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两边夹问题的研究与拓展-高中数学微课题研究性教程

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-03 02:16
tags:高中数学课题

高中数学必须一目录-马云的高中数学

2020年10月3日发(作者:崔荣汉)


专题6.26: 两边夹问题的研究与拓展
【探究拓展】
n
探究1:数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,对
?n?N*

a
n?2
?a
n
?3?2

a
n?1
?2a
n
?1
,则
a
2
= 3
变式:已知数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1

a
n?3
?a
n
?3

a
n?2
?a
n
?2
.
(1)证明:
a
n?6
?a
n
?6
;(2)求数列
?
a
n
?
的通项公式

探究2:设无穷数列
?
a
n
?
满足:
?n?Ν
?

a
n
?a
n?1

a
n
?N
?
.记
b
n
?a
a
n
,c
n
?a
a
n?1
(n?N
*
)
.
(1)若
b
n
?3n(n?N
*
)
,求证:
a
1
=2,并求
c< br>1
的值;
(2)若
?
c
n
?
是公差为1的 等差数列,问
?
a
n
?
是否为等差数列,证明你的结论.
【解】(1)因为
a
n
?N
?
,所以若
a
1
?1
,则
a
a
1
?a
1
?3
矛盾, < br>若
a
1
≥3?a
a
1
,可得
1≥a
1
≥3
矛盾,所以
a
1
?2
.于是
a
2< br>?a
a
1
?3
,从而
c
1
?a
a< br>1
?1
?a
3
?a
a
2
?6

(2)
?
a
n
?
是公差为1的等差数列,证明如下: a
n?1
?a
n
?n≥2
时,
a
n
? a
n?1
,所以
a
n
≥a
n?1
?1?a
n
≥a
m
?(n?m)

(m?n)

?aa
n?1
?1
≥a
a
n
?1
?a
n? 1
?1?(a
n
?1)
,即
c
n?1
?c
n
≥a
n?1
?a
n
,由题设,
1≥a
n?1?a
n
,又
a
n?1
?a
n
≥1
,所 以
a
n?1
?a
n
?1
,即
?
a
n
?
是等差数列.
另证:由
a
n
?a
n?1
a
n
?N
?
可得
a
n?1
?an
?1
,下面我们来证明
a
n?1
?a
n
?1
恒成立,采用反证法思想.假
(a
n?1
?1)?(a
n
? 1)?2
,由数列
?
a
n
?
的单调性可得
a
a
n?1
?1
?a
a
n
?1
?2
a
n?1
?a
n
?1
,则
a
n?1
? a
n
?2

与题设矛盾,所以假设不成立,故
a
n?1?a
n
?1
,则
a
n?1
?a
n
? 1
,即
?
a
n
?
是等差数列.
最简单的方法:( 2)一方面:由
a
n
?a
n?1
,且
a
n
?N
?
,可得
a
n?1
-a
n
?1
恒成立 ;
另一方面:
?
c
n
?
是公差为1的等差数列,则
a
a
n?1
?1
?a
a
n
?1
?1,
a
a
n?1
?1
?1?a
a
n
? 1
?a
a
n
?2
,从而
a
n?1
?1?a
n
?2
,变形可得
a
n?1
?a
n
?1< br>,
综上:
a
n?1
?a
n
?1

?
a
n
?
是等差数列
*
变式:已知各项均为正整数的数列
?
a
n
?
满足对于任意的
n?N

an
?a
n?1
成立.设数列
a
a
n
与数列a
a
n
?1
????
是公差均为
d
的等差数列
(1)若
d?1
,求证:数列
?
a
n
?
为 等差数列;
(2)若
d?1
,试探究数列
?
a
n
?
是否为等差数列,若是,请给出证明;若不是,说明理由
解:(1)当
d?1时,由题意得
a
a
n?1
?a
a
n
?1

a
a
n
?1
,故
a
n?1

a
n
?1
,又
a
n?1
?a
n

所以
a
n?1
?a
n
?1
,即数列
?
a
n
?
为等差数列;


(2)设数列
a
an
与数列
a
a
n
?1
的首项分别为
a, b
,记
b?a?c?N
*


d?1
时,数列
?
a
n
?
为等差数列,公差为
c
,下证:对任意的
n?N
*

a
n?1
?a
n
?c

①假设存在正整数
n
,使得
a
n?1
?a
n< br>?c
,设正整数
(a
n?1
?a
n
)
的最小 值为
(a
i?1
?a
i
)
,记为
c
0

a
a?id
?a
a?(i?1)d?1
?aa
a
i?1
?a
a
a
i
?1
?
?
a?(a
i?1
?1)d
?
?
?
b?(ai
?1)d
?
?c
0
d?c

又由
(a?id)?
?
a?(i?1)d?1
?
?d?1

a< br>a?id
?a
a?(i?1)d?1
≥c
0
(d?1)
,所以
c
0
≥c
,矛盾;
②假设存在正整数
n
,使得
a
n?1
?a
n
?c
,又易得
a
n ?1
?a
n
≤a
a
n?1
?a
a
n
?d

设正整数
(a
n?1
?a
n
)
的最大值为
(a
j?1
?a
j
)
,不妨记为
c0
?


a
a?jd
?a
a?(j?1)d ?1
?a
a
a
j?1
??
??
?a
aa
j
?1
?
?
?
?
a?(a
j?1< br>?1)d
?
?
?
?
?
b?(a
j
? 1)d
?
?
?c
0
d?c

又由
(a? jd)?
?
a?(j?1)d?1
?
?d?1

a
a?jd
?a
a?(j?1)d?1

c
0
?
(d ?1)
,所以
c
0
?

c
,矛盾;
综上 得,对任意的
n?N
*

a
n?1
?a
n
?c
,即数列
?
a
n
?
是等差数列.

探究3:已知函数
f(x)
的导函数
f(x)?2x?9
,且
f(0 )
的值为整数,当
'
x?(n,n?1]
(n?N
*
)< br>时,
f(x)
的值为整数的个数有且只有1个,则
n
= 4
1ye
2
变式1:若实数
x,y
满足
log
2
[4cos(xy)?]?lny??ln
,则
ycos4x
的值为____ _____
2
22
4cos(xy)
2
x
2
?y
2
?2(1?x)(1?y)
变式:2:实数
x,y
满足
2 ?cos(2x?3y?1)?
,则
5x
2
?2y
的最小值为___ __________.
x?y?1
2
?
2
1
?

205
变式3:已知实数
x,y
同时满足
4
?x
?27
?y
?
?
5
?
_____________.
??

?
6
?
51
log
27
y?log
4
x≥

27
y
?4
x
≤1
,则
x?y
的值为
66
解:令
4
x
?a

27
y?b
,由
4
?x
?27
?y
?
56a
,可推得
b?
,则将
a

b
分别代入
27
y
?4
x
≤1
,可得式
65a?6
5a
2
?7a?6
6a
?
6
?

b?a?1
,即为化简得 即为
(a?2)(5a?3)
?0
,解之得
a?
?
0,?
?
?
2,??
?

?0

?a?1

5a?6
5a?6
?
5
?
5a?6
36
36
6
??
9
?
6a6
?
?
6< br>?
??
5
,可得
5
?
?
??,?
?
?
?
0,
?

b?
?
??,0
?
?
?
,3
?
,而
b?0
,则将
a
的范围代入
b?
5a?6
?
5
??
5
?
5 a?655a?6
?
5
?
61
?
1
?
6< br>??
1
??
b?
?
,3
?
,则此时
a?
?
2,??
?

x?
?
,??
?
y?
?
log
27
,
?
.在
log
27
y?log
4
x≥
中,移项得
53
?
6
?
5
??
2
??
log
27
y?
1
?
1
?
?log
4
x
(*).要使得(*)式 有解,则
log
27
y?
?
?log
4
x
?
,则
6
?
6
?
min


61
?
111111111
?
?log
4
x??log
4????
,所以
y?
,而
y?
?
log
27< br>,
?
,则
y?
,则可推得
x?
.
53
?
662623332
?
?
5
?
所以
x?y的取值范围是
??
.
?
6
?
log
27
y?
怎么思考:
(1)类似于两边夹,通过夹逼原理将取值(或者范围)求出;
(2)要求出x+y的取值范 围,通常两种思路:要么构造出x+y整体的不等关系;要么单独求出x和y的
取值范围,然后研究x+ y的取值范围;

n
探究4:设函数
f
n
(x)??x? 3ax?b

n?N*

a,b?R
)。
(1)若
a?b?1
,求
f
3
(x)

?
0,2
?
上的最大值和最小值;
(2)若对任意
x
1
,x
2?[?1,1]
,都有
f
3
(x
1
)?f
3< br>(x
2
)?1
,求
a
的取值范围;
(3)若
f
4
(x)

[?1,1]
上的最大值为
1
,求
a,b
的值。
2
3
'2
解:(1)
f
3
?
x
?
??x?3x?1
?f
3
?
x?
??3x?3

'
'
∴在
?
0,1
?
内,
f
3
?
x
?
?0
,在
?
1,2
?
f< br>3
?
x
?
?0

33
∴在
?
0,1
?
内,
f
3
?
x
?
??x?3x?1
为增函数,在
?
1,2
?

f
3
?
x
?
??x?3x?1
为减函数
3
∴函数
f
3
?
x
?
??x?3x?1< br>的最大值为
f
3
?
1
?
?3
,最小值为f
3
?
2
?
??1
(2)∵对任意
x
1
,x
2

|f
3
?
x
1
??f
3
?
x
2
?
|?1
,∴
|f3
?
1
?
?f
3
?
?1
?
| ?1
,从而有
|6a?2|?1

'2

f
3?
x
?
??3x?3a

f
3
?
x< br>?

?1,?a,
11
?a?

62
a,a
内为增函数,只需
???
a,1
?
内为减函数,
f
?
x
?

?
?
3
?
|f
3
?
a
?
?f
?
?a
?
|?1
,则
4a
3
a?1

a
的取值范围是
11
?a?3

6
16
11111

??f
4
?
1
?
?

??f
4
?
?1
??
②,
22222
13111111
①加②得
?b?
又∵
??f
4
?
0
?
?

??b?

b?
…将
b?
代入①②得
0?a?0

222 22222
(3)由
|f
4
?
x
?
|?
a ?0

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