的
一般步骤。
(x?c)?y
22

6. 椭圆分焦点在x轴上，和y
轴上两种？ 双曲线是否也
?(x?c)
2
?y
2
??2a

有类似情况？
7. 焦点在y轴上的双曲线的
标准方程如何求？
4.化简

- 4 -

(x?c)
2
?y
2
?(x?c)
2
?y
2
??2a
cx?a
2
?? a(x?c)
2
?y
2
(c
2
?a
2
)x
2
?a
2
y
2
?a
2
(c
2?a
2
)
x
2
y
2
??1
a
2
c
2
?a
2
令
c
2
?a
2?b
2

x
2
y
2
则有
2
?
2
?1

ab

学生说明自己的思路，具体推
导由学生课后完成。



四、
课堂

练习





y
2
x
2
?
2
?1(a?0,b?0)

2
ab
请同学们类比归纳椭圆标准方
程和双曲线标准方程的区别和
联 系.
1.请说出下列方程所表示曲线
的焦点位置及a，b
x
2
y
2
(1)??1
94
x
2
y
2
(2)?? 1
49
x
2
y
2
(3)???1
49
方程 推导结
束后，此时由
于椭圆方程，
双曲线方程的
相似性，不少
同学会 将二者
混淆，且判断
焦点位置的方
激励为
主
快速作
答
相互合
作
形成共
识
x
2
y
2
??1(a?0,b?0)

a
2
b
2

法也需要根据
实例加以落
实， 因此故意
安排椭圆方
程，双曲线方
程及变式要学
生加以区分巩
固。
(4)4x?y?64

学生独立完成，快速口答，相
互纠正，教师指导。
2.已知双曲线的焦点在坐标轴
上，焦距为20，a=8 ，求双曲
线的标准方程.
学生独立完成,教师课堂展示
22
检验学生对
标准方程基本
形式和双曲线
定义的理解程
度

- 5 -

五、
例题
讲解
例1 已 知双曲线两个焦点分别为
F（-5，0），F(5,0),双曲线上一
12
学生板演， 教师巡视检查，选
择有代表性的解答多媒体展
示，对典型错误进行纠正。
通过练
习，检测学生
对方法掌握情
况。
引导学生对双
曲线 定义中距
离之差的绝对
值是常数和距
离之差是常数
师生合
作完成
点P到F
1
，
2
F距离差的绝对值等于


6，求（1）双曲线的标准方程.
(2)双曲线上一点Ｐ，若|PF
1
|= 10，
则|PF
2
|=

.
解：（1） 因为双曲线的焦点在
x
轴
上，所以设它的标准方程为
xy
??1(a ?0,b?0)
.
22
ab
22
是两个不同的
情况，点的 轨
迹是双曲线的
两支还是一
支，对双曲线
的定义的设定
有更深的认< br>识。
因为
2a?6,2c?10
，所以

a?3,c?5< br>，所以
b
2
?5
2
?3
2
?16
。
因此，双曲线的标准方程为
xy
??1
.
916
22
（2）∵| |PF
1
|-|PF
2
| | =6，
|PF
1
|=10，∴|PF
2
| = 4或16.
思考：若把例1中的绝对值去掉，
则点P的轨迹是什么?求点P的轨
迹方程.

六、
比较
归纳

我们时时处处都不断回顾椭圆
的 相关性质，运用了类比的思
想方法，这是学习新知识，认
识新事物的一个重要方法。

- 6 -
请根据表中所给椭圆的定义，方程
写出双曲线对应的知识。
学生自己说
教师做必要补充
通过小结使
本节课的知识
系统化，使 学
生深刻理解数
学思想方法在
解题中的地位
和应用，培养
学生养成对 所
学知识及时总
结提炼的习
师生
合作完
成


请同学们回顾一下，本节课有
哪些知识点？

惯，不断提升
自己。
通过学生口
述，检测学生
课堂知识的掌
握情况。
七、
布置
作业
P55 练习1（1）（2）（3）,3

请同学们课后完成。 针对本节课的
教学重点：理
解双曲线定义
和会求简单双
曲线的标准方
程，设计作业
题，帮助学生
落实课程要
求。
展望
优美的双曲线
忧伤的双曲线

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数学是美 的,美在方程的简洁
对称,美在图形的优美,只要同
学们有一颗爱美的心,就能寻
找到 数学中的美.
提高学生的数
学学习兴趣，
提醒学生预习
双曲线的几何
性质

学
生课后
独立完
成
板书设计
双曲线的定义及其标准方程
一、
二、


双曲线的定义 三 例1：学生板演 推导演示
双曲线的标准方程

- 7 -