高中数学学科竞赛河北预赛-高中数学学业水平考试知识点6
专题1.5：集合中计数问题的研究与拓展
【拓展探究】
探究1：记集合P = { 0，2，4，6，8 }，Q = { m | m =
100a
1
?10a
2
?
a
3
，且a
1
，a
2
，a
3
?P }，
将集合Q中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_______．464
探
究2：设
r,s,t
为整数，集合
{a|a?2
r
?2
s<
br>?2
t
,0?t?s?r}
中的数由小到大组成数
列
{a
n
}
,
则
a
36
?
_________.131
3
思考1：数列
{a
n
}
的第
C
n?1
?1
项为____
______.
2
n?1
?3
思考2：设
r,s,t<
br>为整数，集合
{a|a?2
r
?2
s
?2
t
,0?t?s?r}
中的数由小到大组成数列
{a
n
}
，试问当t?m(m?3,m?N
*
)
时的数列
{a
n
}
的最小项为数列的第________项；
a
1
a
2
a
3
a
4
?
，将M 探究3： 记集合
T?
?0,1,2,3,4,5,6
?
，
M?
?
???a?T,i?1
,2,3,4
??
i
2
7
3
7
4
?
7
7
?
392
中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是
.
2401
（本质是十进制转化为七进制表示）
探究4：已知集合A?
?
a
1
，a
2
，，a
k
?
(k≥2)
，其中
a
i
?Z(i?1，2，，k)
，
由
A
中的元素构成两个相应的集合：
S?
?
(a，b)a
?A，b?A，a?b?A
?
，
T?
?
(a，b)a?A，b?A，
a?b?A
?
其中
(a，b)
是有序数对，集合
S和
T
中的元素个数分别为
m
和
n
若对于任
意的
a?A
，总有
?a?A
，则称集合
A
具有性质
P
（1）检验集合
?
01
写出相应的集合
S
和
T
；
，，2，3
?
与
?
?1，2，3
?
是否具有性质
P
并对其中具有性质
P
的集合，
（2）对任何
具有性质
P
的集合
A
，证明：
n≤
k(k?1)
；
2
（3）判断
m
和
n
的大小关系，并证明你的结论
解：（1）集合
?
01，，2，3
?
不具有性质
P
集合
?
?1，2，3
?
具有性质
P
，其相应的集合
S
和
T
是
S?
?
(?13)，，，(3?1)?
，
T?
?
(2，?1)，，?23?
?
（2）证明：首先，由
A
中元素构成的有序数对
(a
i
，a
j
)
共有
k
个
2