高中数学精品课件-苏教高中数学网课
课 题:
2.3函数的极限(二)
教学目的:
1.理解函数在一点处的极限,并会求函数在一点处的极限.
2.已知函数的左、右极限,会求函数在一点处的左右极限.
3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系
教学重点:掌握当
x?x
0
时函数的极限
教学难点:对“
x?x
0
时,当
x?x
0
时函数的极限的概念”的理解
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
上节课我们学习了当x趋向于∞即x→∞时函数f(x)的
极限.当x趋向于∞
时,函数f(x)的值就无限趋近于某个常数a.我们可以把∞看成数轴上的一个特
殊
的点.那么如果对于数轴上的一般的点x
0
,当x趋向于x
0
时,
函数f(x)的值是否
会趋近于某个常数a呢?
教学过程:
一、复习引入:
1.数列极限的定义:
一般地,如果当项数
n
无限增大时,无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无限趋近于某个
...
..
常数
a
(即
a
n
?a
无限趋近于0),那么就
说数列
{a
n
}
以
a
为极限,或者说
a
是
数列
{a
n
}
的极限.记作
lima
n
?
a
,读作“当
n
趋向于无穷大时,
a
n
的极限等
n
??
于
a
”“
n?
∞”表示“
n
趋向于无穷大”,
即
n
无限增大的意思
lima
n
?a
有
n??时也记作:当
n?
∞时,
a
n
?a
.
2.几个重要极限:
(1)
lim
1
?0
(2)
limC?C
(C是常数)
n??
n
n??
n
n
(3)无穷等比数列
{q}
(
q?1
)的极限是0,即
limq?0(q?1)
n??
3.函数极限的定义:
(1)
当自变量
x
取正值并且无限增大时,如果函数
f
(
x
)无限
趋近于一个常
第
1页(共5页)
数
a
,就说当
x
趋向于正无穷大时
,函数
f
(
x
)的极限是
a
.
记作:
x
???
lim
f
(
x
)=
a
,或者当
x<
br>→+∞时,
f
(
x
)→
a
.
(2)当自变
量
x
取负值并且绝对值无限增大时,如果函数
f
(
x
)无限
趋近于
一个常数
a
,就说当
x
趋向于负无穷大时,函数
f<
br>(
x
)的极限是
a
.
记作
x???
lim
f
(
x
)=
a
或者当
x
→-∞时,
f
(
x
)→
a
.
(3)如果
x???
lim
f
(
x
)=
a
且
lim
f
(
x
)=
a
,那么就说当
x
趋向于无穷大时,函
x
???
数
f
(
x
)的极限是
a
,
记作:
lim
f
(
x
)=
a
或者当
x
→
∞时,
f
(
x
)→
a
.
x??
4.常数
函数
f
(
x
)=
c
.(
x
∈R),有lim
f
(
x
)=
c
.
x??
li
m
f
(
x
)存在,表示
lim
f
(
x)和
lim
f
(
x
)都存在,且两者相等.所以
lim
f
(
x
)
x??x???x???x??
中的∞既有+∞,
又有-∞的意义,而数列极限
lim
a
n
中的∞仅有+∞的意义
x??
二、讲解新课:
1.研究实例
(1)探讨函数
y?x
,当
x
无限趋近于2时的变化趋势.
当
x
从左侧趋近于2时,记为:
x?2
.
?
2
x
y=x
2
1.1 1.3 1.5
1.7 1.9 1.99 1.999 1.9999
?
2
?
4 1.21 1.69 2.25 2.89 3.61 3.9601
3.996 3.9996
?
当
x
从右侧趋近于2时,
记为:
x?2
.
x
y=x
2
2.9 2.7
2.5 2.3 2.1 2.01 2.001 2.0001
4.004 4.0004
2
?
2
8.41. 7.29 6.25 5.25 4.41
4.04
22
?
4
x?2
,(右极限)
limx?2
,因此有
limx?2
.
发现(左极限)
lim
??
x?2x?2
x?2
(2)我们再继续看
x
2
?1
y?
,当
x
无限趋近于1(
x?
1
)时的变化趋势:
x?1
第 2页(共5页)
x
2
?1
y??x?1,(x?1)<
br>,当
x
从左侧趋近于1时,即
x?1
?
时,
y?2<
br>.
x?1
当
x
从右侧趋近于1时,
即
x?1
时,
y?2
.
?
x
2
?1
?
lim
(x?1)?2
,
即(左极限)
lim
?
x?1
x?1x?1
?
x
2
?1
?
lim
(x?1)?2
(右极限)
?
li
m
?
x?1
x?1x?1
?
x
2
?1
?<
br>lim
?
lim
(x?1)?2
x?1
x?1x?1
?
x?1(x?0)
?
(3)分段函数
f(x)?
?
0(x?0)
当x→0的变化趋势.
?
x?1(x?0)
?<
br>y
1
O
x
-1
f(x)??1
①x从0
的左边无限趋近于0,则
f(x)
的值无限趋近于-1.即
lim
?
x?0
f(x)?1
②x从0的右边无限趋近于0,则
f(x)
的值无限趋近于1. 即
lim
?
x?0
可以看出
x?x
0
?
limf(x)?lim
?
f(x)
,并且都不等于
f(0)?0
.象这种情况,
x?x<
br>0
就称当
x?0
时,
f(x)
的极限不存在
.
2. 趋向于定值的函数极限概念:当自变量
x
无限趋近于
x
0
(
x?x
0
)时,
如果函数
y?f(x)
无限趋近
于一个常数
a
,就说当
x
趋向
x
0
时,函数
y?f(x)
的极限是
a
,记作
limf(x)?a
x?x
0
第
3页(共5页)
特别地,
limC?C
;
limx?x
0
x?x
0
x?x
0
3.
limf(x)?a?lim?
f(x)?lim
?
f(x)?a
x?x
0
x?x
0
x?x
0
其中
lim
?
f(x)?a<
br>表示当
x
从左侧趋近于
x
0
时的左极限,
lim?
f(x)?a
表
x?x
0
x?x
0
示当x
从右侧趋近于
x
0
时的右极限
三、讲解范例:
例1求下列函数在X=0处的极限
?
2
x
,x?0
x?
x
2
?1
lim
(1)
lim
(2)
(3)
f(x)?
?
0,x?0
x?0
x
x?0
2x
2
?x?1
?
1?x
2
,x?0
?
x
2
?1x?1
?lim?1
解:(1)
lim
2
x?0
2x?x?1
x?0
2x?1
(2)
lim
?<
br>x?0
xxx
??1,lim?1?lim
不存在.
?
x
?0
x?0
xxx
?
2
x
,x?0
?
(3
)
f(x)?
?
0,x?0
?
1?x
2
,x?0
?
2x
?limf(x)?lim(1?x)?1,limf(x
)?lim2?1
????
x?0x?0x?0x?0
?limf(x)?
limf(x)?1?limf(x)?1
.
??
x?0x?0
x?0y
2
x
1+x
2
1
O
x
四、课堂练习:
1.对于函数
y?2x?1
填写下表,并画出函数的图象,
观察当
x
无限趋近于1时的
变化趋势,说出当
x?1
时函数
y?2x?1
的极限
第 4页(共5页)
x
y=2X+1
0.1 0.9
0.99 0.999 0.9999 0.99999
?
1
?
x
y=2X+1
1.5 1.1
2
1.01
1.001 1.0001 1.00001
?
1
?
2.对于函数
y?x?1
填写下表,并画出函数的图象,观察当<
br>x
无限趋近于3时的
变化趋势,说出当
x?3
时函数
y?x?
1
的极限
2
x
y=X-1
2
2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999 2.999999
?
3
?
x
y=X-1
2
3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001
3.000001
?
3
?
3.求如下极限:
x
2
?1(x?1)
3
?(1?3x)
2
lim2(sinx?cosx?x)
lim
⑴
lim
; ⑵; ⑶
23
?
x?12x
2
?x?1
x?0
x?2x
x?
2
⑷lim
1?2x?3
x?2
x?4
⑸
lim
x?0
a
2
?x?a
1
(
a?0
);
⑹
lim
x?0
x
x
x
2
?1x?1
2(x?1)
3
?(1?3x)x?3
?lim?
⑵
lim?lim??3
答案:⑴
lim
2
x?1
2x?x
?1
x?1
2x?1
x?0x?0
1?2x3x
2
?2x<
br>3
?
2
1?2x?32(x?2)4
⑶
lim2(sinx?cosx?x)?2?
⑷
lim?lim?
?
x?4x?4
2
x?
x?21?2x?3
3
2<
br>2
a
2
?x?a11
1
?lim?
⑹
lim
不存在. ⑸
lim
x?0x?0
x?0
x
x
a
2
?x?a
2a
五、小结
:函数极限存在的条件;如何求函数的极限
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记:
第 5页(共5页)
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