普通高中数学课程标准2017版培训心得-高中数学试题考卷图片
高中数学学习材料
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专题6.12:等差数列若干问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1:等差数列的证明问题
提升对
a
n?1
?a
n?d
(常数)本质的认识,只要后项减前项为同一个常数,就能证明数列
?
an
?
是等差数列.
根据条件,判断下列数列是否为等差数列?
22<
br>(1)
a
n
(2)
a
n?1
?a
n
?2
;(3)
?a
?1n
?4
;
11
??1
;
a
n?1
a
n
a
n?1
a
n
?
n
?1
;
n?1
22
(4)
lga
n?1
?lga
n
?2
;(5)
2
a
n?1
?2
a
n
?2
;(6)
(7)已知数列
?
an
?
及
?
b
n
?
是两个无穷等差数列,公差分
别是
d
1
和
d
2
,求证:
?
a
n
?b
n
?
成等差数列,并
求它的公差.
探究2:含绝对值的数列问题
设等差数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?34?2n
,设数列
?
b
n
?
的每一项都满足
b
n
?a
n
,求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
. 变式:已知数列{a
n
}共有2k项(
k≥2,k?N*
),数列{a<
br>n
}的前n项和为S
n
,满足:a
1
= 2,
a
n?1
= (p ? 1)S
n
? 2(n =
1,2,…, 2k?1),其中常数p > 1.
(1)求证:数列{a
n
}是等比数列;
1
,数列{b
n
}满足
b
n
?log
2
(a
1
a
2
a
n
)
(n = 1,2,…, 2k),求数列{b
n
}的通项公式;
n
3333
(3)对于(2)中数列{b
n
},求和T
n
=
|b
1
?|?|b
2
?|??|b
2k?1
?|?|b
2k
?|
.
2222
(2)若
p?
解:(1)∵a
n?1
= (p
? 1)S
n
? 2(n = 1,2,…, 2k?1),
∴a
n
= (p ? 1)S
n ? 1
? 2(n = 2,…,
2k).
2
2k
2
?1
则当n = 2,…, 2k?1时,两式相减,得
a
n?1
? a
n
= (p ? 1)(S
n
? S
n ? 1
),即a
n?1
? a
n
= (p
? 1) a
n
.
∴a
n?1
= pa
n
(n
= 2,…, 2k?1).
原式中,令n = 1,得a
2
= (p
? 1)a
1
? 2 = 2 (p ? 1) ? 2 = 2p =
pa
1
.
∴a
n?1
=
pa
n
,即
a
n?1
?p
(n = 1,2,…,
2k?1).
a
n
则数列{a
n
}是等比数列.
(2)由(1),得a
n
= a
1
p
n ?
1
.
1
∴
b
n
?log
2
(a
1
a
2
n
1
?log<
br>2
(a
1
n
?p
1?2?
n
?log
2
(a
1
?
n?1
p
2
)
1
a
n
)?log
2
(a
1
?a
1
p?a1
p
2
?
n
?n?1
?a
1
p
n?1
)
)
?1?
n?1n?12
log
2
p?1?
222k?1
1
(n?1)
. 2k?1
3n?132n?2k?1
??
(3)∵
b
n
??1?
,
22k?122(2k?1)
?1?
∴当n≤k时,
b
n
?
33
?0;当n≥k?1时,
b
n
??0
.
22
33
?|b
2k?1
?|?|b
2k
?|
22
3
?(b
2k
?)
2
33
则T
n
=
|b
1
?|?|b2
?|?
22
33
=
(?b
1
)?(?b2
)?
22
=
(b
k?1
?b
k?2
?
33
?(?b
k
)?(b
k?1
?)?
22?b
2k
)?(b
1
?b
2
??b
k
)
k
2
k?1
.
?)=
2k?1
2k?1
kk?1
=
(??
2k?12k?
1
2k?101
?)?(??
2k?12k?12k?1
探究3:三个数或四
个数成等差数列问题
(1)三个数成等差数列,它们的和是15,它们的平方和等于83,求这三个数.
(2)成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40,求这四个数.
探究4:等差数列通项的若干性质探究.
(1)已知
x?y
,两个数列x,a
1
,a
2
,a
3
,y
和
x,b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,y
都是
等差数列,且公差分别为
d
1
和
d
2
,求
d
1
:d
2
.
*
(2)已知
?
a
n?
是等差数列,当
m?n?p?q
(
m,n,p,q?N
)时,
是否有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?如果是,请给出证明. 并思考能否对该结论作进一步推广?
(3)在等差数列<
br>?
a
n
?
中,已知
a
2
?a
7?a
15
?12
,则
a
8
?______.
探究5:(1)一个等差数列的前
12
项的和为354,前12项中偶数项
的和与奇数项的和之比为
32:27
,则
公差
d?______
<
br>(2)等差数列
?
a
n
?
中,前
m
项(m
为奇数)和为77,其中偶数项之和为33,且
a
1
?a
m<
br>?18
,则数列
?
a
n
?
的
通项公式为__
_______.
探究6:
(1)已知等差数列
?
an
?
的前
n
项和为
S
n
,首项为
a<
br>1
,公差为
d
,则
?
?
S
n
??
是______数列.
n
??
(2)设S
n
为等
差数列{a
n
}的前n项和,已知S
5
= 5,S
9
=
27,则S
7
= .
(3)设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
S
4
?10,S
5
?15
,则
a
4
的最大值为___
____.
(4)等差数列
?
a
n
?
的前
n项和为
S
n
,首项为
a
1
,公差为
d
,则
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,?
成等差数列,公差为_______.
(5)已
知各项均为正数的等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,且
S
2k
?2S
k
?8,k?N<
br>*
,则
S
3k
?S
2k
的最小
值为____
______ 32
解:利用等比数列连续等项的和成等比数列性质可容易得到。
探究7:等差数列{a
n
}和{b
n
}的前n项的和分别是 Sn
和T
n
,且
a
S
n
2n
,则
5
=___
,
?
T
n
3n?1
b
5<
br>a
5
=__
b
6
变式1:已知等差数列{a
n
}和{b
n
}的前n项的和分别是
S
n
和T
n
,且
S
n
7n?45
,则使
?
T
n
n?3
得
a
n
为正整数的
n
的个数为________
b
n
A
n
9n?77
?
,若
B
n
n?3
变式2:两个等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
前
n
项的和分别为
A
n
和
B
n
,且
a
k
?
k?N*
?
是整数,则
k
= 29
b
2k
变式3:设
数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
是各项均为正数的等比数列,并设
?
lna
n
?
、
?lnb
n
?
的前
n
项和
分别为
S
n
和
T
n
,若
a
1
?2
,<
br>
c
n
?4
n
S
n
a
n
,设
c
n
?
n
,则数列
?
c
n<
br>?
的通项公式为_______.
?
T
n
2n?1bn
应用等差数列和等比数列的互化方法以及结论完成
探究8:(1)在一个等差数列中,如果其中有一项为
项?
(2)已知由正数组成的无穷等差数列中有3项
13,25,41
.
求证:
2009
是其中一项.
(3)数列
?
a
n
?
满足:
a
1
?1
,
a
n?1
?(n<
br>2
?n?
?
)a
n
(
n?1,2,3,?
)
,其中
?
为常数.
① 当
a
2
??1
时,求?
与
a
3
的值;
② 数列
?
a
n<
br>?
是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.
【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?
26151
,,
能否成为该等差数列的连续三,那么
3x?16xx