高中数学相关书籍-高中数学必修一公式文科
高中数学课题研究：椭圆的面积和周长
成都七中高中远程教学 周钰承
★
目标：综合运用高中所学知识，计算椭圆面积和周长，以提高学生的学习
兴趣和实际运用能力。
★ 重点：
函数模型；无穷等比数列求和；极限与导数；几何概型。
★
难点：用数学归纳法证明不等式；近似值与误差的笔算方法。
课题引入：宇宙间宏观
物体的运动轨迹大都是椭圆，现实世界椭圆无处不在。美丽的
椭圆无时无刻出现在我们的视野，但无时无
刻被我们所忽视或回避。
椭圆面积与周长的计算，可以在高中阶段进行学习吗？
经过笔者探
索发现，高中阶段不仅可以理解、计算椭圆面积与周长，而且在这个学习
过程中，学生对函数建模、不等
式证明、数列、指数运算等知识点都能起到复习与提高的作
用。
本课题以计算椭圆面积和周长为契机，训练学生的数学思维能力和实际运用能力。
１．椭圆面积公式的推导
如图１，用一个平面斜截一个圆柱，再补合成一个斜圆柱，则底面必
是一个椭圆。根据
祖
暅
原理
，
斜圆柱的体积等于底面积乘高。根据图
中有关信息，让学生推导椭圆面积公式。
图１．椭圆面积的推导
根据图示，我们推导得出椭圆面积公式：
S
椭圆
?
?
?ab
??????（1）
例1．小明与小红做游戏，规定：小明在区间
(0,2)
内任写一个实数
x
，
小红在区间
(0,1)
内任写一个实数
y
。若满足不等式
1?x?4
y
22
?4
，则小明获胜，否则小红
获胜。谁获胜的概率更大？
解：将不等式组
1?x?4y?4
变形为求
22
x
2
1?
y
2
2
0.5
?1
与
x
2
2
2
?
y
2
1
?1
的公共解
集，因为
x?(0,2),y?(0,1)
，所以公共部分是一个小椭圆外部与一个大椭圆内
部在
第一象限部分，如图2中阴影部分：
S
阴影
?
1
4<
br>?
S
大椭圆
?S
小椭圆
?
?
1
?<
br>1
?
3
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?
?2?1?
?
?1?
?
?
?
4
?
2
?
8
图2
S
阴影
所以，小明获胜的概率是：
答：小明获胜概率大。
S
矩形
?
3
?
8
?
?
2?1
?
?
3
?
16
?
1
2
２．椭圆周长的精确计算
根据微积分基本定理，可以写出椭圆周长的定积分公式。但由于被积
函数的原函数不
是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。但数学家们推导、证明了下面这个椭圆
周
长标准公式：
2222
??
?
1
?
2
?
1
?
4
?
1?3
?
6
?
5!
!
?
8
C?
?
?(a?b)
?
1?
??<
br>?
?
??
?
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??
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??
?
??
?
????（2）
?
2
??
2?4??
2?4?6
??
8!!
?
??
??
公式（
2）中，
?
?
a?b
a?b
。 这个公式表明，椭圆周长的主要部分
为
?
?(a?b)
，我们
可以把（2）式中括号里从第二项起称为
椭
圆率多项式
：
?
(2n?3)!!
?
2n
?
1<
br>?
2
?
1
?
4
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6
f(
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)?
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?
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?<
br>?
?...?
???
??
?
??
?（3）
?
2
??
2?4
??
2?4?6
?
?(2n)!!
?
222
2
一般情况下求椭圆周长，只须计算到
f
(
?
)
前两项就能达到较高的精确度，因而往
往可以笔算。但是，当
?
很大时，比如
?
?0.95
时，得算到椭圆率多项式第五十多项才
能保证误差率低于一万分之一。为了减少计算项数，我们可以构建一个新的函数模型，用以
解决
?
很大时的计算问题。
我们把椭圆率多项式
f(
?
)
中的系数简化得：
?
?
(2n?3)!!
?
?
2n
f(
?
)?
?
?
3
?
?
4
?
?
7
?
?...?
?
??
?
?
??
????（4）
4
(2n)!!
444
?
??
?
1
2
1
4<
br>1
6
25
8
观察思考（4）式：由于
0??
?
a?b
a?b
?1
，所以
?
2n
随着正整数
n
增大而减小；
各项系数逐渐变小，但与等比数列相比，“小得越来越慢”
；
f(
?
)
的函数值主要决定于
f(
?
)
前几项的和。根据（4）式的这些特点，我们构造一个多项式函数
g(
?
)
，
使它与
f(
?
)
前两
项相同，且其各项系数为等比数列：
g(
?
)?
1
4
?
?
2
1
41
4
3
?
?
2
4
1
4
14
5
?
?
6
1
4
1
4
7?
?...?
8
1
4
2n?1
?
1
4
8
2n
??
???????（5）
8
变形：
g(
?
)?
?
1
4
2
?
(1?
22
?
?
1
2
4
?
?
6
41
6
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?
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?
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)??]
4444
11
4
4<
br>1
?
?
8
6
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??)
?
1
4
?
?
1?(
2
1
1
4
（中括
号内等比数列求和并求极限）
?
)
2
?
4
?
2<
br>2
16?
?
2
?
4
?
把
g(
?
)?
替换椭圆周长标准公式（2）的
f(
?
)
得
C?
?
(a?b)
?
?
1?
16?
?
2
2
16?
?
?
4
?
2
?
?
?
?
从而得到一个椭圆周长的近似公式：
?
16?
3
?
2
C?
?
(a?b)
?
?
16??
2
?
?
?
??????????（6）
?
?
?
?
????（7）
?
?
?
16(a?b)
2
?3(a?b)
2
或
C?
?
(
a?b)
?
?
16(a?b)
2
?(a?b)
2
?
公式（6）和（7）是我们计算椭圆周长要用到的近似公式。为了突出这个公式，我
们称（6）
或（7）为椭圆周长
等比公式
。
为了估计等比公式的误差，令
h(
?
)?f(
?
)?g(
?
)
，得：
1
4
4
h(
?
)?(?
1
4
5
)
?<
br>?(
6
25
4
7
?
1
4
7
)
?
???{[
8
(2n?3)!!
(2n)!!
]?2
4
}
?
2n?1
1
2n
??
注意上式中
n
不表示
h(
?
)
的项数
，只表示
f(
?
)与g(
?
)
的项数，因为
h(<
br>?
)
前两项被
消去。误差率与
a,b
的取值大小无关，只与它
们的比值有关，我们有下面的定理：
?
等比公式误差率定理：
设椭圆两半轴长分别是
a,b(a?0,b?0)
，
?
a?b
a?b
，
?
16?3
?
2
则椭圆周长等比公式
C?
?< br>(a?b)
?
?
16?
?
2
?
?
?
的值比椭圆真值小，其误差率：
?
?
h(
?
)?(
1
4
4
?
1
4
5
)
?
?(
6
25
4
7
2
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??
(2n?3)!!1
?
??
2n8
?
7
)
?
???
?
?
?
?
??
?
2n?1
?
(2n)! !
?
44
??
?
?
?
1
满足不等式：?
1
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?
?
?
3
?
6
21024?512
?
?h(
?
)?
3
?
.6< br>2
1024?568
?
?
?
2
?
?
?
?????（8）
证明
：
记
h(
?
)
的系数分别为
H
3
,H
4
,H
5
,?< br>，H
记以首项为
3
1024
8
n
,?
，H
n
?
(2n?3)!!
?
1
。
?
?
?
?
2n?1
4
?
(2n)!!
?
,?
，
A
n
?
n
3
1024?2
6
2
n?3
2
，公比为
1
2
的数列为
A
3,A
4
,A
5
,?
，A
3
?
6
.
则：
A
3
?
?A
4
?
?A
5
?
610
??A
n
?
2n
???
102 4(1?
1
2
?
3
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?
)
2
10 24?512
?
?
?
1
?
?
?
记以首项为
3
1024
，公比为
q?1?
45
?
1 024?(60?19
?
)
的数列为
B
3
,B
4< br>,B
5
,B
6
,...B
n
...
，
B
n
?
3
1024
?q
n?3
， 因为：
q?1?
45
?
1024??
?
60?19?
?
?
2m
?0.5542763.........
，所以：
6
26
2
B
3
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?B
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?....?B
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?B
m
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?...?
3
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)
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3
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?
?
2
?
?
?
（1） 要证明等比公式函数值比椭圆真值小，只须证明
H
n
?0(n?3)
恒成立。
用数学归纳法。
验证：
H
3
?(
1?3
2?4? 6
)?
2
1
4
5
?
1
256
2< br>?
1
1024
?
3
1024
?0
假设
H
k
?0(k?3)
，即
[
(2k?3)!!
(2k)!!
1
4
2
2k?1
]?
1
4
2 k?1
?0
则：
H
k?1
?
[
(2k? 1)!!
(2k?2)!!
2
]?
2
?[
(2k?3)!!
(2k)!!
1
4
2
]?(
2
2k?1
2 k?2
)?
2
1
4
2k?1
?
1
4
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?[
(2k?3)!!
(2k)!!
]?(
2?2? 1
2?3?2
)?
1
4
2k?1
?
（上式是因为
k?3
，且
(
(2k?3)!!
(2k)!
!
2
2k?1
2k?2
)
2
?(1?
3
2
k?2
)
为
k
的增函数）
2
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1
16
?
1
4
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?
1
16
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(2k?3)!!
(2k)!!
1
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]?
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2k?1
?0
11
16
<
br>?H
k
??0?
16
于是
H
n
?0(n?3
)
恒成立，等比公式比周长真值小至此得证。
（2）令
A
n
?H<
br>n
?C
n
(n?3)
，则：
C
n
?
3
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(2n?3)!!
(2n
)!!
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4
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]?
1
2
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1
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n?3
?
1
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?[
(2n?3)!!
(
2n)!!
2
]
验证可得：
C
3
?
C
4
C
5
1
1253?81
25
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7
?
7
????0
777
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9
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????
9999
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10
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3
?
256
??
4
?0
.
下面用数
学归纳法证明，当
n?5
时，恒有
C
n
?0
.
由验证知，
C
5
?0
.
假设当
n?k
时
，
C
k
?0
成立，.即：
3
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k?3<
br>?
1
4
2k?1
?[
(2k?3)!!
(2k)!!
2
]?0
成立。
2
那么当
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时， C
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k?3
3
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(2k?
3)!!
(2k)!!
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（上式是因
为，当
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时，
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1
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于是：
A
n
?H
n
?C
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所以：
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1
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?C
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6810
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n
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2n
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?0
所以：
?
1
?
?
?
?
h(
?
)
（3）在椭圆周长标准公式（2）中，当
?
?1
，即
b?0
时，两边同时求极限，得：
2222
??
?<
br>1
??
1
??
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??
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?
4a?
?
?a
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1?
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??
?
（此时椭圆周长是
4a
） <
br>?
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8!!
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2222
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?
2
又：
lim
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，于是：
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(2n?3)!!
(2n)!!
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又：
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B
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...B
n
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...?H
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?H
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验证：
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8
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9
)?0
15
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44
所以
B
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?H
4
,B
5
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H
5
于是，至少存在一个自然数
m
(m?5)
，使
B
m
?H
m
，否则必然导致：
B
3
?B
4
?B
5
?B
6
...B
n
...?H
3
?H
4
?H
5
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，
这与
B
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n
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3
?H
4
?H
5
?
H
n
?...
矛盾。
设
m
是
B
m
?H
m
成立的最小自然数，可用数学归纳法证明
B
i
?H
i
,(i?m)
恒成立。
因为
B
m
?H
m
成立，所以：
3
1024
?q
m?3
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(2m?3)
!!
(2m)!!
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即：
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m?3
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(2m?3)!!
(2m)!!
1
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成立。
所以
B
m?1
?H
m?1<
br>?
3
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1
4
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m?2
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m?1
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(2m?1)!!
(2m?2)!!
2
]
2
?
3
1024
3
1024
?q
m?3
?q?
2m?1
?
1
4
2
?[
(2m?3)!!
(2m)!!
]?(
2m?1
2m?2
)
2??q
m?3
?q?
1
4
2m?1
?q?[
(
2m?3)!!
(2m)!!
]?q
2
33
????2
（上式因为
m?5,()?
?
1?
?
?
?<
br>1?
?
?q?0.55.......
）
2m?22m?212????
?{
3
1024
?q
m?3
2m?1
22
?
1
4
2m?1
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(2m?3)!!
(2m
)!!
]}?q
2
?(B
m
?H
m
)?q
?0?q?0
故
B
m?1
?H
m?1
也成立。
综上：
B
i
?H
i
?0(i?m),H
i
?B
i
?0(i?m)
，于是：
?
2
?
?
?
?h(?
)?
3
?
6
2
1024(1?q
?
)
?h(
?
)
?(B
3
?
?B
4
?
?....?B
m?1
?
68
682m
?2
?B
m
?
2m
?...)?(H
3
?
?H
4
?
?....?H
m?1
?
2m?2
682
m?2
?H
m
?
2m?2
2m
?...)
?(B<
br>3
?H
3
)
?
?(B
4
?H
4)
?
....?(B
m?1
?H
m?1
)
?<
br>?(B
3
?H
3
)
?
2m?2
?(H
m
?B
m
)
?
2m?2
2m
?(H
m?
1
?B
m?1
)
?
2m?2
?...
2m?2?(B
4
?H
4
)
?
2m?2
....?(B
m?1
?H
m?1
)
?
?(H
m
?Bm
)
?
?(H
m?1
?B
m?1
)
?
?...
?(B
3
?H
3
?B
4
?H4
....?B
m?1
?H
m?1
?H
m
?B
m
?H
m?1
?B
m?1
?...)
?
2
m?2
2m?2
?[(B
3
?B
4
....?B
m?1
?B
m
?B
m?1
?...)?(H
3?H
4
....?H
m?1
?H
m
?H
m?1
?...)]
?
?0?
?
2m?2
?0
所以：
?
2
?
?
?
?h(
?
)<
br>
等比公式误差率定理证明完毕。
从证明过程可以看出：当
?
?1
时，
?
2
?
?
?
的系数之和更接近
h(
?
)
的系数之和，而
此时
h(
?
)
后
面无穷远项的值开始起作用，因而当
?
?0.92
时（离心率
e?0.999
的极扁椭
圆），
?
2
?
?
?
更接近
h(
?
)
；相反，当
?
?0.92
（离心率
e?
0.999
的普通椭圆）时，
?
1
?
?
?
与
h(
?
)
前几项系数更接近，而
h(
?
)
后面无
穷远项的值作用太小，
?
1
?
?
?
更接近
h(?
)
。
例2.椭圆长半轴是3，短半轴是2。保留
?
和分数形
式求弧AB的长，并估算误差率。
解：
C?
?
(a?b)[16(a?b)
?3(a?b)]
[16(a?b)?(a?b)]
22
22
?<
br>5
?
?
16?25?3?1
?
16?25?1
15
?
2015
?
399
。
?
??0.92
，是普通椭圆，所以误差率：
?
1
??
?
?
?
3
?
6
2
1024?512
?
?
3?0.2
6
2
1024?512?0.2
0
.000192
1024?20
?
3?0.000064
1024
?512?0.04
?
0.000192
1000
?0.000000192
思考：此题若不保留
?
和分数形式，还能用误差率公式来估计误差吗？如果
我们必须把
周长结果化成小数，为了减小误差
?
应该取不足近似值还是过剩近似值？
推论
： 设
a,b,C
分别为椭圆半长轴、半短轴和周长真值，<
br>?
?
a?b
a?b
，则：
6
?16?3
?
2
3
?
?
(a?b)
?
?
16?
?
2
?
1024?512
?
2
?<
br>6
??
16?3
?
2
3
?
?
?C?
?
(a?b)
?
??
16?
?
2
?
1024?568
?
2
??
?
?
?
?
6
?
16?3
?
2
3
?
W1
?
?
(a?b)
?
?
16?
?
2<
br>?
1024?512
?
2
?
6
?
16?3<
br>?
2
3
?
W
2
?
?<
br>(a?b)
?
?
16?
?
2
?
1024?5
68
?
2
?
?
?
是椭圆周长真值的一个下界公式。
?
?
?
?
是椭圆周长真值的一个上界公式。
?
?
目前高端人士计算椭圆周长皆用程序设计或数学软件，费时、择人、工具要求高，不
如定理简洁
可行。我们可以用下界公式和上界公式求出椭圆周长的精确值，如下表。
真值上界
W
a
等比公式周长C
真值下界
W
求得周长精确值
b
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
0.00 3.979
0.05 4.010
0.15 4.124
0.20 4.2007
0.25 4.2886
0.30 4.3856
0.35 4.4906
0.40 4.60253
0.45 4.72065
0.50 4.84420
0.55
4.972620
0.60 5.105396
0.65 5.242102
0.70 5.3823685
0.75 5.5258729
0.80
5.67233355
0.85 5.821502475
0.90
5.9731604322
0.95 6.1271126366
1.00
6.2831853072
b
3.997
4.0191
4.12629
4.202004
4.289209
4.3859097
4.4907394
4.6026249
4.7206886
4.84422410
4.97264552
5.10539977
5.242103599
5.3823689815
5.5258730402
5.6723335778
5.8215024803
5.9731604325
6.1271126366
4.00
4.02
4.06
4.126
4.2020
4.2892
4.3859
4.49074
4.60262
4.720689
4.844224
4.972646
5.1053998
5.24210360
5.382368982
5.525873040
5.672333578
5.821502480
5
6.127112637
6.283185307
求得周长精确值
4.000
4.0198
4.0641
4.012640
4.202045
4.289225
4.385916
4.490742
4.6026234
4.7206889
4.8442242
4.97264564
5.10539978
5.242103603
5.3823689822
5.5258730403
5.6723335778
5.8215024803
5.9731604325
6.1271126366
6.2831853072
真值上界
W
2
0.10 4.059
4.0639
6.2831853072
等比公式周长C
真值下界
W
1
表1.椭圆周长公式一览表
表1反映了用
下界公式
W
1
和上界公式
W
2
求得的椭圆周长精确值分布情
况，方便师生
?
16?3
?
2
们直观感受等比公式
C??
(a?b)
?
?
16?
?
2
?
?<
br>?
的误差率。表中椭圆真值的求法是：如果
W
1
?
?
和
W
2
的值四舍五入到某一位后相等，那么椭圆周长真值四舍五入到这一位的精确值必
是这
两个相等的值。
下界公式
W
1
和上界公式W
2
也可以作为精度更高的椭圆周长公式。从等比公式误差率
定理的证明过程我们
知道：当
?
?0.92
时（离心率
e?0.999
的极扁椭圆），用
上界公式
W
2
更
接近椭圆周长真值；相反当
?
?0.92<
br>时（离心率
e?0.999
的普通椭圆），用下界公式
W
1
更
接近周长真值。
例3．神秘的哈雷彗星一直吸引着不少科学家和天文爱好者。它的公转轨道是
一个离心
率
e?
a?b
a
22
?0.9768
（<
br>a
是半长轴
,b
是短半轴）的椭圆。根据开普勒第三定律和地球
公转的
准确数据，可以推算哈雷彗星的半长轴为
a?2.693?10
12
米，哈雷彗星每7
6.2年便
拖着“美丽的长尾巴”光临一次地球。下面的截图来自一篇百度快照的网络文章《关于哈雷<
br>彗星公转速度的估计》，请用计算器计算并修改其中所有不准确的信息和数据（保留4个有
效数字
）。
解：
a?2.693?10
（
?
?
a?b
a?b
12
（米），
b?2.693?10
12
?1?0.
9768
2
?5.767?10
11
（米）
?0.6472?0.
92,
为普通椭圆，周长公式
L?2
?
?b?4(a?b)
只适合<
br>计算极限状态例如
?
?0
或
?
?1
的椭圆周长，否则
误差较大）
?
16?3
?
2
C?
?
(a?b)<
br>?
?
16?
?
2
?
?
?
?
?
16?3?0.6472
16?0.6472
2
2
?(
26.93?5.767)?3.1416??10
11
?1.138?10
13（米）
V?
1.138?10
13
76.2?365?24?60?6
0
?4736
（米秒）