高中数学应用题大全-物理背景下的高中数学题
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专题3.1:导数中极值和最值问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究
1:已知函数
f(x)?x?ax?bx?a
在
x?1
处有极值
10
,则
a?b?
________. -7
变式1:已知函数
f?
x
?
?x?ax?2x?b
,其中
a,b?R
.若函
数
f
?
x
?
仅在
x?0
处有极值,则
a<
br>的
432
322
取值范围是
.
?
?,
?
33
变式
2
:已知函数f(x)?
?
88
?
??
1
4
x?6x
2
?cx?d
既有极大值又有极小值,实数
c
的取值范围是
___
______.
4
?
?16,16
?
首先转化为导函数(三次函数)至少有两个互异实数根
极小值小于等于
0
小于等于极大值
变式3:若
x?1
是定义在R上的函数f(x)极小值点,且f
’
(x)=(x-1)(x
2
-ax+2),
则a的取值范围为_______. a<3
变式4:设函数
f(x)?(x?2)
2
(x?b)e
x
,若
x?2
是
f(x)
的一个
极大值点,则实数
b
的取值范围为_________.
b??2
变式5:下列关于函数
f(x)?(2x?x)e
的判断正确的是___________.
①
f(x)?0
的解集是
?
0,2
?
;②
f(?2)
是极小值,
f(2)
是极大值;
2x
③
f(x)
没有最小值,也没有最大值
32
变式6
:对于函数
f(x)?x?ax?x?1
的极值情况,
4
位同
学有下列说法:
甲:该函数必有
2
个极值;
乙:该函数的极大值必大于
1
丙:该函数的极小值必小于
1
;
丁:方程
f(x)?0
一定有
3
个不等的实数根
这四种说法中,正确的个数为
_________ 3
只有丁错误
探究2:设
f(x)??
(1)若函数在
?
?
1
3
1
2
x?x?2ax
32
?<
br>12
?
,
?
上单调递增,求实数
a
的取值范围; <
br>?
23
?
(2)若函数在
?
1
?
2
?
,??
?
上存在单调递增区间,求实数
a
的取值范围;
a??
9
?
3
?
16
,求
f(
x)
在该区间上的最大值.
3
22
'
解:(2)
f(x)
在
(,??)
上存在单调递增区间,即存在某个子区间
(m,n)?(,??
)
使得
f(x)?0
.由
33
1122
f
'(x)??x
2
?x?2a??(x?)
2
??2a
,
f
'
(x)
在区间
[,??)
上单调递减,则只需
f
'
()?0
即由
2433
221
f
'
()??2
a?0
解得
a??
,
399
12
所以,当
a??
时,
f(x)
在
(,??)
上存在单调递增区间.
93
(3)当
0?a?2
时,
f(x)
在
[1,4]
上
的最小值为
?
'
(3)令
f(x)?0
,得两根
x
1
?
1?1?8a1?1?8a
,
x
2
?
.… <
br>22
所以
f(x)
在
(??,x
1
)
,(x
2
,??)
上单调递减,在
(x
1
,x
2
)
上单调递增
当
0?a?2
时,有
x
1
?1?x
2
?4
,所以
f(x)
在
[1,4]
上的
最大值为
f(x
2
)
又
f(4)?f(1)??
27
?6a?0
,即
f(4)?f(1)
2
4016所以
f(x)
在
[1,4]
上的最小值为
f(4)?8a???
,得
a?1
,
x
2
?2
,
33
10
从而
f(x)
在
[1,4]
上的最大值为
f(2)?<
br>.
3
22
变式:设函数
f(x)?lnx?x?2ax?a,a?R
,
(1)若
a?0
,求函数
f(x)
在
?
1,e?
上的最小值;
(2)若函数
f(x)
在
?
,2?
上存在单调递增区间,求实数
a
的取值范围;
2
(3)求函数
f(x)
的极值点.
解:(1)
f(x)
min
?1
;
(2)使
f<
br>?
(x)?0
在
?
,2
?
上有解,得
a?<
br>
4
?
2
?
(3)当
a?
?
1?
?
?
?
1
?
9
2
时,
f(
x)
没有极值点;
a?a
2
?2a?a
2
?2
当
a?2
时,
x?
是函数的极大值点,
x?
是
函数的极小值点.
22
探究3:已知
m?R
,
f(x)
?x?3(m?1)x?12mx?1
.
(1)若
f(x)
在区间
?
0,3
?
上无极值点,求实数
m
的值. 1
(2)若
存在
x
0
?
?
0,3
?
,使得
f(x0
)
是
f(x)
在
?
0,3
?
上的最
值,求实数
m
的取值范围.
m?
探究4:设函数f(x)=ax
2
+e
x
(a∈R)有且仅有两个极值点x
1
,x
2
(x
1
).
(1) 求实数a的取值范围;
(2) 是否存在实数a满足f(x
1
)=
ex
1
?如存在
,求f(x)的极大值;如不存在,请说明理由.
解:(1)
f
?
(x)
=2ax+e
x
.
显然a≠0,x
1
,x
2
是直线y=
?
2
332
14
或
m?
33
1x
与曲线y=g(x)=
x
两交点的横坐标.
2ae
(思考为何要这样变形?)··············2分
由
g
?
(x)
=
1?x
=0,得x=1.列表:
e
x
x
g
?
(x)
(-∞,1)
+
↗
1
0
(1,+∞)
-
↘
g(x)
1
g(x)
max
=
e
··················································
·······4分
此外注意到:
当x<0时,g(x)<0;
11
当
x∈[0,1]及x∈(1,+∞)时,g(x)的取值范围分别为[0,]和(0,).
ee
于是题设等价于0<
?
11ee
<
?
a<
?
,故
实数a的取值范围为(-∞,
?
).········6分
2ae22
(2)存在实数a满足题设.证明如下:
由(1)知,0< x
1
<1
,
f
?
(x
1
)
=
2ax
1
+
e
x
1
=0,
2
e
x
1
1
x
1
x
1
x
1
2
3
?e?e
3
?0
.·故f(x
1
)=
ax+e<
br>=
e?e
=
ex
1
,故·················
··········8分
x
1
2
2
2
1
x1
x
1
2
e
x
1
x
e
x(x?1)1
x
3
记R(x)=
?e?e
(0
?
(x)
=
?e?0
,
x2
x
2
2
于是,R(x)在(0,1)上单调递减.
又R(
22
)=0,故R(x)有唯一的零点x=.
33
2
3
e
x
1
3
2
2
??e
3
.·
从而,满足f(x
1
)=
ex
1
的x
1
=.所以,
a=
?
····························12分
2x<
br>1
4
3
3
2
3
2
x
3
2<
br>此时f(x)=
?ex?e
,
f
?
(x)
=
?e
3
x?e
x
,
42
2
又
f
?
(0)
>0,
f
?
(1)
<0,
f
?<
br>(2)
>0,而x
1
=∈(0,1),
3
3
22
2
3
故当a=
?e
时,f(x)
极大
=f(
x
1
)=
e
3
.·······················
································16分
4
3
探究5:已知函数
f(x)?(x?a)(x?b)
,
a,b
为常数
.
(1)若
a?b
, 求证:函数
f(x)
存在极大值和极小值;
(2)设(1)中
f(x)
取得极大值、极小值时自变量的分别为
x
1
,x
2
,令点
A(x
1
,f(x
1
))
,
B(x
2
,f(x
2
))
,
如果直线<
br>AB
的斜率为
?
2
1
,求函数
f(x)
和<
br>f
?
(x)
的公共递减区间的长度;
2
(3)若
f
(x)?mxf
?
(x)
对于一切
x?R
恒成立,求实数
m,a,b
满足的条件.
解:(1)
f(x)?(x?b)
?
3x?(2a?b)
?
?a?b
?b?
2a?b2a?b
?f
,
(x)?
0
有两不等 b和
?
f(x)存在极大值和极小值
33
2a?b
3
(2)①若a=b,f(x)不存在减区间 ②若a>b时由(1)知x
1
=b,x
2
=
?
2a?b
2(a?b)
2
?
?
?
A(b,0)B
?
?
3
,?
?
9
??
2(a?b)
2
1<
br>3
9
???
?
2(a?b)
2
?3(a?b)
?a?b?
2a?b
2
2
?b
32a?b33
,x
2
=b。 同理可得a-b=(舍) 综上a-b=
322
2a?b1
,
)
即(b,b+1)
?f(x)
的减区
间为
(b,
,
f
(x)减区间为
(??,b?)
32
1
1
∴公共减区间为(b,b+)长度为
…………………………….……
………………10分
2
2
3当a1
=
○
(3)
f(x)?mxf(x)
?(x?a)(x?b)
2
?m?x(x?b)
?
3x?(
2a?b)
?
?(x?b)(1?3m)x
2
?
?
m(2a?b)?(a?b)
?
x?ab?0
若
m?
?
?
1
,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的
积,
3
1
?(x?b)
?
(a?2b)x?3ab
?
?0
3
3ab
a?2b
无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次
的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒非负。
?m?
若a+2b=0,
a??2b
,
?a?b
=0,
若
a?2b?0
则
x
1
?b
,
x
2
?
?
a?2b?0
?
?
3ab
?
b?
a?2b
①b=0
综上
?m?
则a<0,②b
?
0
3a
?1
?a?b
且b<0
a?2b
1
a?b?0
3
【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?