高中数学课题：不等关系——比较大小教案

课题：不等关系——比较大小



教学目标：
1．知识目标：①掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法
②理解不等关系的传递性
③能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小
2．能力目标：通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代
数变形的能力， 提高学生解决实际问题的能力；
3．情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心 理，使其主动
参与双边交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优
良心 理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态
度，培养学生热爱家乡的优良品 质．

教学重、难点：
教学重点：比较实数大小的方法．
教学难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；
2.比较实数大小方法的实际应用

教学方法：启导法、感性体验法、合作讨论法

教学用具：多媒体、印好的习题纸

教学过程：
(一)创设情境
（幻灯片给出几张庐山的优美图片，激发学生的兴趣）
引入: 庐山以自然景观为载体，以人 文景观为内涵。它那伟岸的山体、飞流湍泻的瀑
泉、扑朔迷离的云雾、钟灵毓秀的山城，以及宗教理趣的 光华、千年书院的风采、冰

川遗迹的神韵、西式别墅的音符……无一不是中华民族乃至整 个人类文明的古今融合、
精神凝聚、文化升华。它兼有大江的气魄、大湖的胸襟、雄山的刚毅、秀山的温 柔和
灵山的潇洒，被联合国教科文组织评为“世界文化景观”。国庆放假期间，邀上几个朋
友一 起去了趟庐山，恰好碰到景区推出一套门票优惠方案，具体如下：
庐山旺季门票原价为180元，现推 出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以
下任一种方案)
优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；
优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元.
为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？
学生肯定会问有多少人，教师告诉他们在5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。
合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）
人数
5
6
7
方案A
756
900
1044
方案B
750
900
1050
方案选择
B
A或B
A
（学生思考演算并请学生回答结果）
由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比 较大小的问题，这就是我们这节课所
要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题） 继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大
小，如果人数不确定 呢，又该如何比较大小？
若设人数为n，记采用方案A的费用为
f(n)
，采用方案 B的费用为
g(n)
，则
f(n)?144n?36
，
g(n)?150n

接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）
对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系：

f(n)?g(n)?f(n)?g(n)?0?n?6


f(n)?g(n)?f(n)?g(n)?0?n?6


f(n)?g(n)?f(n)?g(n)?0?n?6

所以 当
2?n?6
时，选择方案B;
当
n?6
时，选择两种方案都一样；

当
n?6
时，选择方案A.
这样我们的问题就解决了。
归纳小结：
任意两个实数a，b都能比较大小：
如果a－b>0，则a>b;
如果a－b<0，则a 如果a－b=0，则a=b.
要求学生明确要确定两个实数的大小，只需确定他们的差a－b与0的大小关系。
以上就是比 较两个数（或式）的大小的方法——差值比较法.其实差值比较法我们很
早就已经用过了，请同学们回忆 一下哪里用过？（研究函数的单调性的时候，作差）
下面我们再看几个比较大小的例题
(二)范例启迪
（例题由老师重点讲解，结合投影并简单板演示范）
（出示例1）
例1：试比较
(x?1)(x?5)
与
(x?3)
2
的大小
分析：其差为常数，学生很容易得到答案，对学生进行肯定与表扬
解：(1)
(x?1)(x?5)
-
(x?3)
2

=
(x
2
?6x?5)
-（
x
2
?6x?9）
=-4<0
?
(x?1)(x?5)
<
(x?3)
2

（出示例2）
例2：比较
x
2
?3
与3x的大小
分析：学生提出作差，但是对结果不容易判定正负，故引导学生向配方的方向走。
教师要捕捉学生的闪 光点，若有同学说该式子恒大于0，则应追问原因，直到解决这个
问题。若用函数观点去看这个问题，顶 点在x轴上方，且开口向上，故函数值恒大于0
33
解：
x
2
?3
-
3x
=
(x?)
2
?
>0
24

?
x
2
?3
>
3x

（出示例3）

例3.当1x
2
? 2
与
3x
的大小
分析：学生会发现例3与例2惊人的相似,学生想到的肯定 先是做差和配方但是学
31
生会得到以下结果：
x
2
?2?3x?( x?)
2
?
，发现不能判定正负，教师正好提醒，既
24
然配方 < br>法不能用，还有其他的方法吗？从函数观点来看，顶点在x轴下方，图象开口向上，
所以函数图象 与x轴有两个交点，故方程
x
2
?3x?2?0
是有根的，可以将解析式改为
两根式表示，即将其因式分解。
解：
x
2
?2
-
3x
=(
x?1
)(
x?2
)
?
1?
x?1
>0,
x?2
<0

?
(
x?1
)(
x?2
)<0

?
x
2
?2
<
3x

例题小结：
差值比较法的一般步骤：1.作差 2.变形 3.定号 4.下结论
（配方法和因式分解为代数变形的常用方法）
课堂小练

练习1、比较
(a?3)(a?5)
与
(a?2)(a?4)
的大小


练习2、比较
x
2
?x
与
x?2
的大小关系

练习3、当x>1时,
2x
2
?3x
与
?x?6
的大小
比较大小除了差值比较法之外，还有很多其他的方法。
例：如何比较
2
0.3
和
0.3
2
的大小？
如果学生自己找出答案应给予表扬，若学生思考无果，则如下引导：
（1）
2
0.3
和1哪个大？ （2）
0.3
2
与1哪个大？
学生恍然大悟：
2
0.3
?2
0
?1?0.3
0
?0.3
2

不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据）
若a>b,b>c,则a>c.
（三）

例4：建筑设计规定，民用住宅的窗户 面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面
积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大， 住宅的采光条件越好。试问：同
时增
加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。
分析： 例2以建筑设计为背景，研究比较大小在实际生活中的应用，这是一个难点.应
该指导学生进行正确的审 题。
解：设住宅窗户面积和地板面积分别为
a
和
b
，同时增加的面 积为
m
，根据问题的要
求
a?b
，且
由于
于是
a
?10%
.
b
a?mam(b?a)
???0
，
b?mbb(b?m)
a?maa
?
，又
?10%
，
b?mbb
a?ma
因此
??10%

b?mb
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光
条件变好了！
结论：一般地，设
a
，
b
为正实数，且
a?b,m?0
，则

a?ma
?

b?mb
123
????

234
这是一个非常重要的不等 式，其意思为：一个正的真分数，
当分子和分母同时加上一个正数后得到的分数比原来的大。例如
这个不等式在生活中还有一个模型。大家能否用这个不等式解释一下：
在一杯不太甜的糖水里加糖，糖水变甜了.
设在
b
g糖水里有
a< br>g糖，此时糖水浓度为
为
a?ma
a?m
，按照常识可知
?< br>.
b?m
b?mb
a
，在加入
m
g糖后，这杯糖水 的浓度
b
（四）思考交流
（放映芭蕾舞演员的表演视频）
引言中的问题：
为什么芭蕾舞演员在表演时脚尖立起给人一种美的享受？
你们知道黄金分割吗？黄金分割是一 个值0.618，一本书的短边长与长
边长之比接近0.618时，视觉上要优美一些，而对于人的身材 也是一样的。

一个人的身材比例为0.618时是最优美的。一般的人，下半身长x（ 肚脐眼以下部
分）与全身长y的比值
x
在0.57-0.6之间，而芭蕾舞演员在演
y
出时，脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身
长之比由
xx?m
变成
,这个比值更加接近黄金分割值0.618.
y? m
y
实际的生活中，很多的女士为了追求美而选择穿高跟鞋，其目的就是在追求黄金
分 割值。
实践作业：请大家回去为自己和家人量一量身材，也许最美的东西就在你身边哦！如
果 是女性可以为她们设计高跟鞋的高度（是不是越高越好呢）。
人员 下半身长x（cm） 全身长y(cm) 鞋子高度m(cm)
甲
乙
丙
丁












xx?m

y?m
y








但是我们作为学生应该追求内在美，不能穿高跟鞋。
（五）回顾与小结
请同学们相互讨论：
本节课你学到了哪些知识？
（引导学生归纳本堂课的重要知识，重要方法）
（1） 比较大小的方法：差值比较法；
（2） 不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据）；
（3） 比较大小在实际问题中的应用。
（六）布置作业
课本74页 课后思考交流2以及练习2
教学设计说明
现代教育心理学的研究认为，有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基
础上的，因此我在教学设计过程中注意了：
㈠在学生已有知识结构和新知识间寻找“最近发展区”．
㈡引导学生通过同化，顺应掌握新知识。

㈢设法走出“性质概念一带而过，演 习作业铺天盖地”的误区，促使自己与学生一
起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。
我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则；注重对学生思维的发展；贯彻教师
对本节内容的 理解；体现“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质相结合”的原
则。希望对学生的思维品质的培养 ﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作
用．