完全平方公式的应用齐明点与齐明透镜

2020年10月5日发(作者：瞿智)

阿贝正弦条件与齐明点
也称阿贝正弦律成像原理是德国物理学家恩斯特·阿贝在1 873年发表的光学镜头设计的重
要成像关系式。
阿贝首先得出阿贝公式：

其中 N 是 球形曲面物场介质的折射率。
N' 是球形曲面像场介质的折射率
U 是入射光线和光轴的夹角.
U' 是出射光线和光轴的夹角
h 是物体的高度。
h' 是成像的高度。

当 U 和 U' 角度小的时候, 上列阿贝公式简化为:

这公式早先已被意大利数学家拉格朗日发现,称为拉格朗日公式。
阿贝公式中的放大率是

拉格朗日公式中放大率是


在一般情况下 M
A
≠ M
L
,也就是说从镜头边缘折射的大角度光线
和从镜头中心折射的
小角
度光线
有不同的放大率。
但是恩斯特·阿贝推论:如果镜头的球面像差和彗形像差得到完全得修正，这两个放大率应当
相等:

由此得出著名的阿贝正弦条件：

阿贝利用阿贝正弦条件这个理论结果配 合肖特玻璃厂的新型玻璃为卡尔·蔡司制造出当时最
高质量的显微镜.
齐明透镜
以 两个折射曲面为边界的透明体称为透镜，通常多以光学玻璃为原材料，磨
制成形后将折射面抛光而成。两 个折射面中可以有一个平面，但两个折射面都是
平面者不能称为透镜。透镜由于两个表面的折射，具有对 光束的会聚或发散作用，
能在任何要求位置形成物体的像。因此是光学成像系统和照明系统中不可缺少的
光学零件。单独一片透镜往往不能满足校正像差的要求；在光学仪器设计过程中
经常用几片透镜 构成组合体，从校正像差的需要出发，确定各透镜的结构参量，
使整个组合体既满足成像和使用要求，又 达到指定的相对孔径、视场角等光学性
能。
与理想成像系统不同的是，实际光学系统只有在近 轴区才具有与理想光学系
统相同的性质，及只有在孔径和视场非常小的情况下才能成完善像。实际系统的
孔径和视场都有一定的大小，并且光学系统的功能和使用价值恰恰又与相对孔径
和视场这两个因 素密切相关，因此，实际系统不可能对物体成完善像。
在几何像差中，如果只讨论单色光成像，光学系 统会产生5种性质不同的像
差，它们分别是球差、慧差、像散、场曲和畸变，统称为单色像差。在共轴球 面
系统中，轴上点和轴外点有不同的像差，轴上点因处于轴对称位置，具有最简单
的像差形式。 当轴上物点的物距L确定，并以宽光束孔径成像时，其像方截距随
孔径角U（或孔径高度h）的变化而变 化，因此轴上物点发出的具有一定孔径的
同心光束，经光学系统成像后不复为同心光束，
但是 ，在透镜的某些特殊点出可以消除像差和彗差。物体在折射面球心时，
不产生球差和彗差。物体在不晕点 时，不产生球差，彗差，像散，不产生三种像
差时称为“不晕”或“齐明”。如果轴上一对共轭点消球差 ，且满足即阿贝正弦条件,
则在该轴上物点垂轴方向上的近轴物点也完善成像 (即既无球差，又无彗差)。这
样的共轭点称为齐明点或不晕点
对于单个折射球面，可以证明 ，有三个固定物体位置上面可以不产生轴上点
球差。这三个位置是:
（1）
物点位 于球面的球心处，即
L=r
。
此时物点发出的所有光线将沿球面的
法线方向入 射，入射角
I=0
.根据折射定律，折射角
I’
也为
0.
光 线无偏折
的通过球面，像点也将位于球心处，即
L’=r
，
如图
1- 1
所示
。
-U
C
A,A’


图
1-1


（2）
物点位于球面顶点，即
L= 0.
此时不论
U
角如何
，
所有入射光线射向此
点，经折射后 也都将经过此点离开，即像点也位于顶点，
L’=0
，
如图
2-1
所 示。

n’(>n)
n
U
A
A’
O

图
2-1

（3）
物点位于
L=r
处。此时对于 任意孔径角，有
I’=U
公式
（3-1）~（3-2
）
(3-1)
L’=r（1+） (3-2)
或者
I=U’
,
根据以下< br>计算得出，像点将位于
L’=r
处
，
与孔径角无关，如图
3- 1
所示。

-I’
A
A’
-U
C
n
n＇(
图
3-1

（4）
上述不产生球差的物点位置，称为齐明点，结合< br>（1）
和
（3）
的两个齐
I
明点位置可以构成无球差的齐明透 镜。图
4-1
所示分别为正齐明透镜和负
齐明透镜：
A’
A,C< br>1
C
2
C
2
A’
C
1
，A

图
4-1

以正齐明透镜为例，物点位于第一面球心，满足上述第一种不产生 球差的条件，
经第一面所成的像相对于第二面又恰好满足上述第三种不产生球差的条件。物体
经 过齐明透镜成像不产生球差，而且由于透镜的折射作用使出射光束的孔径角变
小，使后续系统的球差校正 变得容易。在打孔径的显微物镜设计中常增加一块这
样的齐明透镜，既可以满足整个物镜系统的大孔径需 要，又有利于相差校正。