高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题3.7：导数中繁分式化简问题的研究与拓展

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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专题3.7：导数中繁分式化简问题的研究与拓展
【探究拓展】
2
2
探究1：函数y=x(x>0)的图像在点(
a
k
,a
k)处的切线与x轴交点的横坐标为
a
k+1
,k
为正整数，
a< br>1
=16，则
a
1
+a
3
+a
5
= _________
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项.
2
2
在 点(
a
k
,a
k
)处的切线方程为：
y?a
k?2a
k
(x?a
k
),
当
y?0
时，解得< br>x?
a
k
，
2
所以
a
k?1
?< br>a
k
,a
1
?a
3
?a
5
?16? 4?1?21

2
变式1：设曲线
y?x
n?1
(n?N< br>*
)
在点（1，1）处的切线与
x
轴的交点的横坐标为
xn
，则
log
2012
x
1
?log
2012
x
2
??log
2012
x
2011
的值为 ．-1
x
变式2：在平面直角坐标系
xOy
中，已知点P是函数
f (x)?e(x?0)
的图象上的动点，该图象在P处的
切线
l
交y轴于点M ，过点P作
l
的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是
___________.
【解析】设
P(x
0
,e
0
) ,
则
l:y?e
x
x
0
?e
x
0
(x?x
0
),?M(0,(1?x
0
)e
x
0
)
，过点P作
l
的垂线
y?e
x
0
??e
?x
0
(x?x
0
),?N(0,e
x
0
?x0
e
?x
0
)
，
11
?t?[(1?x0
)e
x
0
?e
x
0
?x
0
e
?x
0
]?e
x
0
?x
0
(e
?x
0
?e
x
0
)

22
1
11
t
?
?(e
x
0
?e
?x
0
)( 1?x
0
)
，所以，t在
(0,1)
上单调增，在
(1,? ?)
单调减，
?x
0
?1,t
max
?(e?)
.
2e
2
信达

--------------------- ----------------------------------------------奋斗没有 终点任何时候都是一个起点
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变式3：设点
P< br>是曲线
y
＝
x
上的一个动点，曲线
y
＝
x< br>在点
P
处的切线为
l
，过点
P
且与
33< br>直线
l
垂直的直线与曲线
y
＝
x
的另一交点为
Q
，则
PQ
的最小值为 ．

2
2

22
变式4：已知曲线
C
：
f(x )?x+
a
(a?0)
，直线
l
：
y?x
，在曲线
C
上有一个动点
P
，
x
1
，则
△OMN
的面积
2
过点
P分别作直线
l
和
y
轴的垂线，垂足分别为
A,B
.再过 点
P
作曲线
C
的切线，分别与直
线
l
和
y
轴相交于点
M,N
，
O
是坐标原点.若
△ABP
的面积为
为___________．
4


探究2：设函数
f(x)?ax?lnx?(a?2)x,(a?R)

（1）当
a?0
时，求函数
f(x)
的单调区间；
（2） 若存在
x?0
,
f(x)?0
,求实数
a
的取值范围
对于第二问的研究：可直接参数分离
2
1
(2?)(x
2
?x)?(lnx?2x)(2x?1)
2x?lnx
x
?
g(x)?
得：
a?
,所以而后对分子
?g(x)
22
2
(x?x)
x?x
提取公因式；
变式1：已知函数
f(x)?alnx?ax?3(a?R,a?0)

（1）求函数
f(x)
的单调区间；
（2）若函数
y?f(x)< br>的图像在点
（2，f(2))
处的切线的斜率为1，且对于任意的
t?
?
1,2
?
，
m
?f
?
(x)]
在区间
?
t,3
?
上总存在极值，求实数
m
的取值范围；
2
p?2e
?3
，若在区间
?
1,e
?
上至少存 在一个 （3）当
a?2
时，设函数
h(x)?(p?2)x?
x
函 数
g(x)?x?x[
32
x
0
,使得
h(x
0< br>)?f(x
0
)
成立，求实数
p
的取值范围.
-2
?
， 在第2问的解决中：注重对含参曲直线问题的定的特征的分析，导函数图象 过定点
?
0，
?
g
?
(t)?0
且开口向上，充要 条件为
?
，根据下一个不等式解得的参数的取值范围易得
?
g(3)?0< br>?
g
?
(t)
max
?g
?
(2)

信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点
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（3）问：分子负项较多，可猜想恒为负值

变式2：设
a?0,b??3,
函数
f(x)?(x?ax?b) e
是函数
f(x)
的一个极值点.
（1）求
a,b
间满足的等式；
（2）证明：对任意的实数
x?< br>?
0,4
?
，
f(x)?g(x)
；
（3）若存在
x
1
,x
2
?
?
0,4
?
，使< br>f(x
1
)?g(x
2
)?1
成立，求实数
a
的取值范围.
提醒注意的一个非定向问题：

探究3：设函数
f(x)?e?1?x?ax

（1）当
a?0
时，求函数
f(x)
的单调区间；
（2） 当
x?0
时，
f(x)?0
，求实数
a
的取值范围. 变式1：设函数
f(x)?ax?
（1）用
a
表示出
b,c；
（2）若
f(x)?lnx
在
?
1,??
?
上恒成立，求
a
的取值范围.
变式2：设函数
f
(
x< br>)＝(
x
＋1)ln(
x
＋1)，若对所有的
x
≥0 ，都有
f
(
x
)≥
ax
成立，则实数
a
的 取值范围为
________________
0，
π
?
都成立， 则
a
2
?a
1
的最小值为 . 变式3：若
a< br>1
x
≤
sinx
≤
a
2
x
对任意的
x?
?
?
?
2
?
?
x2
23?x
，
g(x)?(a?
2
25
x
)e
，且
x ?3

4
b
?c(a?0)
的图像在点
?
1,f( 1)
?
处的切线方程为
y?x?1

x
拓展1：设函数
f
?
x
?
?1?e
．
?x
（1）证明：当
x＞-1
时，
f
?
x
?
?
（2）设当
x?0
时，
f
?
x
??


x
；
x?1
x
，求
a
的取值范围．
ax?1
拓展2：
f(x)
设函数
f(x)?e?e
x?x
.
信达

------------------------------------------ -------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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（1）证明：
f
?
(x)?2
； （2）若对所有
x?0
都有
f(x)?ax
，求
a
的取 值范围.



拓展3：设函数
f(x)?
sinx
．
2?cosx
（1）求
f(x)
的单调区间；
（2）如果对任何< br>x
≥
0
，都有
f(x)
≤
ax
，求
a
的取值范围．


拓展4：设
f(x)?ax?lnx(a?R )
是定义在区间
?
0,e
?
上的函数，其导函数为
f
?
(x)
，且存在实数
x
1
,x
2
?
?
0,e
?
，
x
1
?x
2
,满足
f (x
1
)?f(x
2
)

（1）证明：
f(x)?0
；
（2）设
x
0
?< br>?
x
1
?(1?
?
)x
2
,0?
?
?1
,
f
?
(x
0
)?0
,求实数
?
的取值范围.
参数分离可行，但中间需要对分子进行因式分解（平方差公式的应用）
最后借助洛必达法则完成
洛必达法则简介：
法则1若函数
f
?< br>x
?
和
g
?
x
?
满足下列条件：(1)limf
?
x
?
?0
及
limg
?
x
?
?0
；
x?ax?a
(2)在点
a
的去心邻域 内，
f
?
x
?
与
g
?
x
?
可导且
g'
?
x
?
?0
；
f
?
?
x
?
?l
， (3)
lim
x?a
g
?
?
x
?
那么
lim
x?a< br>f
?
x
?
g
?
x
?
=
li m
x?a
f
?
?
x
?
?l
。
?
g
?
x
?
x??x??
法则2若函数
f
?
x
?
和
g
?
x
?
满足下列条件：(1)< br>limf
?
x
?
?0
及
limg
?
x
?
?0
；
(2)
?A?0
，
f
?
x
?
和
g
?
x
?
在
?
? ?,A
?
与
?
A,??
?
上可导，且
g'
?
x
?
?0
；
信达

--------- -------------------------------------------------- --------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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f
?
?
x
?
(3)
lim?l
， < br>x??
g
?
?
x
?
那么
lim
x? ?
f
?
x
?
g
?
x
?
=
lim
x??
f
?
?
x
?
?l
。
g
?
?
x
?
x?ax?a
法则3若函数
f
?
x
?
和
g
?
x
?
满足下列条件：(1 )
limf
?
x
?
??
及
limg
?x
?
??
；
(2)在点
a
的去心邻域内，
f
?
x
?
和
g
?
x
?
可导且< br>g'
?
x
?
?0
；
(3)
limx?a
f
?
?
x
?
?l
，
?
g
?
x
?
f
?
?
x
?
?l。 那么
lim
=
lim
x?a
g
?
x
?
x?a
g
?
?
x
?
利用洛必达法则求未定式的 极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
1将上面公式中的
x?a,x??
换 成
x???,x???,x?a,x?a
洛必达法则也成立。
○
??
f
?
x
?
0
?
0
?
0
，，0??
，
1
，
?
，
0
，
???
型。
0
?
0
?
0
?
0
3在着手求极限 以前，首先要检查是否满足，，
0??
，
1
，
?
，
0
，
???
型定式，否则滥用
○
0
?
2洛必达法则 可处理
○
洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法 则不适用，应从
另外途径求极限。
4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
○
洛必达法则一般 和分离参数法联用,在求最值的时候,求导计算.此时代入横坐标往往是没有意义的.
此时利用洛必达法 则求最值.
通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:
①可以分离变量：
②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性：
③出现“

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
0
”型式子.
0
信达