高中数学课题教学设计新部编版案例

精品教学教案设计 | Excellent teaching plan


教师学科教案
[ 20 – 20 学年度 第__学期 ]


任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________

xx市实验学校





育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
高中数学课程 可选内容的资源
-------数学建模、数学课题学习的教学设计的案例
1．升旗中的数学问题
（一）问题情景和任务
问题情景：
在不同地区，同 一天的日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出
日落时间又是随日期的变化而变化的。北京的天 安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着
太阳降落，下表给出了是天安门广场2003年部分日期的升 、降旗时刻表：
日期
1月 1日
1月21日
2月10日
3月 2日
3月22日
4月9日
4月28日
升降时刻
7:3616:59
7:3117:20
7:1417:43
6:4718:06
6:1518:27
5:4618:46
5:1919:05
日期
5月16日
6月3日
6月22日
7月 9日
7月27日
8月14日
9月 2日
升降时刻
4:5919:23
4:4719:38
4:4619:46
4:5319:45
5:0719:33
5:2419:13
5:4218:45
日期
9月20日
10月 8日
10月26日
11月13日
12月 1日
12月20日

升降时刻
5:5918:15
6:1717:46
6:3617:20
6:5617:00
7:1616:50
7:3116:51


任务1：
试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的大致规律；建立坐标系，
将以上数据描在坐标系中；
任务2：分别建立日出时间和日落时间关于日期的近似函数模型； 利用你建立的函数模
型，计算“五一”国际劳动节、“十一”国庆节的升、降旗时间；
任务3 ：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门2003年升旗时间表，检验模
型的准确度，分析误差 原因，考虑如何改进自己的模型。
任务4：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的“日 出和日落”的时间，
建立一个函数关系。

（二）实施建议与说明
通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体
验数学建模的基本过程 ，增强数学知识的应用意识。理解用函数拟合数据的方法，提高对数
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据的观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。
在这个探求活动中，要特别重视观察、分 析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使
用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。

1.组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人
的“成果报告”。
2. 任务1的建议：
为了便于在坐标系中观察表中数据，选择 适当的计量单位，如升旗时刻以10分之为一
个单位，日期可以天为单位，即1月1日为第0天，12月 31日为第364天；可借助图形计
算器或其它工具绘制各点，
3.任务2的建议：
利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老师等，结合散点图，选择学过的适当函数，
作为刻画该关 系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间
等）在确定拟合函数参数中 的作用；
4．任务3的建议：
根据观察坐标平面上所绘制点的走向趋势，可以考虑分段拟合函数。
5．“成果报告”的书写建议
成果报告可以下表形式呈现。

表1： 探究学习成果报告表 年级 班 完成时间
1、 课题组成员、分工、贡献：
成员姓名 分工与主要工作或贡献






2、 探究的过程和结果：


3、
参考文献
：
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4、 成果的自我评价：（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）


5、
拓展（选做）：在解决问题的过程中发现和提出的新问题，可以延伸 或拓广的内容；得
到的新结果或猜想等

6．
体会：描述在工作中的感受



5．成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研
究体会。
6．评价建议：
在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合的形式，善于发现别人工作中的 特色，以
下几个方面的内容可作为重点考虑：
（1）求解过程和结果：合理、清楚、简洁；
（2）独到的思考和发现；
（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；
（4）发挥组员的特长，合作学习的效果；
（5）合理使用技术；
（6）查阅文献，获取信息的能力。

（三）教学参考信息
第七届数学知识应用初赛试题
题目：
在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同 ；对一个地区而言，日出日落
时间有时虽日期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳 升起，伴着太阳
降落。表1是天安门广场2003年部分日期的升旗时刻，表2是天安门广场2004年 2月部分
日期的升旗时刻。请回答下面的问题：
（1）建立坐标系，将表1数据描在坐标系中；
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（2）根据已给数据建立数学模型，估算2004年“五一”国际劳动节的升旗时间；
（3）如果你打算在“五一”观看升旗，选择什么时间到达观看点？
表1
日期 升旗时
刻
1月1日
1月21日
2月10日
3月2日
3月22日
7：36
7：31
7：14
6：47
6：15
4月9日
4月28日
5月16日
6月3日
6月22日
5：46
5：19
4：59
4：47
4：46
7月9日
7月27日
8月14日
9月2日
9月20日
日期 升旗时刻 日期 升旗时
刻
4：53 10月8日
日期 升旗时
刻
6：17
5：07 10月26日 6：36
5：24 11月13日 6：56
5：42 12月1日 7：16
5：59 12月20日 7：31
表2
日期
2月1日
2月3日
2月5日
2月7日
2月9日

升旗时刻
7：23
7：22
7：20
7：17
7：15
日期
2月11日
2月13日
2月15日
2月17日
2月19日
升旗时刻
7：13
7：11
7：08
7：06
7：03
日期
2月21日
2月23日
2月25日
2月27日
2月29日
升旗时刻
7：00
6：58
6：55
6：52
6：49
解：（1）将数据描在坐标系中，如图1-23
（2）天体运动具有很强的周期性，所以日出日落时间成周期变化。
观察题内两表，2003 年2月10日升旗时间是7：14，2004年2月9日是7：15，2月
11日是7：13，可以认为 ，在这几天，两年的升旗时间是相同的；
2003年3月2日升旗时间是6：47，2004年2月2 7日是6：52，2月29日是6：49，
再过两天就是3月2日，显见，在这几天，两年的升旗时间也 是相同的。
于是可以进一步认为，2003年和2004年同期的升旗时间基本上是相同的。在观察2 003
年的图像，整体来看与余弦函数相象。但就局部来看，从2月末到5月中旬，这些点基本上
是共直线的（5月1日正在这个范围内），从7月中旬到12月初也如此。因此，以线性函数
为模型， 用已知数值拟合出函数，估算五一节的升旗时间。
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不妨设函数模型为
y=ax+b x∈[3 , 5.5]
取4月28日的5 ：19和5月16日的4：
59，因为升旗时间是早上，所以5月16日
就记作
515
，5月1日就记作5，于是有：
31
图1—23
27
?
19
5?4a?b
?
?
6030

?
5915
?
4?5a?b
?
31
?
60
得 y=-0.5709x+8.114
对于 x=5，有 y=-0.5709
?
5+8.114=5.26
5.26月为5：15
所以，2004年“五一”国际劳动节的升旗时间约为5：15。
（3）因为5：15是个近 似值，且是估值，为了确保不误事，所以，2004年“五一”观
看升旗，就应该在4：59（2003 年5月16日的升旗时刻）至5：15这段时间到达。

2． 正方体截面的形状
（一）问题情景与任务
用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？
1．给出 分类的原则（例如：按截面图形的边数分类）。按照
你的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种 方案，找到截得这些形状截面的方法，
并在正方体中画出示意图。
2． 如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形？
3． 如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？
4. 证明上面的结果。
5. 截面多边形的边数最多有几条？请说明理由。
6. 截面可能是正多边形吗？可能有几种？画出示意图。
7. 如果截面是三角形，其面积最大是多少？画出示意图。
8. 你还能提出哪些相关的数学问题？
*
*
*
*
*
（二）实施建议与说明
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该课题学习设计的意图
1. 按课标 要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开
展是要有一个渐近的过程的， 学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、学习的过程，
所以在本模块设计该课题，是为实施更为完 整的数学探究、数学建模活动做准备。
2. 该课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法 。涵盖了立体几何中的相当
多的概念、定理，本课题学习的过程是对立体几何知识的一次全面的综合应用 的过程。
3. 该课题的学习很好的体现了立体几何初步一章的基本要求：有助于认识空间图形，< br>培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直
观能力 。
4. 在本章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个施展所学的舞台；另一方面，也
达到了借此课题的研究促进学生对所学的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。
此外，该课题的 学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学
研究中直观和严谨、感性猜测和理 性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。
课题学习的实施建议
采用形式：
形式一（能有效节省课时，但要求学生已初步具备一些自主探索、学习的经验和能力）：
首先 分组（2-3人）进行课下讨论研究，适学生情况，可建议学生通过实验操作进行研
究，最后形成小组的 学习报告。然后，根据学生的学习报告完成情况，在课上让部分小组报
告他们所得到的结果，阐述理由。 并回答教师或其他学生提出的问题，共同研究讨论。
形式二（需要较多课时，适合于没有自主探究、学 习的习惯和经验的学生，有利于他们
初步认识、了解自主学习的开展）：
让学生课前 准备几个正方体模型，课堂上教师引导学生探索、讨论、发现。可以让学生
前后桌四人一组，对引导问题 逐一研究讨论，分组报告研究结果，阐述理由，并接受教师和
学生的质疑。
对课上未 能很好解决的问题，或是由此而引发的新的问题，可以布置给学生课下去探索、
研究，并完成研究报告。 根据情况，可以适当安排时间让学生报告。
教学实施中要注意的几个问题：
1．无论是课下 指导，还是课上教学实施过程之中，教师都要注意引导学生从直观、感
性的猜测，到严密、理性的思考和 推理论证上来，帮助学生认识到两者在数学研究中的关系；
注意引导学生积极地发现、吸纳他人的长处和 优点，使学生学会欣赏别人，并从中吸取友谊
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经验；注意帮助学生清楚、一致地表述自己的观点；注意帮助学生对自己的思维活动进行反
思、调节自己 的思维活动。
2．采用形式一时，教师应注意及时了解学生研究的进展情况，加强对学生自主研究、< br>学习的指导；对没能在课上进行报告的小组，要进行及时鼓励性评价，积极肯定其长处，并
指出不 足之处，做到关注每一个学生。目的是让所有学生从中受益。
3．采用形式二时，教师除了要关注1. 中要点外，要特别注意是引导学生进行主动研究、
学习，而不是取而代之，自己给学生讲解。此外，在布 置的课下任务中，可以适当拓宽一些，
不必仅局限于该课题学习内容本身。如：
（Ⅰ）通过对 正方体棱上点确定的截面的作图方法的了解，利用几何画板制作课件，通
过课件进行研究。
（ Ⅱ）研究满足某些特定条件的截面形状及性质：与棱平行的截面；与体对角线垂直的
截面；等分正方体的 截面等。
（Ⅲ）一个装有定量液体（不满）的封闭中空的正方体随着位置的某种规则（如：以一
棱为轴旋转）变化，液体与正方体各接触面的面积有怎样的性质，各接触面之间有怎样的关
系？处于何 位置时接触面最小？何位置时液面面积最小？
（Ⅳ）研究其它几何体截面形状。
4．帮助、指导学生完成课题学习报告
特别是以下几个方面：
课题学习中发现的新 问题，可拓展的或与其相关的问题；课题研究的自我评价，包括探
究方法或原理的合理性、特色或创新点 、不足之处等；课题学习的反思和体会，包括他人的
哪些工作、研究方法是值得你学习借鉴的，某种特别 的感受等。

（三）教学参考信息

1． 课题学习报告的结构形式：
“正方体截面形状问题”课题学习报告 年级 班 完成时间
课题名称：
研究的简要过程和方法，相关信息及参考文
献的来源和出处等


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初步结论（写明所得结论的性质，如由实验
观察得到、猜想、已证、能证、待证、已构
造出、已找到实例等等）
发现的新问题、可拓展的、相关的问题
初步结论（写明所得结论的性质，如由实验
观 察得到、猜想、已证、能证、待证、已构
造出、已找到实例等等）
课题探究的自我评价
课题学习的反思和体会





若上表填写时地域不够，可以自己增加副页， 也可以自己设计一个研究报告的报表。

2．课题研究的部分结论
（1）
多边形的种类：三角形，四边形，五边形，六边形。
（2）截面三角形只能是锐角三角形（可以是等腰，等边）.如图
22222
c
c’
a
b’
b
图1-21
b
2
?c
2
?a
2
?0
，所以边a所对角为1-21，
a?b' ?c'?b?c
，由预先定理
cosA?
2bc
锐角，同理可得其余角也为锐 角。或由图可知边a所对顶点在以a为直径的圆外，所以该角
为锐角，同理其余角也为锐角。
（3）因为正方体的六个面中，有三对平行面，截面多边形的边是平面与正方体的面的
交线，所以截面多 边形最多是六边形，其中四边形截面至少与一组平行面相交，所以四边形
中至少有一对边平行。截面多边 形可以是正方形，矩形，菱形，平行四边形，等腰梯形，其
它梯形。五边形截面至少与两组平行面相交， 所以有两组平行边，所以必然有两内角相等。
六边形截面一定与三组平行面都相交，所以必有三组平行边 ，所以有三组相等内角。
（4）截面多边形可以是正三角形，正四边形和正六边形。
建议教师提出下列相关引申的问题：
① 满足特定条件的截面多边形形状：
*与正方体一棱垂直的平面，截得的截面多边形只能是正方形；
*与正方体的一条棱平行的平面，截出的截面多边形只能有正方形，矩形；
*与正方体的以体 对角线垂直的平面，截得的截面多边形只能有正三角形，各内角相等
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精品教学教案设计 | Excellent teaching plan 的六边形；过正方体中心的平面，截得的截面都是中心对称的多边形，具体的只能有正方形，
矩形， 菱形，平行四边形，对边相等的六边形；
*与正方体的一面对角线平行的平面，截得的截面多边形只能 是等边三角形，等腰三角
形，等腰梯形，正方形，矩形，菱形，可拆分成一个等腰三角形和等腰梯形的五 边形，可拆
分成两个等腰梯形的六边形。
②截面一定不会是以下几种多边形。
*不可能是直角三角形和钝角三角形。（证略）
*不可能是直角梯形。
证明：如图 1-22，若
?HEF?90
，又由正方体性质可得
o
AB?HE
， 所以
HE?面ABD
，所以
HEAA'
，所以
AA'面EFGH，所以
AA'GF
，所以
HEGF
，与是
梯形矛盾。
*不可能是正五边形。
证明：因为正方体有三对平行面，五条边是截面与正
方体六个 面中的五个面的交线，其中至少有两组平行面，
D'
H
A'
G
B'< br>D
E
图1-22
A
F
B
由“一平面与平行平面的两 交线互相平行”知，至少有两组平行边，所以显然不可能是正五
边形。
3.正方体水槽中的问题
侧面：
(1)侧面多边形的种类：三角形，四边形，五边形
(2)侧面多边形性质：三角形只能是直 角三角形；四边形是直角梯形或矩形；五边形必
有且仅有相邻三内角为直角
(3)正方体位置与侧面形状的关系
①正方体一面着地时：侧面多边形为矩形。
②仅一条棱着地时：
a．含该棱或与该棱平行的一组侧面为矩形，另一组侧面为全等直角三角形或直角梯形
或五边形
b．若水体积不变，形状为直角三角形或直角梯形或五边形的侧面面积不随倾斜度的变
化而变化 （即使形状由梯形变到五边形也不变）
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c
．
若水体积不变，且一组侧面为直角梯形时，另一组侧面面积之和为定值，定值等于
直角梯形面积的两倍，或者说此时各侧面面积之和不变。
d．若水体积不变且一组侧面为直角三角形时，另一组侧面面积的积为定值
③仅有一顶点着地时
a．若过着地顶点的体对角线与地面垂直时，水侧面多边形仅有两种：等 腰直角三角形
和五边形；
b．若仅三个侧面时，则三侧面都是直角三角形，且三个三角形的面 积之积为定值（水
体积不变条件下）。

水面与侧面关系:
正方体中水面面积的平方等于水侧面的三组相对面面积差的平方和（包括退化情形）。
相似拓展问题：
①正四面体的截面形状有三角形（锐角或直角），四边形；
②四边形截面只可以是正方形，矩形，等腰梯形，无平行边的四边形。
③当截面与一对棱平行时，四边形截面面积的最大值问题
设正四面体棱长为a，截面一边长为 m，则由比例关系可得另一边为a
－
m，所以截面
a
2
a
2
a
2
?
面积＝m(a
－
m)＝
?(m?)?
，此时截面为正方形。
244
④与不在同一平面内的四个顶点距离相等的截面有7个。
分类：
*三个顶点在截面的同一侧，另一顶点在平面另一侧时有4个平面；
*截面两侧各两个顶点时有3个平面。


3．打包问题
（一）问题情景和任务
问题情景：
有些商品是若干件被装在一起按包销售的，例如 一包火柴中装有10盒火柴、一大包纸
巾中装有10小包纸巾、一条香烟中装有10包香烟等。不同商品 的打包形式常常不同，请同
学们收集一些这样的商品，先看其外观，再打开包装看内部的摆放形式。
哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？
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为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包”法，这是指包内的物体都是长方体，打包
时要求包内的相 邻两物必须以全等的两个侧面来对接，打包后的结果仍是一个长方体。
这样，我们就可以更数学化地提 问：火柴等长方体的物品，按“规则打包”的方法将10
包打成一个大包，表面积何时最小？
任务1：请先就10包纸巾来讨论一下按“规则打包”的形式将10包纸巾打成一个长方体
的大包，怎样 打包可使表面积最小？
任务2：请根据得到的结果，分别给出将以下10件以下物品打包后，具有最小 表面积的
打包形式：
（1）一盒火柴：长＝46mm 宽＝36mm 高＝16mm
（2） 一本书：长＝183mm 宽＝129mm 高＝20mm
任务3：解决下面的问题：
（1） 不给出待打包的“基本长方体”的长（a）、宽（b）、 高（c）的具体尺寸，而只
给a≥b≥c，你能知道按“规则打包”的形式将10个“基本长方体”打成 一个长方体的大包，
怎样打包可使表面积最小？
（2） 数学上得到的10包纸巾表面积最小的打包形式和纸巾实际的打包形式一致
吗？为什么？
（3） 将６包纸巾按“规则打包”的形式打成一包，表面积不同的打包方式有几种？其
中表面 积最小的打包方式是怎样的？
（5*）将上题中的６包改成12包或８
包，结果怎样 ？有没有一个更一般的处理这
类问题程序？
（6*）你能设计一个其他类型的打包问
题吗？由打包问题你还能联想到那些相关的问题？你有解决这些问题的想法或方案吗？
图1-1
（二）实施建议和说明
1．可以组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，分工合作，形成具 体可行的探究方
案，再形成每一个人的“成果报告”。
2．对完成任务1的建议：
（1）．初步观察：先把10包纸巾
摆成图1-1的样子，再改摆成图1-2的
图1-2
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样子，哪一种摆法表面积小？
（2）．测量基本数据：一包纸巾的外形尺寸是多少？
（3）．分组讨论求解的方案 ：建议先试着摆出几种打包方案，对每一种打包方案由具体
数据算出面积，再从中挑出最小的。这样，按 规则打包的规定，10包纸巾打成一包，到底
有几种不同的摆放方式，就是问题的难点和关键所在。不妨 动手摆一摆、画一画。
3．对完成任务3的建议：
对应于每一种摆放形式，如果用a、b、 c分别表示一个“基本长方体”的长、宽、高，
其中a≥b≥c，可以得到表面积表达式，用代数的方法 比较大小。
4．“成果报告”的书写建议
成果报告可以用下表的形式呈现。
表1：“打包问题”探究学习成果报告表 年级 班 完成时间
1、课题组成员、分工、贡献：
成员姓名 分工与主要工作或贡献






2、探究的过程和结果：


3、参考文献：


4、成果的自我评价：（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）


5、拓展（选做）：在解决问题的过程中发现和提出的新问题，可以延伸或拓广的
内 容；得到的新结果或猜想等
6．体会：描述在工作中的感受

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5．成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体
会。
6．评价建议：
采用自评、互评、教师评价相结合的形式，要善于发现别人工作中的特色，可 主要考
虑以下几个方面：
（1）求解过程和结果：合理、清楚、简洁、正确；
（2）独到的思考和发现；
（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；
（4）发挥组员的特长，合作学习的效果。

（三）教学参考信息
打包问题的教学实况与说明
背景：这是一个在小学高年级、初中、高中课堂上做过多次的数学 建模讨论课。比如
以香烟盒的打包问题为背景，让学生体验面积极值问题的求解过程，对象可以是高一或 高二
的学生。事实上这个问题涉及的数学知识可多（如后面的扩充部分）可少（如只通过计算解
决十包烟的打包问题），经过适当改造，也可以用于初中甚至小学高年级学生，若加上后面
引申的问题， 则可作成数学课外兴趣小组的活动素材，引导学生通过研究性学习的方式解决
问题。
一、课堂实录与说明

１．教师在全班展示事先准备的一包（内装１０盒）火柴和一条 香烟，可先看其外观，再打
开包装看内部的摆放形式，然后教师向学生叙述下列问题：
一般地 ，市场上一包火柴内装１０盒火柴；一条香烟内装１０包香烟。它们打包作外包
装的形式一样吗？哪一种 包装形式更能节省外包装材料呢？为了讨论方便，我们先来定义一
种“规则打包”法，这是指打包时要求 包内的相邻两物必须以全等的两个侧面来对接。打包
后的结果仍是一个长方体。我们可以更数学地提问： 火柴、香烟或其它长方体的物品，按“规
则打包”的形式将１０包打成一个大包，怎样打包可使表面积最 小？为了节省时间，请大家
先就１０包香烟来讨论一下求解的方案。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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【说明】为了使低年级的学生对问题的意 义更清楚，教师应注意问题描述的直观性。比
如“规则打包”的实物演示，非“规则打包”的实物演示。 为了使学生对“表面积最小”有所理解，
图1-3 图1-4
教师可以先把１０包香烟摆成图 1－3的样子，再改摆成图1－4的样子，问学生哪一种摆
法表面积小，再问表面积最小的摆法是什么， 学生对问题的理解就清楚了。

学生A：老师，您能告诉我们一包香烟盒的外形尺寸吗？
教师：可以，香烟盒的外形尺寸是a=88mm，b=58mm，c=22mm。
２．讨论 五分种以后，教师在教室中巡视发现大多数学生的草稿纸上都有了对几种摆放
形式的表面积计算结果。
教师：谁来说说你们讨论的解题方案是什么？
学生B：先试着摆出几种打包方案，对每一种打 包方案由具体数据算出面积，再从中挑
出最小的，它对应的打包方案就是我们所要的。
教师：小B同学的想法很好，请问你已经找到了几种打包方案？
学生C：５种。
教师：你觉得找全了吗？
学生C：不清楚，好象还有。
教师：其它同学找到几种打包方案？
学生众人：３种、４种、７种、．．．
教师： 到底有几种呢？我们看到如果我们按照小B同学的路子走，第一个要解决的问
题就是，按规则打包的规定 ，１０包香烟打成一包，到底有几种不同的摆放方式。这才是问
题的难点和关键所在。好，让我们一起先 来攻破这个难点，谁想好了所有可能的打包形式，
可以在黑板上画出打包摆放的示意图。
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五分钟以后，教师请三位同学在黑板上画他们设计的９种不同的打包方案。
【说明】画出打包 方案的立体摆放的示意图，对初中的学生是一个难点。可以改成用
实物作各种摆放方案的演示，让其它学 生记录摆放的种数。说明只有９种不同的打包方案对
初中学生也是一个难点，下面是一个把作图和说明结 合起来的方案。
一个长方体烟盒有三个大小不同的面，把它们分别标记为X、Y、Z，如图1-5。在 不混
淆的情况下，可将这三个面的面积仍记为X、Y、Z，Ｘ≥Ｙ≥Ｚ。现在我们把10写成3个
因数的积，如１０＝1×１×１０，它可以表示X、Y、Z方向上可以对接的烟盒的个数，于
是：１０ ＝１０×1×１，对应图1-6，它表示X方向上接10盒，而Y、Z方向上只是一盒；
同理：１０＝1 ×１０×１，对应图1-7； １０＝1×１×１０，对应图1-8。
Y

X
Z

图1-5 图1-6
图1-7
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图1－8 图1 - 9
图1– 10 （对应10 = 2×5×1） 图1- 11 （对应 10 = 2 × 1 ×
5）

“10”的另一种分解10 = 1×２×５型的打包方式中，“２”的方式就有三种，如图1-9。

图1-12（对应 10 = 5×2×1） 图1-13 （对应 10 = 1×2×5）

图1- 14 （ 对应10 = 1×5×2） 图1- 15 （对应 10 = 5×1×2）
对于其中的每一种，“乘５”的方式还有两种，故总计有六种打包方式，见上图(图1-10
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至图1-15)
以上分析过程，教师可以稍做启发，引导学生自己找出所有不同的打包方式。
３．当黑板上已出现了９种打包摆放示意图后，教师问学生现在可以做什么？
学生众答：可以分别计算面积。其中Ｘ＝5104mm，Ｙ＝1936mm，Ｚ＝1276mm。
几分钟后，学生对上面的每一种摆放的方法，分别算出它们的表面积。结果如下：
１×１０型：
Ｓ１＝２Ｘ＋２０Ｙ＋２０Ｚ＝７４４４８ｍｍ； ①
Ｓ２＝２Ｙ＋２０Ｚ＋２０Ｘ＝１３１８７２ｍｍ； ②
Ｓ３＝２Ｚ＋２０Ｘ＋２０Ｙ＝１４４１５２ｍｍ； ③
２×５型：
Ｓ４＝４Ｙ＋１０Ｘ＋２０Ｚ＝８４３０４ｍｍ； ④
Ｓ５＝４Ｚ＋１０Ｘ＋２０Ｙ＝９４８６４ｍｍ； ⑤
Ｓ６＝４Ｘ＋１０Ｙ＋２０Ｚ＝６５２９６ｍｍ； ⑥
Ｓ７＝４Ｚ＋１０Ｙ＋２０Ｘ＝１２６５４４ｍｍ； ⑦
Ｓ８＝４Ｙ＋１０Ｚ＋２０Ｘ＝１２２５８４ｍｍ； ⑧
Ｓ９＝４Ｘ＋１０Ｚ＋２０Ｙ＝７１８９６ｍｍ。 ⑨
由计算发现：十包 香烟表面积最小的打包方法是：第六种（如图2-10）所示，它对应
的最小表面积是：65296ｍｍ 。
４．教师引导进一步的讨论。
教师：看起来我们的问题已经解决，但我还有几个问题想不明白，一个是不给出ａ、ｂ、
ｃ的具体尺寸而只给ａ≥ｂ≥ｃ，你能知道哪一种打包形式表面积最小吗？还有一个问题
是：是不是１ ０包长方体的物体打成一包，第六种打包形式一定是表面积最小的呢？再一个
问题是，既然对香烟来说第 六种打包形式的表面积最小，可为什么外面买的香烟都不是这样
打包，而是用如（见图131）图所示的 形式打包的呢？请你们帮助我把这几个问题想明白，
告诉我好吗？
【说明】教师不是 以“总是正确的指导者”的面目出现，而是表现出自己“也想不明
白”。这样的问题引入方式更有利于调 动学生主动思考的积极性，培养不迷信“权威”的进
取精神和创造意识。
学生热烈讨论后提出多种想法：
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２
２
２
２
２
２
２
２
２
２

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学生D：我们可以写 出各种打包形式下的９种表面积的代数式，如上面①－⑨式前半部
分，不用计算出具体数字的结果，我们 就可以看出大小。
教师：怎么看？我怎么看不出来？
学生D：因为Ｘ≥Ｙ≥Ｚ，所以Ｘ的正系数越小面积就越小。
学生E：面积大的面被对接的越多，面积被抵销的也越多，打包后的表面积就越小。
教师：想得很好，请你给大家说说，⑥式和⑨式不看计算的结果，哪个面积小？为什么？
学生E：因为⑥－⑨＝10（Ｚ－Ｙ）≤０。
教师：①式和⑥式呢？
学生E：①式……不，象是⑥式，一下子说不清。
学生F：要分情况讨论，①－⑥＝10Ｙ－ ２Ｘ＝10ｂｃ－２ａｂ＝２ｂ（５ｃ－ａ）；
当５ｃ≥ａ时，⑥式对应的面积小；当５ｃ≤ａ时，①式 对应的面积小。
教师：想得漂亮，谁能把上面讨论的结果再归纳得更完整一些？
学生G：１０个一样的长方体的规则打包问题的最小表面积的打包方法可以这样确定，
根据长方体的长、 宽、高，确定a，b，c 的代表对象，使得a≥b≥c。这样Ｘ＝ａｂ，Ｙ＝
ａｃ，Ｚ＝ｂｃ，当然就 有Ｘ≥Ｙ≥Ｚ。根据前面的讨论，①②③式中①最小，（教师补充：
这只要作差①－②，①－③，判断它 们的正负号，就可以知道这个结论是正确的）。同理④
⑤⑥⑦⑧⑨式中⑥式最小，最后再比较①式和⑥式 就可以知道当５ｃ≥ａ时，⑥式对应的面
积小，此时应按照图2-10的方式表面积最小；当５ｃ≤ａ时 ，①式对应的面积小。此时应
按照图2-4的形式打包。
学生H：老师，他的结论已 经回答了您说的第二个问题，⑥式所对应的打包形式不一定
总是表面积最小的，当５c≤a时就不对。
学生I：我觉得您提的第三个问题应该这样考虑，表面积最小的打包方式不一定是美观
和实用的，外面买的香烟的打的包比较长，我想主要是为了顾客好拿。
学生J：长条的烟拿着“有派”，……。
学生K：往大箱子里放比较方便……。
教 师补充：我想打包的表面积最小和最省包装材料并不十分一致，因为外包装的两端都
有粘贴部分，这些地 方的面积就有重叠。另外，作外包装的盒子时，是从一张更大的纸上下
的料，因此这时“节约”所考虑的 问题不是打包的表面积小，而是下料后的残料尽可能的
小。………
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【说明】将问题的条件一般化，使结果有更好的适 应性；数学建模的结果不一定和实际
情况很吻合，分析其中的原因等都是教师在建模教学中引导学生思考 发挥学生创造性的“用
武之地”。
５．给学生提问题留出时间和机会
教师：大家的 想法都很有道理，看起来只要我们认真去思考，还会有新的问题和发现。
从这个问题的解决过程看，同学 们还有什么问题，还有什么你自己的发现？
学生M：老师，我觉得打包后的立方体越接近于一个正方体，它的表面积就越小。
(教师插话：为什么？)
学生：我也只是“觉得”从这儿想是不是能很快解决打包问题。道理还没有想好。
【说明】多 好的数学直觉！若是高中学生，就可以引导他们从这条路走下去，借助于不
等式知识建立另一种解决问题 的数学模型。
教师：你的想法非常好，也许你会找到一条解决问题的捷径，但首先要把“觉得”变成数
学的事实，我给你提一个建议，课后找一些同学一起进一步研究讨论，也许需要看一点有关
不等 式的参考书，希望你们能把这“新路”走通，说不定还有更多的发现呢。
学生Ｌ：我想的另一个问题是，从香烟盒的外形数据来看８８＝４×２２，如果我把两
图 1-16
盒香烟移到下图的位置，有没有可能使表面积变小？
教师：对小Ｌ同学提的问题，其它同学有什么看法？
学生P：我觉得表面积没有变化，只是多 了两个Ｘ面积、少了８个Ｚ面积，而２Ｘ＝８
Ｚ，所以表面积的不变。
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教师：回答的很好，其实小Ｌ同学的问题 给我们的另一个启示是，不必“规则”打包，只
保证打包后的结果是一个长方体，怎样打包可使表面积最 小？这是一类新的更复杂的打包问
题，我想这是大家课后讨论研究的很好素材，希望看到大家的研究成果 。
6．思维训练
教师：下面我们从思维层面来做几分钟提问题的练习，请同学们看屏幕：大 家可以相互
议论一下，有想法的同学可以站起来说

屏幕出现以下提示语：
你能设计一个新的打包问题吗？

由打包问题你还能联想到那些相关的问题？

你有解决这些问题的初步想法或方案吗？


学生们热烈讨论，不少同学抢着发言，主要内容有：
----可以提出火柴打包、书籍打包面积表最小的问题；
----把长方体改成，圆柱就是 一个“饮料罐的打包问题”，有几个同学认为解决这个问
题可以化归成“规则打包”问题，因为只要把全 等的饮料罐的外接长方体作为研究对象就可
以了，更多的同学不同意这种观点，认为圆柱有特殊性，圆柱 之间的空隙是可以被更有效地
利用的。
----可以更一般地提出容积一定，表面积最小的极 值问题，有学生猜想越接近于“球”
的形状结果越好，有同学提出可以物理的表面张力的试验的办法确定 一些特殊的最小表面积
的结构和形状；
----可以提出反问题，表面积一定，怎样打包，容积最大？
----为什么要寻求容积一 定的最小表面积？许多商品就不追求最小表面积，如饮料罐
头，鱼罐头等等，这里面是不是还有其他的考 虑？……
７．小结和作业
教师小结：同学们，刚才你们提出了许多很好的问题，我为你们积 极思考的态度和快速
提出问题的能力所感动。下课的时间很快就要到了，我知道大家还有很多问题要提， 实际上
学习的过程就是一个不断给自己提出新问题，不断挑战自己的过程，我希望大家在课后继续
思考，努力解决它们，我还想把刚才一位同学提出的一个问题作为我们的作业之一：就是，
我们常见的 饮料罐内装355ml饮料，（如可乐、啤酒等），问题是，它是表面积最小的形状
吗？（学生Z：感觉 不是，与正方体或球的差别太大），那好，我们问，最小表面积的圆柱
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应该是什么样子？更进一步回答，现实中的饮料罐为什么不是这个样子？给出你的分析。
其他作业还有：
⑴ 根据上面的结果，给出十包以下物品打包后，具有最小表面积的打包形式。
火柴：ａ＝４６mm ｂ＝３６mm ｃ＝１６mm
书籍：ａ＝１８３mm ｂ＝１２９mm ｃ＝２０mm
⑵ 将６包香烟打成一包，表面积不同的打包方式有几种？其中表面积最小的打包方式
是怎样的？
⑶ 选做：将上题中的６包改成１２包或８包，结果怎样？有没有一个更一般的处理这
类问题程序？
⑷ 选做：你能设计一个新的打包问题吗？由打包问题你还能联想到那些相关的问题？
你有解决这些问题的想法或方案吗？
教师：作为本课的结束，我给同学们几句话：留心处处皆 学问、专心事事有收获、上
心时时有问题。努力“做”、“学”、“问”就会让你的学习生活充满发现、 创造的乐趣。
【说明】作业（1）是回忆巩固型的练习，结果是火柴的结果同图2-9，书的结果同图
2-5。作业（2）是模仿，独立再现处理过程的练习。关键点：６＝２×３和１０＝２×５是
本质一样的，也分１０种情况，最小表面积的打包选择分界条件改为ｂ＜３ｃ，ｂ＝３ｃ，
ｂ＞３ｃ）． 作业（3）对数学要求高，可以建立一个更一般的数学模型来解决，可以参照
后面教案中的提示。 【评述】同前面一样，建模的作业设计应给学生留出足够的再创造的空间。作业⑶的
规则因数分解和 简略图示的模型，对解决打包问题就更有一般性，也更能体现数学模型的作
用和特点。当然，没有前面直 观模型的铺垫，对初中学生来说直接想象简略图示的实际意义
有一定困难，对高中学生则恰好是培养空间 想象能力的好素材。作业⑷是一个开放问题，对
学生来说能提出问题可能是更重要的。一方面，教师可以 根据学生提出的问题对学生的思维
特点进行分析、诊断，进行更有针对性的教学。另一方面，教师也可由 此扩大自己的“问题
源”，用学生自己发现的问题把建模的教与学引向深入。比如有单向、模仿思维特点 的学生
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（多为初中学生）提出的问题多是改变不同的a，b，c 的取值的打包问题；或是改变打包
包 数的打包问题；或是把长方体的包改成正方体的包、圆柱体的包等等。思维发散程度比较
好的学生就会提 出改变打包形式的打包问题，考虑包装余量的打包问题，．．．。逆向思维比较
好的学生甚至提出了打包 问题的反问题：给定大包的尺寸，最多能放多少个小包？－－－比
如集装箱的装箱问题等等。教师在建模 教学中如果能经常引导学生这样去思考，那么学生应
用数学模型的意识和思维的素质无疑会得到很好的训 练和提高。



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