高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.19：数列方程问题的研究与拓展

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








专题6.19：数列方程问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：（1）已知数列 {
a
n
}的前
n
项和
S
n
满足：
S
m
＋
S
n
＝
S
m
＋
n
，且
a
1
＝1.那么
a
10
＝ . < br>（2）已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n< br>满足：
S
m
?S
n
=S
m?n
,且
a
1
=2.那么
a
10
＝ .
2 2
（3）已知数列
?
a
n
?
中，
a
1?1,a
2
?0
，若对任意的正整数
m
和
n
(
n
>
m
)满足：
a
n
?a
m
?a
n?m
?a
n?m
，则
a
119
?
.
参考答案：1.12.5123.-1

探究2：已知数列{
a
n
}，{
b
n
}满足
a
1
=1，
a2
=2，
b
1
=2，且对任意的正整数
i
，
j
，
k
，
l
，当
i
+
j
=
k
+
l
1
2011
时都有
a
i
+
b
j
=
a
k
+
b
l
，则
?(a
i
?b
i
)
的值是 ．
2011
i?1
变式1已知数列{
a
n
}，{
b
n
}满足
a
1
=1，
a
2
=2，
b
1
=2，且对任意的正整数
i
，
j
，
k
，
l
，当
i
+
j
=
k
+
l
时都有
a
i
-
b
j
=
a
k
-
b
l
，
1
n
则
?
(a
i
?b
i
)
的值是 ．
n
i?1
变式2数列{
a
n
}，{
b
n
}满足
a
1
=1，
a
2
=2，
b
1
=2，且对任意的正整数
i
，
j< br>，
k
，
l
，当
i
+
j
=
k
+
l
时都有
a
i
b
j
=
a
k
b
l
，
记
c
n
=
n
(a1
?b
1
)(a
2
?b
2
)(a
3< br>?b
3
)?

探究3：已知数列
{a
n
}< br>的前三项分别为
a
1
?5
，
a
2
?6
，
a
3
?8
，且数列
{a
n
}
前
n
项和
S
n
满
?(a
n
?b
n
)
，则{
c
n
}的通项公式为
1
足
S
n?m
?(S
2n
?S
2m
)?(n?m)
2
，其中
m,n
为任意正整数．求数列
{a
n
}
的通 项公式
a
n
.
2
信达

-------- -------------------------------------------------- ---------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------------- ----------------------------



11< br>解：令
n?1,m?2
，
S
3
?(S
2
?S
4
)?1,S
4
?29,a
4
?10
，令
m?1
，
S
n?1
?(S
2n
?S
2
)? (n?1)
2
,

22
S?S
2
1
令m?2
，
S
n?2
?(S
2n
?S
4
)?(n?2)
2
,
∴
a
n?2
?S
n?2
?S
n?1
?2n?3?
4
?2n?6?2(n?2)?2,
< br>22
(n?1)
?
5,
a
n
?
?
∴
a
n
?2n?2,(n?3)
又
a
2
?6
符合，
a
1
?5
不符合，∴
?
2n?2,(n?2)

变式：设数列
{a
n
}
的各项都为正数，其前
n
项和为
S
n
，对于任意正整数
m,n
，
S
m? n
?2a
2m
(1?S
2n
)?1
恒成立．
（1 ）若
a
1
?1
，求
a
2
,a
3
, a
4
及数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若a
4
?a
2
(a
1
?a
2
?1)，求证：数列
{a
n
}
是等比数列．（注重对条件的功能性分析） 解：（1）由条件，令
m?n?1
，得
1?S
2
?2a
2
(1?S
2
)
．
∴
(1?S
2
)2
?2a
2
(1?S
2
)
．则
1?S
2
?2a
2
．∴
a
2
?1?a
1
．∵a
1
?1
，∴
a
2
?2
．
令
m?1,n?2
，得
1?S
3
?2a
2
(1?S
4
)
．则
(4?a
3
)
2
?4(4?a
3
?a
4
)
．
令
m?2,n?1
，得
1? S
3
?2a
4
(1?S
2
)
．则
(4?a
3
)
2
?8a
4
．
解得
a
3< br>?4,a
4
?8
.得
1?S
m?n
?2a
2 m
(1?S
2n
)
．令
m?1
，得
1?S
n?1
?2a
2
(1?S
2n
)
．
令
m ?2
，得
1?S
n?2
?2a
4
(1?S
2n)
．∴
1?S
n?2
?
1?S
n?1
a
4
a
（
n?N*
）．∵
4
?2
，
a< br>2
a
2
则数列
{1?S
n
}
(n≥2,n? N*)
是公比为2的等比数列．∴
1?S
n
?2?2
n?1
?2
n
．
a
n
?2
n?1

（2）在①中 ，令
m?2,n?2
，得
1?S
4
?2a
4
(1? S
4
)
．则
1?S
4
?2a
4
．∴
1?S
3
?a
4
．
在①中，令
m?1,n?2
，得
1?S
3
?2a
2
(1?S
4
)
．则
1?S
3
?2a
2
(1?S
3
?a
4)
，∴
a
4
?2a
2
?2a
4
． < br>则
a
4
?4a
2
．
q
?2．代入（*），得
a
n
?(1?S
2
)2
n?3
（
n≥3< br>，
n?N*
）．（*）
由条件
a
4
?a
2
(a
1
?a
2
?1)
，得
a
1
? a
2
?1?4
．
∵
a
2
?1?a
1，∴
a
1
?1,?a
2
?2
．则
a
n
?4?2
n?3
?2
n?1
（
n≥3
，
n ?N*
），
∵
a
1
?1
，∴
a
2
?2
也适合上式，∴
a
n
?2
n?1
（
n?N*
）．∴数列
{a
n
}
是等比数列．
拓展：已知数列{a
n
}满足
a
1
＝0，
a
2
＝2，且 对任意
m
、
n
∈
N
都有
信达
*

------------------------------------------ -------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------- --------------------------------------------



a
2
m
－1
＋
a
2
n
－1
＝2
a
m
＋
n
－1
＋2(
m
－
n
)
2

（1）求
a
3
，
a
5
；
（2）设
b
n
＝
a
2
n
＋1
－
a
2n
－1
(
n
∈
N
)，证明：{
b
n< br>}是等差数列；
（3）设
c
n
＝(
a
n+1
－
a
n
)
q
n
－1
*
(
q≠0，
n
∈
N
)，求数列{
c
n
}的前
n
项和
S
n
.
*

探究4：设
a1
，
d
为实数，首项为
a
1
，公差为
d
的等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S< br>n
，且满足
S
5
S
6
?15?0
，
则
d
的取值范围是______________.
d?22
或
d? ?22
（方程思想）
变式：若其他条件不变，求
a
1
的取值范围.
a
1
?210
或
a
1
??210

拓展1：如图，建立平面直角坐标系
xOy
，
x
轴在地平面上，y轴垂直于 地平面，单位长
度为1千米，某炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹在方程
y?kx?
信达
1
(1?k
2
)x
2
(k?0)

20< /p>

---------------------------------------- ---------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------- ----------------------------------------------



表示的曲线上，其中
k
与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3 .2千米，试问它的横坐标
a
不超过多少
时，炮弹可以击中它？说明理由。






y(km)
o
x(km)

拓展2：（1）已知数列
?
a
n
?
的各项均为正 数，前
n
项和为
S
n
，若
S
n
?
①求数列
?
a
n
?
的通项公式；
②设
m,k,p ?N
，
m?p?2k
，求证：
*
1
(a
n
?1)
2
.
4
112
??
.
S
mS
p
S
k
*
（2）若
?
a
n
?
为等差数列，前
n
项和为
T
n
，求证：对任意
n ?N
，
T
n
,T
n?1
,T
n?2
不构成 等比数列.
信达

-------------------------- -----------------------------------------奋斗没有终点任何时 候都是一个起点------------------------------------------- ----------




拓展3：（1）设关于
x< br>的不等式
mx?2x?m?1?0
对于满足
m?2
的一切
m< br>都成立，则
x
的取值范围
2
?
7?13?1
?
?
是_____________.
?
?
2
,
2
?

??
2
（2）若在
?
0,4
?
上存在 实数
p
使得不等式
x?px?4x?p?3
成立，则实数
x
的取值范围是
_________.
?
??,1
?
?
?1,??
?

拓展4：设计一幅宣传画，要求画面面积为
4840cm< br>，画面的宽与高之比为
?
（
?
?1
），画面的上、下各
留
8cm
的空白，画面的左、右各留
5cm
的空白，问怎样确定画面的高与 宽的尺寸，能使宣传画所用纸张的
面积最小？如果
?
?
?
,
?
，那么
?
为何值时，能使得宣传画所用纸张面积最小？
34
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
2
?
23
?
??
信达