高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.17：数列中整体思想的研究与拓展

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








专题6.17：数列中整体思想的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：设
a
1
?2
，
a
n?1
?
a?2
2
*
，
b
n
?
n
，
n?N
，则数列
?
b
n
?
通项公式
b
n
=_______.
a
n
?1
a
n
?1
*
变式1：数列
?< br>a
n
?
的首项
a
1
?3
，前n项的和为S
n
，满足
2a
n
?S
n
S
n?1< br>(n?2,n?N),

求证：数列
?
?
1
?
?
为等差数列
?< br>S
n
?
a
n?1
a
n
?
，
a
n
a
n?1
2
变式2：各项都为正数的数列
?
a
n
?
，其前
n
项的和为
S
n
，
S
n
?(S
n?1
?a
1
)(n?2)
，若
b
n
?
4n
2
?6n
且数列
?
b
n
?
的前
n
项的和为
T
n
，则
T
n
= .
2n?1

2
a
n
a?a
n
（
n?N*,n≥2
）变式3：已知数列{
a
n
}满足：
a
1
=
a
2
=1，
a
n ?1
?
，则
100
= ．99
a
n?1
a
99

等式两边同除
a
n
变式4：数列
?
a
n
?
定义如下：
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2?
2
?
n?1
?
n
a
n?1
?an
,n?1,2,
n?2n?2
.若
a
m
?2?
2011
，则正整数
m
的最小值为 .4025
2012
（构造
?
na
n
?
数列成等差数列）
信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----



a
n?1
?
拓展1：已知各项均为 正数的两个数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足 ：
2
?
?
?
b
n
?
?
?
求证：数列
?
??
?
是等差数列.
a
?
?
?
n
?
?
?
a
n
?b
n
an
2
?b
n
2
，n?N
?
．设
bn?1
?1?
b
n
，n?N
?
，
a
n
拓展2：已知
a?0,b?0,
且
a?b?0,
令
a
1
?a,b
1
?b,
且对任意正整数
k
，当
a< br>k
?b
k
?0
时，
a
k?1
?
1 13113
a
k
?b
k
,b
k?1
?b
k
;
当
a
k
?b
k
?0
时，
bk?1
??a
k
?b
k
,a
k?1
?a
k
.

244424
（1）求数列
{a
n
?b< br>n
}
的通项公式；
（2）若对任意的正整数
n
，
a
n
?b
n
?0
恒成立，问是否存在
a,b
使得{b
n
}
为等比数列？若存在，求出
a,b
满足的条件；若不存 在，说明理由；
113
a
n
?b
n
且
b
n?1
?b
n
，
244
1131
所以
a
n?1
?b
n?1
?a
n
?b
n
?b
n< br>?(a
n
?b
n
)
，
2442
113又当
a
n
?b
n
?0
时，
b
n?1< br>??a
n
?b
n
且
a
n?1
?a
n
，
424
3111
a
n?1
?b
n?1
?a
n
?a
n
?b
n
?(a
n
?b
n
)
，
4422
1
因此，数列
?
a
n
?b
n
?
是以
a?b
为首项，为公比的等比数列，
2
解：⑴当
a
n
?b
n
≥0
时，
an?1
?
?
1
?
所以，
a
n
?bn
?(a?b)
??
?
2
?
n?1
．
n?1
⑵因为
a
n
?b
n
?0
，所以
a
n?1
3
?
3
?
?a
n
，所以
a
n
?a
??
4
?
4
?
n?1
，
?
1
?
b
n
?(a?b)
??
?
2
?
n?1
?
1
?
?a
n
?(a?b)< br>??
?
2
?
?
3
?
?a
??
?
4
?
n?1
，假设存在
a
，
b
，使得
?
b
n
?
能构成等比数列，则
b
1
?b< br>，
b
2
?
2b?a4b?5a2b?a
2
4b?5a
，
b
3
?
，故
()?()b
，化简得
a? b?0
，与题中
a?b?0
矛盾，故不存
416416
在
a
，
b
使得
?
b
n
?
为等比数列．
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
信达