高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题3.5：以“”为背景的问题的研究与拓展

专题3.5：以“
【探究拓展】
lnx
1
?lnx
2
x
1
?x
2
?
x
1
?x
2
2
”为背景的问题的研究与拓展
探究1：已知二次函数
f
?< br>x
?
?ax?bx?c
和“伪二次函数”
g
?
x?
?ax?bx?clnx
（
abc?0
），
22
（1）证明：只要
a?0
，无论
b
取何值，函数
g
?
x
?
在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图像上任意取不同两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，线段
AB
中点为
C
?
x
0
,0
?
，记直线
AB
的斜率
为
k
，
1 对于二次 函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
，求证：
k?f< br>?
(x
0
)
；
○
2
2 对于“伪二次函数 ”
g
?
x
?
?ax
2
?bx?clnx
， 是否有
○
1同样的性质?证明你的结论.
○
c2ax
2
?bx?c
?0
(ⅰ)恒成立, 解：（1 ）如果
x?0,g(x)
为增函数,则
g
?
(x)?2ax?b??
xx
2
当
x?0
时恒成立,
2ax?bx?c?0
(ⅱ)
a?0,
由二次函数的性质, (ⅱ)不可能恒成立.
则函数
g(x)
不可能总为增函数.
(2)○
1对于二次函数:
k?
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
?2
a(x
2
?x
1
2
)?b
?
x2
?x
1
?
x
2
?x
1
=
2ax
0
?b
.
由
f
?
(x)?2 ax?b,?f
?
(x
0
)?2ax
0
?b
,则< br>k?f
?
(x
0
)

2不妨设
x
2
?x
1
,对于“伪二次函数”:
○
法一:
g
?
x
?
?ax?bx?clnx?f(x)?cl nx?c
.
2
k?
g
?
x
2
?
?g
?
x
1
?
x
2
?x
1
f(x
2
)?f(x
1
)?cln
?
x
2
?x< br>1
x
2
x
1
x
2
x
1
,< br> (ⅲ)
?f
?
(x
0
)?
x
2
?x
1
cln
又
g
?
?
x
0?
?f
?
(x
0
)?
c
, (ⅳ) x
0
2
a(x
2
?x
1
2
)?b?
x
2
?x
1
?
?cln
法二:
k?
g
?
x
2
?
?g
?
x
1
?
x
2
?x
1
?
x
2
x
1
x
2
?x
1
x
2
x
1
=
2ax
0
?b?
, (ⅲ)
x
2< br>?x
1
cln
由(1)中(ⅰ)
g
?
?
x< br>0
?
?2ax
0
?b?
c
, (ⅳ)如果有
○
1的性质，则
g
?
?
x
0
?
?k ,
x
0