球的体积公式和表面积公式拉格朗日插值法总结

2020年10月4日发(作者：屈苣湘)
拉格朗日插值法总结


拉格朗日插值法
2008-05-12 16：44
一、问题的背景
在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[ a,b]上是存在的。
但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点
x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。或者f(x)的函数f(x)表 达
式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，
又便于计 算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法：
已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值
yi=f(xi),(i=0,1,…,n)
求一个简单函数y=P(x),使其满足：
P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：
(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),
同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：
R(x)=f(x)-P(x)
其中P (x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点
的区间[a,b]称 为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次
数不超过n的代数多项式，就称P (x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式
插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P (x)是三角多项式，就称三
角插值。
三、插值方法面临的几个问题
第一个问题： 根据实际问题选择恰当的函数类。本章我们选择代数多项式
类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单 ；微分、积分运算易于实行；(2)根
据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可 以用代数多项式作任意
精确的逼近。
第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(x i)=yi,(i=0,1,…,n)与此
相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有 解,是否唯一?(唯一
性的问题)
第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估 计问题。与此相关的问题是插
值过程的收敛性的问题。
第一节拉格朗日插值公式
一.线性插值(一次插值)
已知函数f(x)在区间[xk,xk+1]的端点上的函数值y k=f(xk),yk+1=f(xk+1),
求一个一次函数y=P1(x)使得yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),其几何意义是已知平面
上两点(xk,yk),(xk+1,yk+1), 求一条直线过该已知两点。
1.插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
把此式按照yk和yk+1写成两项：
记
并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：
从而
P1(x)=yk lk(x)+yk+1 lk+1(x)
此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与y k、yk+1无关，
而由插值结点xk、xk+1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相
应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1.
例1：已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值。
解：f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设
x0=10,x1=20,y0=1,y1=1.3010
则插值基函数为：
于是,拉格朗日型一次插值多项式为：
故：
即lg12由lg10和lg20两个 值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确
值lg12=1.0792).
二.二次插值多项式
已知函数y=f(x)在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk- 1=f(xk-
1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个次数不超过二次的多项式 P2(x),使其满足,
P2(xk-1)=yk-1,P2(xk)=yk,P2(xk+1)=yk+1.
其几何意义为：已知平面上的三个点
(xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),
求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。
1.插值基本多项式
有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式，要求满足：
(1)基本多项式为二次多项式；(2)它们的函数值满足下表：
因为lk-1(xk)=0 ,lk-1(xk+1)=0,故有因子(x-xk)(x-xk+1),而其已经是一
个二次多项式, 仅相差一个常数倍,可设
lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),
又因为
lk-1(xk-1)=1==a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)=1
得
从而
同理得
基本二次多项式见右上图(点击按钮显示Li。
2.拉格朗日型二次插值多项式
由前述,拉格朗日型二次插值多项式：
P2(x)=yk-1 lk-1(x)+yk lk(x)+yk+1 lk+1(x),P2(x)
是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且
满足：
P2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1)。
例2已知：
xi 10 15 20 yi=lgxi 11.1761 1.3010
利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。
解：设x0=10,x1=15,x2=20,则：
故：
所以
7利用三 个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具
有3位有效数字,精度 提高了。
三、拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为
y0,y1,…,yn,求一个次数不超过n的多项式Pn(x),使其满足：
Pn(xi)=yi,(i=0,1,…,n),
即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
1.插值基函数
过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
l0(x),l1(x),…,ln(X)
每个插值基本多项式li(x)满足：
(1)li(x)是n次多项式；
(2)li(xi)=1,而在其它n个li(xk)=0,(k≠i)。
由于li(xk)=0,(k≠i),故有因子：
(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)
因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令：
li(x)=a(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)
由li(xi)=1,可以定出a,进而得到：
2.n次拉格朗日型插值多项式Pn(x)
Pn(x)是n+1个n次插值基本多项式l0(x),l1(x),…,ln(X)的线性组合,相< br>应的组合系数是y0,y1,…,yn。即：
Pn(x)=y0 l0(x)+y1 l1(x)+…+yn ln(x),
从而Pn(x)是一个次数不超过n的多项式,且满足
Pn(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n).
例3求过点(2,0),(4,3), (6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解用4次插值多项式对5个点插值。
所以
四、拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在[a,b]上用多项式Pn(x)来近似代替函数f(x),其截断误差记作
Rn(x)=f(x)-Pn(x)
当x在插值结点xi上时Rn(xi)=f(xi)-P n(xi)=0,下面来估计截断误差：
定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n)=f(n)(x)在[a,b]上连续，
y(n+1)=f(n+1)(x)
在(a,b)上存在；插值结点为：
a≤x0 x1…xn≤b,
Pn(x)是n次拉格朗日插值多项式；则对任意x∈[a,b]有：
其中ξ∈(a,b),ξ依赖于x：ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)
证明：由插值多项式的要求：
Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0，(i=0,1,2,…,n)；
设
Rn(x)=K(x)(x-x0)(x-x1)…(x-xn)=K(x)ωn+1(x)
其中K(x)是待定系数；固定x∈[a,b]且x≠xk，k=0,1,2,…,n；作函数
H(t)=f(t)-Pn(t)-K(x)(t-x0)(t-x1)…(t-xn)
则H (xk)=0，(k=0,1,2,…,n),且H(x)=f(x)-Pn(x)-Rn(x)=0,所以，
H(t)在[a,b]上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理：存在ξ∈(a,b),
使；因Pn(x)是n次多项式，故P(n+1)(ξ)=0,而
ωn+1(t)=(t-x0)(t-x1)…(t-xn)
是首项系数为1的n+1次多项式，故有
于是
H(n+1)(ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)！K(x)
得：
所以
设,则：
易知，线性插值的截断误差为：
二次插值的截断误差为：
下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算lg12的截断误差：
在例1中，用lg10和lg20计算lg12,
P1(12)=1.0602,lg12=1.0792 e=|1.0792-1.0602|=0.0190；
估计误差：f(x)=lgx,
,当x∈[10,20]时,
在例2中，用lg10,lg15和lg20计算lg12.
P2(12)=1.0766,
e=|1.0792-1.0766|=0.0026
估计误差：
对应的C++程序：
#include iostream using namespace std；
double func(double X,int k,double x,int n)；
int main()
{
double Sn=0；
int n；
cout请输入点的个数n：；
cin n；
double*x=(double*)malloc(n*sizeof(double))；
double*y=(double*)malloc(n*sizeof(double))；
double X；
int i；
for(i=0；i n；i++)
{
cout请输入x：；
cin x[i]y[i]；
}
cout请输入x；
cin X；
for(i=0；i n；i++)
{
Sn=Sn+func(X,i,x,n)*y[i]；
}
cout通过拉格朗日插值公式所得的结果：当x=时，y=；
return 0；
}
double func(double X,int k,double x,int n)
{
int i；
double Pn=1；
double p；
for(i=0；i n；i++)
{
if(i==k)continue；
else p=(X-x[i])(x[k]-x[i])；
Pn=Pn*p；
}
return Pn；
}