高中数学教师资格证面试真题-高中数学的教案设计
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课
题
任意角的三角
函数
学
校
实验
中学
学
科
数 学
执教
人
湘远
1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能
很好入在直
角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三
知识目标
角函数过渡，从通过
问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生
成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义；
2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；
3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
能力目标
使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）
与比值（函数值）的一种联系方式
；
1、学习转化的思想，培养学生严谨治学的态度和一丝不苟的科学
精神；
2、增强学生团结协作的精神。
1、任意角的三角函数的定义
2、三角函数的符号规律。
任意角的三角函数的定义的构建过程
小组学习法、任务驱动法、引导探究法。
电脑、大屏幕投影仪、多媒体教学系统。
情感目标
教学重点
教学难点
教学方法
教学手段
教学环节
及意图
复习旧知
问题情境的
设计给学生
营造与实际
生活紧密相<
br>关的、主动求
知的宽松学
习氛围，激发
学生的学习
兴趣，培养学
生良好的心
理品质。
教学过程与教师活动
学生活动及预
测
问题1:如图是一个摩天轮，假设
它的中心离地面
的高度为
h
o
，它的直
径为2R，逆时针方向匀速转动，转动
一周需
要360秒，若现在你坐在座舱
中，从初始位置OA
出发（如图1所
示），过了30秒
后，
你离地面的高度
h
为多少？过了45
秒呢？过了
t
秒<
br>呢？
第二部分——
图1
高中学生已经
具有丰富的生活经
验
和一定的科学知
识，因此选择感兴
趣的、与其生活实
P
OA
际密切相
关的素
材，此情景设计应
该有助于学生对知
识的发生发展的理
解。这个数学模
型
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复习回顾锐角三角函数
让学生自主思考如
何解决问题：
很好融合初中对三
角函数的定交，也
“过了30秒后，你离地面的高度为
多
能放在直角坐标系
少？”
中，很好地将锐角
【分析】：
三角函数
的定义向
作图如图2很容
任意角三角函数过
P
易知道：从起始
渡，揭
示函数的本
位置OA运动30
O
秒后到达P点位
置，由题意知
MA
质。
N
?AOP?30
0
，
作PH垂直
地面
交OA于M，又知
MH＝
h
o
，所以本
B
图2
H
问题转变成求PH再次转变为求PM。
要求PM就是回到初中所学的解直
角三角形的问题即锐角的三角函数。
问题2：锐角
?
的正弦函数如何定
义？
P
O
a
M
【学生自主探究】：学生很容易得到
sin
?
?
|MP||MP|
?
?
|OP|R
|M
P|?Rsin
?
?
|PH|?h
0
?Rsin
?
?
h
?h
0
?Rsin
?
所以学生很自
然得到“过了30秒
后，过了45秒,你离地面的高度
h
为多
少？”
h
1
?h
0
?Rsin30
0
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h
2
?h
0
?Rsin45
0
【教师总
结】：
t
0
在锐角的围中，
h?h
0
?Rsint
0
导入新课
通过实例导
入训练学生
怎样获得第
一手资料，培
养学生的分
析能力、归纳
能力。
许多学生自
卑、胆小、耐
挫力差、害怕<
br>回答问题。在
这个环节教
师让此类学
生多回答问
题，在培养他
们的思维能
力的同时，逐
步训练他们
的自信心、耐
挫力，促进其
个性
的健康
发展。
开展小组讨
论活动。在小
组讨论中，学
生没有恐惧
心理，可在轻
松愉快的氛
[快速热身]
问题3：请问
t
的围呢？随着时间【分析】：若想做到
的推移，你
离地面的高度
h
为多少？能这一点，就得把锐
不能猜想
h?h
0?Rsint
0
？
角的正弦推广到
任
意角的正弦。今天
我们就要来学习任
意角的三函数角函
数。
问题4：如图建立直角坐标系，设
学生分小组进行
相
互充分讨论，然后
P(x,y)
点
PP
，能你用直角坐标系中角<
br>让学生发见解。
的终边上的点的坐标来表示锐角
?
的
正弦函数的定义
吗？能否也定义其它
函数（余弦、正切）？
Y
【学生自主探究】
|MP|
y
p
sin
?
??
|OP|R
cos
?
?
|OM|
x
P
?
|OP|R
|
MP|
y
P
?
|OM|x
P
P
OMA<
br>X
tan
?
?
B
【设计意图
】：让学
生深刻理解体会三
角函数值不会随着
问题5：改变终边上的点的位置，
终边上的点的位置
这三个比值会改变吗？为什么？
的改变而改变，只
【分析】：先由学生回答问题，教师再
与角有关系。
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围中畅所欲
言，这样不仅
增强了学生
团结协作的
精神，同时也
训练了学生
处理好人际
关系的能力
克服了自我
封闭的心理
毛病。
树立学习榜
样，让其它同
学向他学习
并可以给学
生带来积极
的竞争和压
力，促
进学生
的进步。
有的学生学
习基础差、自
卑，教师降
低
对他们的要
求，通过多让
他们回答一
些简单的问
题，逐渐训练他们的自信
心，培养他们
的学习兴趣。
引导学生选几个点，计算比值，获得
具体认识，并由相似三角形的性质证
明。
通过摩天轮的演示，让学生感受
到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦
的定义一样。
问题6：大家根据第一象限角的正
y
P
x
O
学生通过上面已知
知识得到
图3
弦函数的定义，能否也给出第二象限
角的定义呢？
学生定义好第二象限角后，让学
生自己算出摩天轮座舱在第150秒
时，
离地面的高度
h
？
通过摩天轮知道：
sin
?
?
|MP|
y
p
?
|OP|R
通过这个，让学生
检验
sin
?
?
|
MP|
y
p
?
|OP|R
在第二象限角是否
h?h
0
?Rsin150?h
1
?h
0
?Rsin30
00
正确。
【设计意图】：让学
由此得到：
sin150
0
?
问题7：
sin
?
?
1
2
|MP|
在第三象限
生通过模型，检验
|OP|
角或第四
象限能成立吗？
（可以让学生取
t?210
，从而
h?h
0
?Rsin210,
得到
sin210
＝
0
定义是否正确，从中让学生自己发现
正、负符号的偏差。
0
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|MP|
1
不相符，
?
，发现这
与
sin
?
?
|OP|
2
实际上是
sin
?
?
?|MP|
）
|OP|【教师总结】：我们通过个模型知
道如何在某些围如何计算自已此时离
地面的高度，用数学
模型
h?h
0
?Rsint
0
来表示，当摩天轮转
动，角度
的概念也不知不觉地推广到
任意角，对于任意角的正弦不能只是
依赖于角所在的直角三角形中的
对边
的长度比斜边长度了，我更应该用点P
的横坐标来代替
|MP|
或
?|MP|
，那么
这样就能够很好表示出正弦的函数任
意角的定义。
教学过程与教师活动
第三部分——给出任意角三角函
数的定义
如图3,已知点
P(x,y)为角
?
终边
上的点，点
P
到顶点
O
的距离为R
，则
y
sin
?
?
（
?
?R
）
R
x
cos
?
?
（
?
?R
）
R
y
?
tan
?
?
（
?
??k
?
）
x2
【分析】：让学生通过刚才的模型<
br>进一步体验任意角三角函数的定义要
点：点、点的坐标、点到顶点的距离。
问题8：当摩天轮的半径R＝1时，
三角函数的定义会发生怎样的变化。
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【学生自主探究】：
sin
?
?y
，
cos
?
?x
，
tan
?
?
y
。
x
教师引导学生进行对比，学生通
过对比发现取到原点的距离为1的
点
可以使表达式简化。
教师进一步给出单位圆的定义
给出下列表格，让学生自己补充
完整。
定义一：
三角函数
定义二：
定义域
|OP|?1
|OP|?R
y
?
?R
R
x
cos
?
x
?
?R
R
?
yy
?
??k
?
tan
?
2
xx
及时归纳总结有利学生对所学知识的
巩固和掌握
sin
?
y
挑战自我
第三部分——例题讲解
例1.（课本P14例2）已知角
?
终
由浅入深，层
边经过点
P
0
(?3,?4)<
br>，求角
?
的正弦、
层深入，符合
学生的思维。
余弦和正切值。
【分析】：让学生现学现卖，得用
上面的定义二就可以得到答案。
5
?
：
例2.（课本P14例1）
求的正
【学生自主探究】
3
让学生自己思考并
弦、余弦和正切值。
独立完成。然后与
教师讲解】：本题题意很简单，但是如
何入手却是难点，关键是对本节课的<
br>课本的解答相对比
三角函数定义的要点
有没有领会清楚（任意角三角函
数的定
义要点：点、点的坐标、点到
一下，发现本题的
难点。
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顶点的距离），因此本题的重点之处是
如何利用单位圆找到这个点P，如图4
?
可以知道
?POM?
，又点P在第四
3
13
象限，得到
P(,?)
，这样就可以很
22
容易得到本题答案。
不妨让学生取
R?|OP|?4
，能否
也得到点P的坐标，得到的三角函数
值是否与单位圆的一样。这样可以让
学生更深刻体验三角函数的定义。
y
M
x
O
P
图4
第四部分——巩固练习
7
?
练习1.例2变式求的正弦、余弦
6
【设计意图】：练习
1、练习2的设计与
例2、例3衔接，
主要目的是帮助学
生巩固三角函数的
本质特征，引导学
生从
定义出发利用
坐标平面的点的坐
角函数的有关问题
的思想方法。并在
特殊情形
中体会数
和正切值。
练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋
转，三角函数的角的终边
所在象限不
同，请说说三角函数在各个象限的三
角函数值的符号?独立完成课本P15的
标特征自主探究三
“探究”。
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形结合的思想方
法。
课堂小结
教师在评价
学生时应注
意多鼓励、多
表扬，少批
评、少指责，
注意教育的
平等与公平，
努力寻找学
生的闪光点，加以指导和
训练，以此逐
步培养学生
的自信心和
学习兴趣。
让
学生归纳本课的学习成果，教师做
最后的补充、说明。并给予说正确的
同学及时的表扬，并及时
纠正错误的
同学。
作业：P23习题1.2 A组 1,2,3