高中数学探究课题的选择

高中数学探究课题的选择
周宁一中 吴敏焱
《新课标》倡导学生学会自主 探究性学习,因此在教材的编写中提供了较多的探究素
材,那么,什么是数学探究呢?数学探究是指学生 围绕某个数学问题，自主探究、学习的过
程：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适 当的数学结论或规律，
给出解释或证明。数学探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步 理解
直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度
和不 怕困难的科学精神；有助于发展学生的创新意识和实践能力。
数学探究课题的选择是完成探究学习的关 键。课题的选择要有助于学生对数学的理
解，有助于鼓励学生发挥自己的想像力和创造性。课题应具有一 定的开放性。本文就数
学探究课题的选择进行粗浅的探讨，并归纳总结为以下七个方面：
一、数学探究课题可以是数学基本概念和规律
数学中的基本概念和规律既是探究教学的起点 和基础，又是探究的对象。在教与学
中，教师如果在基本概念和规律的学习过程中渗透探究思想，就会使 学生加深对概念和
规律的理解与掌握。例如，在进行椭圆概念的教学，可分以下几个步骤进行：
（1）实验——要求学生用事先准备的两个小图钉和一根长度为定长的细线，将细线
的两端固定，用铅 笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，所得图形为椭圆。
（2）提出问题，思考讨论。
①椭圆上的点有何特点？
②当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？
③当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？
④你能给椭圆下一个定义吗？
（3）揭示本质，给出定义。
通过上述的自主探究活动，使学生体验从生活实例中，抽象出数 学概念的方法，进
一步探究它们之间具有的内在联系和各自特征，完成了对新知识的主动建构过程。
二、数学探究课题可以是某些数学结果的推广和深入
通过对数学中某些结果的推广和深入有利 于学生发散思维的培养，拓宽学生的解题
思路。例如，在平面内，我们如果用一条直线去截正方形的一个 角，那么截下的是一个
直角三角形，按如图（1）所标边长由勾股定理有 c
2
=a
2
+b
2

1 6

< br>现在我们设想：把平面上的正方形换成空间中的正方体，把截线换成如图（2）的截
面，这时从正 方体截下的直角三角形换成了从正方体截下的三条侧棱两两垂直的三棱锥
D—LMN（如图（3）），如 果我们用A、B、C分别表示这个三棱锥的三个侧面的面积，
用D表示底面△LMN的面积，这时空间图 形的各面面积就相当于平面图形中的各边长，
现在要问：在立体几何中，和平面几何的勾股定理相类似的 定理将是什么？验证你的猜
想。

b
o

c
a
M




L
(1)
(2)
N
(3)
本例实际是 平面上勾股定理类比推广到空间，可得如下结论：D
2
=A
2
+B
2
+C
2

平面中的一些问题都可以利用适当的类比推广到空间，但结论未必正确，必须加以
论证。
三、数学探究课题可以是不同数学内容之间的联系和类比
在数学教材中，很多新知识都是在原 有知识的基础上发展而来的，因而在这些新知
识中多少都会带有旧知识的痕迹，在新授课时，通过对旧知 识的回忆类比给学生创造“最
佳思维环境”可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法， 激发学习的
积极性，变被动听为主动学。
例如在学习球的性质时，可以引导学生通过与圆的有关性质进行类比探究，推测球
的有关性质：
圆
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
球
球心与截面圆（不经过圆心的小截面圆）
圆心的连线垂直于截面
与球心距离相等的两个截面圆的面积相
等
球的表面积s=лd
2

球的体积v=лr
3

与圆心距离相等的两弦相等
圆的周长c=лd(d是直径)
圆的面积s=лr
2

其中前三个类比得到的结论是正确的，最后一个则是错误的，由此可见，类比的结
2 6 < /p>

论只具有或然性，即可能真，也可能假。虽然由类比所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却是十分有用的，它教会
了学生一种探 究问题的方法，这也正是目前我们要把学生从“学会”转化为“会学”的
一各有益的尝试和手段。
四、数学探究课题可以是发现和探索对自己来说是新的数学结果
在数学问题探索的教学中，要 从学生已有的知识经验出发，激发学生探求数学知识
的兴趣，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中构 建数学知识、训练基本技能、掌握
重要方法、领悟数学思想、发展创新能力。通过数学问题的探索，促进 学生对数学知识
的掌握，在掌握数学知识的过程中领悟数学的方法和技能，在数学方法的内化的同时，< br>养成正确的数学价值观，激发学生的数学创新能力。
例如，在《多面体欧拉公式的发现》教学中 ,对凸多面体的顶点数V、面数F和棱数
E是否存在稳定性呢?可分以下几个步骤引导学生进行探索：
（1）提出问题：下图中有5个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数，
并填出下表 。





(1)
(2)
(3)





（4）


图形编号
（1）
（2）
（3）
（4）
顶点数V
4
8
6
9
3 6
（5）
面数F
4
6
8
8
棱数E
6
12
12
15

（5） 9 9 16
（2）观察表中填出的各组数据。请找出V、F之和与E之间有什么规律 ，写出你发
现的规律 ，并观察其他的多面体验证这个规律。
（3）得出规律：V+F-E=2,它叫做欧拉公式。
（4）公式的记忆：①符号的记忆：F─—face即“脸”即“面”的符号， V ─—
形如两棱相交，得交点符号，E─—即棱数；②公式的记忆：公式可变形为：V+F-2=E 棱
数最多，单独在等式一边，而点数、面数相对较少，两者相加，为公平起见，应减去2。
（5）布置学生查询欧拉公式的证明过程。
五、数学探究课题可以从教材提供的案例和背景材料中发现和建立
例如新课程中在学习完指数函数y=a
x
(a﹥0, 且a≠1)与对数函数y=㏒
a
x(a﹥0, 且a
≠1)后，我们知道这两个函数互 为反函数。那么，它们的图象有什么关系呢？我们运用
所学的数学知识，可通过以下几个问题来探索完成 ：
（1）在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y=2
x
及其反函数y=㏒
2
x的图象。你
能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？
（2）取y=2x
图象上的几个点，如p
1
（-1，
1
），p
2
（0，1），p
3
（1，2）。p
1
、p
2
、p
3

2
关于直线y=x的对称点的坐标是什么？它们在y=㏒
2
x的图象上吗？为什么？
（3）如果点p
0
（x
0
，y< br>0
）在函数y=2
x
的图象上。那么p
0
关于直线y=x的对 称点在函
数y=㏒
2
x的图象上吗？为什么？
（4）由上述探究过程可以得到什么结论？
（5）上述结论对于指数函数y=a
x
(a﹥0, 且a≠1)及其反函数y=㏒
a
x(a﹥0, 且a≠
1)也成立吗？为什么？
（6）上述结论对于一般函数及其反函数也成立吗？为什么？
从以上探究过程可以得出结论：指数函数与对数函数的图象关于直线y=x对称。
六、数学探究课题可以借助信息技术应用来完成
运用现代信息技术，可以使学生在高中数学教 学过程中，有效地运用信息技术在有
限的时间内最大限度地获取信息、处理信息、传递交换信息。形成自 主探究的能力，使
学生掌握自主探究学习的方法，具有自主探究的精神和自我获取知识、更新知识的能力 。
数学探究可以利用《几何画板》的动态性和形象性，创造一个实际“操作”几何图
形的环境 。学生可以任意拖动图形、观察图形、发现结论、猜测并验证结论。
例如用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
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如图，F是定点 ，L是不经过点F的直线，动点M到定点F的距离和它到定直线L的
距离的比e是小于1的常数 ，用《几何画板》软件画出动点M的轨迹，观察这个轨迹 ,
可以发现它是一个椭圆。
在0< e<1的范围内，改变e的大小，或改变点F与直线L的位置，可以发现动点M
的轨迹仍然是一个椭圆（ 如图1）。






图1 图2
借助直角坐标系，我们可以把上述问题叙述为：
若点M（x，y）与定点F(c，0 )的距离和它到定直线L:
x?
a
c
的距离的比是常数
c
a
2
j
y
M
F
1
F
2
x
， 定点F（c.0）是椭圆的一个焦点，直
(a?c?0)
，则点M的轨迹是一个椭圆（如图2）
2
线L：
x?
a
c
称为对应于焦点F的准线，由椭圆的对称 性，对应于焦点F
1
(-c，0)的椭圆
的准线是L
1
：
x ??
a
c
。
你能推导出上述椭圆的方程吗？这个椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别是多少？
由第一定义推导椭圆方程的过程是否与上述推导过程有相同之处？
七、数学探究课题可以以现实生活为背景，创设探究性学习问题
在数学教学中为培养学生联系 实际解决问题的能力，可以选用一些具有时代背景的
突出问题，让学生在解决问题中了解时代的特征，使 问题具有社会性和实际应用价值。
例：据《经济日报》记者采访建设部部长侯捷谈工薪阶层购房问题， 侯部长说：“??
住房造价每平方米2000元左右，还可以采用个人购房抵押贷款的方式解决一次性付 款有
困难的问题，比如首先支付30%的房款，余下的分20年还清，??”根据以上提供的材
料解决下面问题：
若职工小李将全部积蓄的本息90000元恰好付掉了30%的购房款，其余部分以 银行
贷款支付，若银行贷款的年利率为0.8%，按复利计算，这笔款必须从贷款之日起，每年
等额归还一次，问小李每年应归还多少元钱（精确到1元）？
这一例子从《经济日报》的报道引入，使问题具有很强的真实性和实际应用性，能
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通过解决问题培养学生数学实际应用意识，为今后在社会上应用数学打下基础。
总之，数学探究课题的选择是复杂多变的，我们教师应努力成为数学探究课题的创
造者，具有比 较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内存的数学思
想，认真思考其中的一些问题， 加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数
学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学 探究的资源。
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