高中数学人教a版必修5-高中数学应用题的教学作用
专题7.13：解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展
【问题提出】
1. 无论
k
取任何实数，直线
(1?4k)x?(2?3k)y?(2?1
4k)?0
必经过一个定点，则这个定点的坐标为
__________.
2. 已
知直线
l:2ax?by?a?b?0
；圆
C:x
2
?y
2
?2x?1?0
，则直线
l
与圆
C
的位置关系为
_
_____________.
x
2
y
2
3. 已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
，点
A,F
分别是
椭圆
C
的左顶点和左焦点，点
P
是圆
ab
O:x
2
?y
2
?b
2
上的动点，若
PA
为常数，则椭圆的
离心率为___________.
PF
4. 平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2
＋y
2
－(6－2m)x－4my＋5m
2
－6m＝0，直线
l经
过点 (1，0)．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为
________. 2x＋y－2＝0
【探究拓展】
y
2
x
2
探究1：已知
F
1
、
F
2
分别为椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)的上、下焦点,其中
F
1
也是抛物线
C
2
:x
2
?4y
的
ab
5
焦点,点
M
是
C
1
与
C
2
在第二象限的交点,且
|MF
1
|?<
br>.
3
（1）求椭圆
C
1
的方程.
（2）已知点<
br>P(1,3)
和圆
O
:
x
2
?y
2
?b
2
,过点
P
的动直线
l
与圆
O
相交于
不同的两点
A,B
,在线段
AB
上取一
????????
?
???????
点
Q
,满足:
AP??
?
PB
,<
br>AQ?
?
QB
,(
?
?0
且
?
??
1
).求证:点
Q
总在某定直线上.
解：方法1：由
C
2
:x
2
?4y
知
F
1
(0,1)
,设M(x
0
,y
0
)(x
0
?0)
,
因
M
在抛物线
C
2
上,故
x
0
2
?4y
0
…①
又
|MF
1
|?
26
5
52
,则
y
0
?1?
……②,
由①②解得
x
0
??
,
y
0
?
3
333
椭圆
C
1
的两个焦点
F
1
(0,
1)
,
F
2
(0,?1)
,点
M
椭圆上,
由椭圆定义
2a?|MF
1
|?|MF
2
|?(?
222
262262
?0)
2
?(?1)
2
?(??0)
2
?(?1)
2
?4
3333
y
2
x
2
??1
.
∴
a?2
,又
c?1
,∴
b?a?c?3
, ∴椭圆
C
1
的方程为
43
方法2：由
C
2
:x
2
?4y
知
F
1
(0,1)
,设
M(x
0
,y
0
)(x
0
?0)
,因
M
在抛物线<
br>C
2
上,故
x
0
2
?4y
0
…①又
|MF
1
|?
5
,则
3