神武装备公式高中数学三角函数半角公式

2020年10月4日发(作者：滕用亨)

三角函数半角公式
复习重点:半角角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

复习难点:半角公式的应用

复习内容:


倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次
公式，即， 进一步得到半角公式:



降次公式在三角变换中应用得十分 广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在
运用时一定要注意正、负号的选取，而是正 是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正
弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出， 这个公式不
存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:

式.

，，这组公式叫做“万能”公
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角
函数公式推出 .
.



例3．化简求值:(1) csc10°-

解:(1) csc10°-

sec10°
sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°


(2) tan20°+cot20°-2sec50°



例4．求:sin
2
20°+cos
2
50°+sin30°sin70°

解:sin
2
20°+cos
2
50°+sin30°sin70°



例5．已知:

.求: cos
4
θ+sin
4
θ的值.
解:∵,
∴ , 即，
.

即 ，∴ cos
4
θ+sin
4
θ


例6．求cos36°·cos72°的值.

解:cos36°·cos72°




例7．求:

的值.
解:




上述两题求解方法一致，都是 连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要
求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（ 2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍
与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可 采用这种方法.

例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求

.
方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴
.

∴ 或，∴ ,
∴

,∴ 或 =2.
方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ， ∴ ,
∴ ,
∴
=2.

或 ,∴ 或
例9．已知:

，求:tanα的值.
解:∵，∴ ，
∵ 0≤α≤π, ∴

,∴
(1)当时, ，
则有,∴， ∴ ， ∴
，
∴
.
.


(2)当，则有 ，
∴

， ∴，∴.
注意:1与sinα在一起时，1往往被看作
用二倍角余弦公式把1去掉.

，而1与cosα在一起时，往往应
例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.

证明:∵

课后练习:

， ∴
∴ 4sin
2
α=1+2sin
2
β ∴ 2-4sin
2
α=2-1-2sin
2
β ∴ 2cos2α=cos2β.
1．若，则（ ）.
A、P

Q B、PQ C、P=Q D、P∩Q=
2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（ ）.
A、

B、 C、 D、
3．若
A、

.
，则sin2θ=（ ）.
B、 C、 D、

4．若，则sinθ=（ ）.
A、

B、 C、 D、-
5．若
A、

B、
，则=（ ）.
C、1 D、-1
6．若

，则cosα=________.
7. 若θ为第二象限角，且

，则=_____.
8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos
2

参考答案:

.
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6. 7. 6


.