高中数学研究性学习备选课题---十堰市第一中学

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高中数学研究性学习备选课题
一、函数部分
问题1 整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。
问题2 求函数的值域、单调区间、最小正 周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地
方出现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研 究所有与变量集中原则有关的类
型。
问题3 总结求函数值域的有关方法，探索判别式法的一般情形?实根分布的条件用于求值
域。
问题4 利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。
问题5 回顾解指数、对数 方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的
外层函数的符号），我们称之为“给函数 更衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等
式）进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。
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问题6 探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所
有这种方程的类型。
问题7 在原点有定义的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。
问题8 把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把
这一 事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？
问题9 对于含参数的方程（不等式），若已 知解的情况确定参数的取值围，我们通常用函
数思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型， 总结分离参数法。
问题10 改变含参数的方程（不等式）的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元
的功能。
二、三角部分
问题1 数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却 被人们所遗
忘，试探它在解决三问题中的数形结合功能。
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问题2 概括sinx+cosx=a时相应x的取值围，及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结
论。
问题3 整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。
问题4 构造法在求三角最值中的应用。
问题5 一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。
问题6 三角形的形状判定中，对 于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转
化，即转化为角关系或边关系，探索其中一种对 另一种解法的启示功能。
三、不等式部分
问题1 一个数学命题若从正面入手分类情况较 多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨
考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解 。我们把它称为“补集法”，
试整理常见的类型的补集法。
问题2 概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆项、添项的技巧。
问题3 观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。
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问题4 探求一此著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以
加深对不等式的理解。
问题5 整理常用的一此代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。
问题6 考虑均值不等式的变用，及改变之后的不等式的背景意义。
问题7 分母为多项式 的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代
换，将分母为多项式的转化为单项式 。
问题8 探索绝对值不等式
四、立体几何
问题1 平几中证点共线、线共点 往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是
非简单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两 个平面的公共点共线。可否将平几 问题的
这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。
问题2 用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立
几中 的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。
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问题3 作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，如转化为线面距、点
线距、面面距等。
问题4 异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数
的观 点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。
问题5 立几中的许多问 题可化归为确定点在平面的射影位置。如点面距、点线距、体积等。
于是确定点在平面的射影显得非常重 要，试给出一种通用方法进行确定。
问题6 作二面角的平面角是立几中的难点，常用方法有：定义 法、三垂线法、垂面法。其
实质是以点定位，即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面时用 三垂线法、
当点在空间时时用垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形，由于点的个数较多，以哪个点作为定位点就难以决定。试给出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。
问题7 等积变换在立几显上身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们所
忽视。利用非等积变换 能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的
相应方法探索之。
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问题8 将三垂线定理进行推广与引伸，即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的
正、 余弦定理。以开阔眼界。
五、解几部分
问题1 对于数学的公式，我们应当做到三会：即 正用、变用和逆用。如解几中有许多公式
如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑 其逆用，就可得到构造法
证题，试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。
问题2 我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自
己的行动计划。在解几 中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。
问题3 整理解几中常常被人忽视和特 例而使问题的解决不完整的有素材，如用点斜式而忽
视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。
问题4 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变，达到以点带面，触类旁通的
目的。
问题5 将与中点有关的问题及解决方法进行推广，使之适用于定比分点的相应问题与方
法。
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问题6 研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。
问题7 关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用围更加广阔的解题
策略。
问题8 解决 椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆
锥曲线（包括其退化情形如 两条相交线，平行线等）的圆化处理。
问题9 整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化”，进而研究其“纯代数解法”，从
中探索新方法。
问题10 把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦” 问题。
问题11 求轨迹问题中，纯粹性的简捷判别。
问题12 在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的 推导过程中隐含着“射影思
想”，扩大这思想在解几中的地位或功能。
问题13 对平移变换的解题功能进行综述。
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问题14 与中点弦有关的圆锥曲线中的参数围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，
各种 方法中以点在曲线部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。




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