高中数学小课题

高中数学小课题
——高中数学中的恒成立问题
四川省宣汉县第二中学 杜林
课题论点：
恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。下面从函数定义域不等< br>式立体几何数列四大类中恒成立题型作具体剖析，以提高我们分析数学问题解决数学理论
和实际应 用题的能力；实际上有的恒成立是对所有实数成立，而有的针对一定义范围内都
成立或者某种限制条件下 都成立；解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题。
数学课本中的公理定理推论公式等都可作为 恒成立的结论：一次函数图
象经过了一二三象限的则不会过第四象限，过了一二四象限的图象则不会过< br>第三象限；二次函数图象开口向下时，则函数值在顶点处取最大值，开口向
上时，在对称轴的右面 呈递增的特性；奇函数都有f(0)=0成立（f(x)在x=0
有定义）；│f(x)│≥0在定义域 内恒成立；指数函数的值恒为正；周期函数
从任一起点的一个周期内的图象截下沿X轴依次存放则成整个 定义域内的图
象；等比数列相邻相同项数的和与积都成等比数列；立体几何图形中的面积
和体积 不变问题等等。具体来说有下面的恒成立题型。
一、定义域中恒成立
案例1 如若函数f (x)=
2
x?2ax?a
?1
的定义域为R,则a的取值范围是什么？(2007年高考)
解：∵
f
(
x
)=
2
x
2
?2ax?a
2
?1
的定义域为x∈R，∴
2
x?2ax?a
2
≥1恒成立,即
x
2
-2
ax
-
a
≥0恒成立,∴△≤0即(2a)
2
-4×(-a) ≤0,解得-1≤
a
≤0.
案例2 已知：a > 1，若仅有一个常数c使得对 于任意的
x
∈［
a
,2
a
］,
都有y∈［a,a< br>2
］满足方程log
a
x+log
a
y=
c
,求a的取值的集合为什么？ (2008
年高考)

a
c
解：∵log
a
x+log
a
y=
c
,∴y=.
x
a
c
∵a > 1, ∴y=在
x
∈［a,2a］上递减，
x
c
1
a
c
a
c-1
∴y
max
==a,y
min
==ac-1
,
2a
2
a



∵log
a
2+2≤
c
≤3时，而c值只有1个，
∴c=3,即log
a
2=1,有a=2.
∴a的取值的集合为：{2}
注：对于定义域问题，要注重各个基本函数的定义域条件，实际上是比
较基础的，主要是认出题 目反映出来的是哪个基本函数。如果题目与其它知
识交叉运用，则难度会增大；同时重视多个条件的限制 。
二．不等式中恒成立
恒成立往往是在某个范围内成立，所以经常以不等式的形式出现。
案例3 集合A={t|t
2
-4≤0}，对于满足集合
A
的所有 实数t，则使不等
式x
2
+tx-t>2x-1恒成立的
x
的取值范 围为什么？（2010年模拟）
解：∵A={t|t
2
-4≤0}， ∴A=［-2,2］,
∵（x-1)t+x
2
-2x+1>0对t∈A恒成立，
∴f(t)=(x-1)t+x
2
-2x+1对t∈［-2,2］恒有f(t)>0，
?
f(?2)?0
,
即 ∴
?
?
f(2 )?0
2
?
x
?
?
x
?4x?3?0
，解 得
?
?
2
?
x
?
?
x
?1?0< br>?3或x?1
?1或x??1
,


2

∴x的取值范围为：x > 3或x < -1
案例4 设f(x)=
(
x?1
)
x
2
2
,若x≥2时， 有不等式(x-1)f
-1
(x)>a(a-
x
)
恒成立。求实数a 的取值范围。
解：∵f(x)=
(
∴取y=
(
x?1
)< br>x
2
(x≥2)反函数存在，
1
y?1
x?1
)
x
1
x?1
(x≥2),则有：y>1 ,x=，∴f
-1
(x)=
1
x?1
(x>1)。
∵(x-1)f
-1
(x) > a(a-
x
)恒成立，
∴(x-1) > a(a-
x
),化简得（a+1）
x
>a
2
-1恒成立。
∵x≥2 , 有a+1≠0（若a+1=0，则0×
x
>0不成立），
∴下面分a+1 > 0与 a+1 < 0讨论：
①当a+1>0时，不等式可化为：
x
>a-1对x≥2恒成立，
∴
?
?
a?1?0
有：-1< a <
2
+1
a?1?2
?
②当a+1<0时，不等式可化为：
x
∴a <-1 ,有a-1 < -2.而
x
→+∞，∴
x
< a-1不成立，即a∈φ
综上①②得：-12
+1
说明：对于不等式恒成立的题型，往往化为 形如a>f(x)或a≥f(x)在x
的某个范围都成立，只需在这个x范围内取f(x)的最大值即可 ；若为a?
f(?2)?0
,
这或者a≤f(x),则取f(x) 的最小值就是。而前面例1为什么会有
?
?
f(2)?0
是由于t∈［-2, 2］，需要函数f(t)既在增函数又在减函数时的两头都要成立，
所以有两个不等式。在以后的高考中 不等式恒成立的题型将会展现。
案例5 在实数集R上定义运算*:
x
*y
=
x
·(1-
y
)，若(
x
-
a< br>)*(
x
+
a
)<1

3

对任意实数
x
都成立，则实数
a
的取值范围是什么？ （2010年模拟）
解：∵x * y = x·(1-y) ，(x-a)*(x+a) < 1,
∴(x-a)(1-x-
a
) < 1对x∈R都成立,x
2
– x - a
2
+ a + 1 >0对x
∈R恒成立，
∴Δ < 0，即（-1）
2
-4（-a
2
+a+1）<0，
∴4a
2
- 4a - 3 < 0,解得：-< a <
注：这是 一道新定义关系的恒成立题型，是关于二次不等式恒大于或小
于零的题，都与Δ恒为负或恒为正相关，当 然与抛物线的开口方向有关，难
度较小；但与新定义关系联合时难度加大，这也是创新性社会下高考数学 的
一个方向，在平时的教学中要多设计多交流。
三．立体几何中恒成立
高中数学中 立体几何内容涉及到线与线、线与面、面与面的位置关系，
主要是垂直和平行关系的应用。其中不泛有趣 味的几何问题，如：如图示，
正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、H、N分别是棱C
1
C、C
1< br>D
1
、D
1
D、DC、BC
的的中点，点M在四边形EFGH 及其内部运动，则M只需满足条件 时，
就有MN∥平面B
1
BDD
1

解：连结
F< br>H、HN，则FH∥
DD
1
，HN∥
BD
，
∴F
H∥平面B
1
BDD
1
，HN∥平面B
1
B DD
1
，∴平面
FHN∥平面B
1
BDD
1
，∴当M在线段FH上时，
M N
?
平面FHN，∴MN∥平面B
1
BDD
1
.即点M在线 段FH
上时，就有MN∥平面B
1
BDD
1

案例6 已知：ΔBCD中，∠BCD=90
0
, BC=CD=1, AB⊥平面BCD，∠ADB< br>＝60
0
，点E、F分别在线段AC、AD上运动，且

4
1
2
3
2
AEAF
?
＝λ(0<λ<1)
ACAD

求证：在0<λ<1上，对λ取任何值都有：平面BEF⊥平面ABC
证明：∵AB⊥平面BCD，而CD
?
面BCD， ∴
AB⊥CD，∵∠BCD=90
0
, 即BC⊥CD，而AB∩BC=B， ∴
CD⊥平面ABC ……①
∵
AEAF
?
＝λ(0<λ<1)
ACAD
∴ EF∥CD ……②
由①②得：EF⊥平面ABC，而EF
?
面BEF
∴0<λ<1对λ取任何值都有：平面BEF⊥平面ABC。
说明：对于线与面的平行，主要 是直线与平面无公共点，其中一个判定
方法是：如果一条直线在某个平面内，并且这个平面与另外的平面 平行，当
然有这条直线与另外这个平面无公共点即平行，第一例就是应用此判定方法。
第二例用 到直线与平面垂直，那么过这条直线的所有平面都与这个平面垂直。
实际上，这儿过直线CD或EF的任 一平面都与平面ABC垂直。
四．数列中的恒成立
等差数列和等比数列中的规律不少，其中等比数列的规律更现奇妙。
案例7 等比数列｛< br>a
n
｝中，判定｛
a
n
｝中相邻的连续k项之和所构成
的新数列是什么数列？那么相邻的连续k项之积所构成的新数列是什么数列
呢？
解：取等比数列｛
a
n
｝中前
n
项的和为Sn
1．相邻的连续k项之和所构成的新数列为：
S
k
,S
2k
-S
k
,S
3k
-S
2k
,S
4k
-S
3k
,……

（1）等比数列公比
q
≠±1时，新数列｛
T
n
｝为：
a
1
(1?
q
)
1?q
k
,
a
1
q
(1?
q
)
1?q
kk
,

5

a
1
q
(1?
q
)
1?q
2kk
,
a
1
q
(1?
q
)
1?q
3kk
,
……
∴
T
n?1
?
q
为常数，即新数列｛T
n
｝为等
k
T
n
比数列；
（2）若
q=1时，则连续的k项之和都是相等的且不为零，此时
新数列为等比数列；

（3）若q=-1，且k为偶数时，有：
1?
q
k
=0
1?q
∴ 新数列各项为零，此时为等差数列，而不是等比数列。
2．相邻的连续k项之积所构成的新数列为：
a
1
…
a
k
,
a
k+1
…
a
2k
,
a
2k+1
…
a
3k
,
a
3k+1
…
a
4k
,……
∴ 即为：
a
1
k
q
k(1?k)
?k
2
，
a
1
n?1
n
k
q
k(1?3k)
?k< br>2
，
a
1
k
q
k(1?5k)
?k
2
，
a
1
k
q
k(1?7k)
?k
2< br>…
T
∴新数列｛
T
n
｝有：
T
?
q
k
2
为常数
即新数列｛
T
n
｝为等比数列。
说明：数列是高考中又一难点，对其中恒成 立的结论依靠等差数列和等
比列的基本性质，如通项和前n项和的公式；只要用这两个特殊数列进行推< br>导，会发现很多有趣的结论，此处就是一弹琵琶曲。


6