力矩做功公式向量正余弦定理基础知识点

2020年10月3日发(作者：邵远平)
第二章 平面向量
1、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度（模）．
零向量：长度为的向量叫零向量,记作：．零向量的方向是任意的
单位向量：长度等于个单位的向量．(与共线的单位向量是)；
平行向量（共线向量）：：方 向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：
∥，规定零向量和任何向量平行。
注意：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两
个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性（因为有)；
④三点共线共线；
相等向量：长度相等且方向相同的向量．相等向量有传递性
相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
下列命题：（1）若， 则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，
终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4） 若是平行四边形，则。（5）若，则。
（6）若，则。其中正确的是_______
（答：（4）（5））
2.向量的表示方法：
（1）几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；
（2）符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
（3）坐标表示：在平面内建立 直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向
量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的 坐标，＝叫做向量
的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相
同 。

3、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．






⑶三角形不等式：．
（几何意义：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
⑷运算性质：①交换律：；
②结合律：；
③．
⑸坐标运算：设，，则．
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4、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被 减向
量．（注意：此处减向量与被减向量的起点相同）

⑵坐标运算：设，，
则．

设、两点的坐标分别为，， 则．



5、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量，记作．

①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；
当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
6、向量共线定理：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线． < br>7、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任意向量 ，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内
所有向量的一组基底
例：（1）若，则_______ （答：）；
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A. B.
C. D. （答：B）；
8、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．
9、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
（2）平面向量 的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做
与的数量积（或内积），记作：，即＝
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不是向量。
（3）平面向量的数量积的性质：设和都是非零向量，其夹角为
则①．
②当与同向时，；当与反向时，；或．
③．
（4）运算律：①；
②；
③．
（5）坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．
（6）向量垂直的充要条件： ．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则
．
10、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。
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11、平移公式：如果点按向量平移至，则；
曲线按向量平移得曲线.
12、重心问题：为的重心；
重心坐标公式：在中，若，则其重心的坐标为。






















正余弦定理
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；
③；
④．
3、三角形面积公式：．
4、余弦定理：在中，有，，
．
5、余弦定理的推论：，，．
6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；
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②若，则；③若，则．
7、射影定理：
8、解三角形常用三角关系式：



9、判断三角形形状的方法：化边为角；化角为边
注：（1）判断一个三角形为等腰三角形时，要进一步讨论它是否可能是等边三角
形或者等腰直角三角形
（2）在中，由不一定有
因为


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