高中数学选修1-2《类比推理》教案及说明

课题：合情推理---类比推理（第一课时）

教材：普通高中课程标准实验教科书人教社A版 选修1-2

【教学目标】：
1.知识与能力：
掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出新的结
论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。

2.过程与方法：
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比
的性质相似性越多， 相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得
出的结论就越可靠。
3.情感态度与价值观：
(1).正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真 观察事物、分
析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

(2).认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善
数学的正确数 学意识。
【教学重点、难点】：

重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
难点：用类比进行推理，做出猜想。
【教学方法与手段】


设计意图
教学方法：启发探究式
教学手段：多媒体课件
【教学过程】
教学环节

教 学 过 程
多媒体展示：实际生活中的例子
情境1.有这么的一 个传说：春秋时代的鲁班（被认为
是木匠业的祖师）有一次去林中砍树时被一颗齿形的茅草
割破 了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。他当时是这样
想的：茅草是齿形的，能割破手。 我现在需要一种能割
断木头的工具，所以可以把它造成是齿形的，看能否把东
创设情景
西锯断。就这样有了后来的锯子。
情境2．科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许< br>多类似的特征：(1).火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星；
(2).火星有大气层，在一年中 也有季节变更；(3).火星上
的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜
想：火 星上可能存在生命.
师生共同探究圆与球的类比：
根据客观现实世界中，事
物的各 个属性并不是孤立的，
而是相互联系和相互制约的。
引入生活中的两个例子，目的
是让 学生感受数学的应用价
值,引起学生对课题的兴趣，
激发学生的求知欲望。
合作探究
圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合
球的定义：空间内，到定点的距离等于定长的点的集合


引导学生从不同 的角度
来对圆和球进行类比：关键是
引导学生将平面的元素类比
到空间的元素；
1

圆 球
弦 截面圆（平面的线类比空间的成面）
直径 经过球心的截面圆（大圆）
切线 切面
周长（封闭曲线的长） 表面积（封闭曲面的面积）
面积（封闭曲线围成的面积） 体积（封闭曲面围成的
体积）
学生从性质的角度来对圆和球进行类比
通过生生、师生间的探
讨、合作，培养学生的 洞察力，
增强学生思维的严谨性。让学
生在探索过程中，充分感受到
成功的情感体验， 从而增强学
习数学的兴趣和学好数学的
信心。
圆的性质（类比的角度）
圆的周长
圆的面积
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直
于弦
与圆心距离相等的两弦相等；与圆
心距离不等的两弦不等，距圆心较近的
弦较长 心点
(x
0
,y
0
)
为圆心，
r
半径 的圆的方
程为
(x?x
0
)
2
?(y?y
0
)
2
?r
2

类比推理的描述性定义：
A类事物具有性质：a,b,c
B类事物具有性质：a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）
所以B类事物可能具有性质d’.
球的性质




动手实践

到分小组讨论使学生之
间的思维产生碰撞，寻求解决
问题的思路。
让学生从 特殊到特殊，从已
知推测新的结论的动手实践
过程中，充分感受到成功的情
感体验；向 同学展示解决问题
的思想方法，共享学习成果，
体验数学学习成功的喜悦。
剖析定义中的两类事物
之间的关系，理解定义。
抽象概括
讲例题前，先引 导学生从
构成几何体的元素数目来看，
平面几何中的三角形可以类
?PEF的面积为S
比立体几何中的四面体。
而直角三角形中的线线垂直
应该类比四面体中的面面垂
于是选择三个面面两两垂

直；
三个面两两垂直的四面
体
直的四面体进行类比。 强调要
寻找合适的类比对象。另外，
∠
C
＝90° ∠
PDF
＝∠
PDE
＝∠
EDF
＝90°
应用举例

三条边的长度
a
，
b
，
c
四个面的面积
S
1,,
S
2,
S
3
和
S

使学 生体会到平面三角形勾
两条直角边
a
，
b
和一条斜三个“直角面”< br>S
1,,
S
2,
S
3
和一
股定理中的长度关 系可以类
比空间四面体中面积关系。
边
c
个“斜面”
S
,+

学生归纳总结类比推理
C
2
=a
2
+b
2

S
2
= S
1
2
+
S
2
2
+
S
3
2

的一般步骤，形成技能。
变式训练

设计具有梯度的变式训
1. 若三角形内切圆半径为
r
，三边长为
a,b,c
，则三角
例：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四
面体性质的猜想．
1
形的面积
S?r(a?b?c)
，根据类比思想，若空 间四
思想，使学生的思维一步一步
2

2
练，体现了构建最近发展 区的

面体内切球半径为
R
，四个面的面积为
S
1,S
2
,S
3
,S
4
，则
四面体的体积
V
为







2.（2004广东，15）
地加深发展。其中第1题，体
现了平面图形的面积与空间
图形的体积的类比；
第2题则体现了平面图
形中的线与空间图形中的线
的类比。
S
?P A
?
B
?
PA
?
?PB
?
?
由图 (1)有面积关系:
S
?PAB
PA?PB
?
则由图(2)有体积关系:
V
P?ABC
C


B
C
B
?

B



A

A
P
P
A
?
A

V
P?A
?
B
?
C
?

1.类比推理的描述性定义；
2.类比推理的一般步骤；
3.类比推理的几个特点：


使学生回顾本节的内容，
(1).以旧的知识为基础,推测新的结果，

加深对所学知识的理解，既简
课堂小结

具有发现的功能
(2).由特殊到特殊的推理；
(3).类比推理的结论不一定成立。
4.几何中常见的类比对象
必做：课本P30,3 P35,6
如图，已 知O是?ABC内任意一点，连接AO、BO、CO，并延
明扼要又突出重点，起到画龙
点睛的 作用。
课外作业

长交对边于A?、B?、C?，
OA
?
OB
?
OC
?
???1
???
AABBCC
则其 证明方法常用面积法：
布置分层作业以使各个
层次的学生都有所发展。
运用类比，猜想对于空间中的四面体，存在什么类似的结
论？并用“体积法”证明。







3

《类比推理》教案说明


江门市新会第一中学 黄小滨
一、教学内容的分析
本节课是合情推理中类比推理的第一课时的内容，主要通过几何中 图形的类
比，使学生掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出
新的结 论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。

二、教学过程的特点
(1)．创设情境生活化
本着新课程的教学理念，让学生再次认识数学与人类生活的密切联系 ，体会
“数学来源于生活”，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及
数学结论 的确定性。 采用举例和问题探究的形式创设问题情景，意在营造和谐、
积极的学习氛围，在引入课题的 同时引起学生对课题的兴趣，激发学生的求知欲
望。
(2)．探究问题特殊化
教学 中体现以学生发展为本的理念，充分给学生思考的时间、交流的机会以
及展示思维过程的舞台，通过生生 、师生间的探讨、合作，增强学生学习数学的
兴趣和学好数学的信心。通过师生之间不断合作和交流，发 展学生的数学观察能
力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性；让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

(3)．动手实践类比化
教学中充分体现学生为主体，让学生从特殊到特殊，从已知推测新的 结论的
动手实践过程中，充分感受到成功的情感体验；展示学生解决问题的思想方法，
共享学习 成果，体验数学学习成功的喜悦。
(4)．抽象概括结构化


剖析定义中的两类事物之间的关系，理解定义；有助于学生形成知识模块，
优化知识体系。
(5)．应用举例梯度化
设计具有梯度的题目，体现了构建最近发展区的思想，使学生的思维 一步一

4

步地加深发展，培养学生思维的深刻性和灵活性。例题是 直角三角形中线段关系
与三个面两两垂直的四面体中面积关系的类比；变式训练第1题中，是三角形内< br>切圆与四面体中内切球的类比；要先理解三角形面积公式的由来，再类比四面体
中体积公式，思维 提升了；第2题中，三角形面积的比与线段的关系，类比四面
体中体积与的比与线段的关系；要先找出四 面体的高与线段的关系，再应用已知
条件求解，培养学生类比和化归的思想。
(5)．课堂小结 点睛化


使学生回顾本节的内容，加深对所学知识的理解，既简明扼要又突出重点，
起到画龙点睛的作用。
(6)．课外作业分层化


通过布置分层作 业，体现分层施教，并为学有余力的学生提供进
一步发展的空间。
三、
教学诊断分析< br>

学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：
1.在探究圆的标准方程类 比球的标准方程时，学生感觉到困难，不敢确定；
有的学生猜想球的标准方程为
(x?x
0
)
3
?(y?y
0
)
3
?(z?z
0
)
3
?r
3
，教学中，应从定义
来检验它的正确性；

2.在例题的讲解中，学生从空间四面体类比到平面三角形，在理解类比的角度上有困难；
教学中，我把顺序反过来；用平面三角形类比空间四面体，从低级向高级类比。

五、教学效果分析
以上的教学过程中，通过老师的不断提问，促使学生对问题深入思考，在形
成定义的过程中，不仅有直观上的感知，而且通过理性的说理，增加了逻辑思维
的成分． 在教师的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，学生在课堂上认真参与，
积极探索，学习热情较 高， 能.正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从
小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之 间的质的联系的良好个性品质，善
于发现问题，探求新知识。能.认识数学在日常生产生活中的重要作用 ，培养学
生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。


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