高中数学用定义判定单调性-高中数学群头像
课题:1.3辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
课型:新授
编写人:张源 审核人:符玉波
学习目标
1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．
2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．
3．理解进位制的概念，能进行不同进位制数间的转化．
4. 进一步体会算法的基本思想．
课前预习学案
预习内容：
一、辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个
正整数的___________的古老而有效的算法．
(2)辗转相除法的算法步骤
第一步，给定________________.
第二步，计算___________________.
第三步，
____________.
第四步，若
r
＝0，则
m
、
n
的最大公约数等于
_ __
；
否则，返回_____
___.
②程序框图如右图所示．
二、更相减损术
第一步，任意给定两个正整数
，判断它们是否都是_____．若是，
用_______；若不是，执行_______ ．
第二步，以_____的数减去_____的数，接着把所得的差与_____的数比较，并以大数减
小数，继续这个操作，直到所得的数
_____为止，则这个数(等数)或这个数
改写多项式为
：
与约简的数的乘积就是所求的最大公
f(x)＝a
n
x
n
＋a
n－1
x
n－1
＋…＋a
1
x＋a
0
约数
＝(a
n
x
n－1
＋a
n－1
x
n
－2
＋…＋a
1
)x＋a
0
三、秦九韶算法
概念： ＝((a
n
x
n－2
＋a
n－1
x
n－3＋…＋a
2
)x＋a
1
)x＋a
0
＝…
求多项
式
f
(
x
)＝
＝(…((a
n
x＋a
n－
1
)x＋a
n－2
)x＋…＋a
1
)x＋a
0
.<
br>设v
1
＝__________，
v
2
＝v
1
x＋a
n－2
，
v
3
＝v
2
x＋a
n－
3
，
…，
v
n
＝__________.
an
x
n
?a
n?1
x
n?1
?
??a
1
x?a
0
的值时，常用秦九韶算法，这种算法
的运算次数较少，是多项式求值比较
先进的算法，其实质是转化为求
n
个
__
______多项式的值，共进行
________次乘法运算和_______次加
法运算．
其过程是：
1
(2)算法步骤：
第一步，输入多项式的次数
n
、最高次项的
系数
a
n
和
x
的值．
第二步，将
v
的值初始化为
a
n
，将
i
的
值初始化为
n
－1.
第三步，输入
i
次项的系数
a
i
.
第四步，v
＝
vx
＋
a
i
，
i
＝______
____.
第五步，判断
i
是否大于或等于_____.若是，
则返回第三步；否则，输出多项式的值_____.
四、进位制的概述
1、进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，
就是二进制；满
十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．
也
就是说，“___________”就是几进制，几进制的基数(大于1的整数)就是几． 一般地，
k
进制数的原理是满
k
进一，
k
进制数一般在
右下角处标注基数(
k
)，以示区别．例
如，270
(8)
表示27
0是一个八进制数．十进制数一般不标注基数．
(3)不同进位制数之间的转化
1.
k
进制数
a
(共有
n
位)化为十进制数
b
的算法
步骤：
第一步，输入
a
，
k
，
n
的值．
第二步，将
b
的值初始化为0，
i
的值初始化为1.
i<
br>－1
第三步，
b
＝
b
＋
a
i
k，
i
＝
i
＋1.
第四步，判断__是否成立，若是，则执行第五步；
否则，返回第三步．
第五步，输出
b
的值．
程序框图如图所示．
2.十进
制数
a
化为非十进制的
k
进制数
b
的算法是除
k<
br>取
余法．
算法步骤：
第一步，给定十进制正整数
a
和转化后的数的基数
k
.
第二步，求出__除以__所得的商
q
，余数
r
.
第三步，将得到的余数依次从__到__排列．
第四步，若
q
≠0，则a
＝
q
，返回第__步；否则，输出全部
余数
r
排列得
到的
k
进制数．
程序框图如图所示．
2
课内探究学案
思考：辗转相除法与更相减损术的区别和联系
探究任务一：求两个正整数的最大公约数
例题一、分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数
变式练习：
(1)(2013～2014·大庆高一检测)用辗转相除法求394和82的最
大公约数时，需要做除法
的次数是( )
A．1 B．2 C．3
D．4
(2)用更相减损术求123与51的最大公约数时，需做减法的次数是( )
A．3 B．5 C．6 D．8
探究任务二：用秦九韶算法求多项式的值
例题二、用秦九韶算法写出当x＝3时f(x)＝
2x
5
－4x
3
＋3x
2
－5x＋1的值
变式训练二
1、用秦九韶算法计算f(x)＝6
x
5
－4x
4
＋x
3
－2x
2
－9x，需
要加法(或减法)与乘法运算的次数
分别为 ( )．
A．5,4
B．5,5 C．4,4 D．4,5
2、用秦九韶算法计算
多项式f(x)＝12＋35x－8x
2
＋79x
3
＋6x
4
＋5x
5
＋3x
6
在x＝－4的值
时，v3的值为_______
_．
3
探究任务三：十进制数与
k
进制数互相转化
例题三：
(1)将194化成八进制数； (2)将48化成二进制数
（3）将下列各数化成十进制数．(1)11
001 000
(2)
； (2)310
(8)．
课堂小结
当堂检测[来源:学.科.网]
1．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是( )
A．24 B．18
C．12 D．6
2．用秦九韶算法计算f(x)＝3x
6
＋4x
5
＋5x
4
＋6x
3
＋7x
2
＋8x＋1当x＝
0.4时的值，需要进
行乘法运算和加法运算的次数分别为( )
A．6,6
B．5,6 C．6,5 D．6,12
3．利用辗转相除法求3 869与6
497的最大公约数时，第二步是________．
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x
5
＋5x
4
＋10x
3
＋10x
2
＋5x＋1在
x＝－2时的值为
________．
5．101
(2)
转化为十进制数是( )
A．2 B．5
C．20 D．101
6．下列最大数是( )
A．110
(2)
B．18 C．16
(8)
D．20
(5)
7．用辗转相除法求242与154的最大公约数．
课后反思：你的收获
你的疑惑
4