高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题8.3：立体几何一类体积问题的研究与拓展

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专题8.3：立体几何一类体积问题的研究与拓展
【拓展探究】
探究：已知四棱 锥
S?ABCD
的底面
ABCD
是边长为2的正方形，侧面
SAB< br>是等边三角形，侧面
SCD
是
以
CD
为斜边的直角三角形，< br>E
为
CD
的中点，
M
为
SB
的中点．
（1）求证：
CM
平面
SAE
；
（2）求证：
SE?
平面
SAB
；
（3）求三棱锥
S?AED
的体积．




设置意图：（1）用量化的方法研究线线垂直关系；
（2）第二问的设置为第三问的研究提供了暗示。
（3）体积法进行转化
拓展1： 如图，
AB
为圆
O
的直径，点
E
、
F
在圆
O
上，且
ABEF
，矩
形
ABCD
所在的平面和 圆
O
所在的平面互相垂直，且
C
S
M
C
E
D
A
B
AB?2
，
AD?EF?1
.
（1）求证：
AF?
平面
CBF
；
（2）设
FC
的中点为
M
，求证：
OM
平面
DAF
；
（3）设平面
CBF
将几何体
EFABCD
分成的两个锥体的体
D< br>
A
B
M
E
O
V
F?ABCD
，< br>V
F?CBE
，求
V
F?ABCD
:V
F?CBE< br>．
解：（1）证明：
?
平面
ABCD?
平面
AB EF
,
CB?AB
,
平面
ABCD?
平面
ABE F
=
AB
，
?CB?
平面
ABEF
，
F

积分别为

?AF?
平面
ABEF
，
?AF?CB
,
11
CD
，又
AO

CD
，
22
又
?AB
为圆
O
的直径，
?AF?BF
，
?AF?
平面
CBF
.
（2）设
DF
的中点为
N
，则
MN

则MN

AO
，
MNAO
为平行四边形，
?OMAN
，又
AN?
平面
DAF
，
OM?
平面
DAF

?OM
平面
DAF
.
（ 3）过点
F
作
FG?AB
于
G
，
?
平面< br>ABCD?
平面
ABEF
，
12
?FG?
平面ABCD
，
?V
F?ABCD
?S
ABCD
?FG?F G
，
33
1111
< br>?CB?
平面
ABEF
?V
F?CBE
?V
C?BF E
?S
?BFE
?CB??EF?FG?CB?FG
，
3326
?V
F?ABCD
:V
F?CBE
?4:1

拓展2：如图，四棱锥
S?ABCD
中，
BC?CD
，
AB
平面
SCD
，
SD?
平面
SAB
，
且
AB?BC?2
，
CD?SD?1
．
（1）证明：
CD?SD
；
（2）求四棱锥
S?ABCD
的体积．

S
D
C
B
A
解：（1）因为
AB
平面
SCD
，
A B?
平面
ABCD
，平面
ABCD
平面
SCD?CD
，
所以
ABCD
， 又
SD?
平面
SAB
，< br>AB?
平面
SAB
，所以
SD?AB
，所以
CD?S D
．
22
（2）过
D
作
D
，交于
H
，由题得
B

H?AB
D?AD?1?2?5
2
在
R
中，
S
，
V
A?SB?5?1?2
t?DSA,Rt?DSB
?V??DS?S?
SA? BDD?SAB?ABS
2
1
3
3
3

333
，所以
V
．
V:V?S:S?3:2
?? ?
S?ABCDS?ABD?ABCD?ABD
S?ABCD
因为
232【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？