导数公式图奥数-行程问题的基本公式

2020年10月5日发(作者：尤世求)
行程问题的基本公式
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝
时间
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、
时间、行程三者之间的关系。
关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船
速－水速）×逆水时间
顺水速度＝船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
仅供参考：
【和差问题公式】
（和+差）÷2=较大数；
（和-差）÷2=较小数。
【和倍问题公式】
和÷（倍数+1）=一倍数；
一倍数×倍数=另一数，
或 和-一倍数=另一数。
【差倍问题公式】
差÷（倍数-1）=较小数；
较小数×倍数=较大数，
或 较小数+差=较大数。
【平均数问题公式】
总数量÷总份数=平均数。
【一般行程问题公式】

1
平均速度×时间=路程；
路程÷时间=平均速度；
路程÷平均速度=时间。
【反向行程问题公式】
反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）< br>和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式
解答：
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；
相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；
相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
【同向行程问题公式】
追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；
追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；
（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
【列车过桥问题公式】
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；
速度×过桥时间=桥、车长度之和。
【行船问题公式】
（1）一般公式：
静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；
船速-水速=逆水速度；
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。
（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）
速度。
（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答
题目）。

2
解决基本行程问题注意两点
我们每天都在行走，行走就离不开速度、时间、路程 这三个量，
这类问题就称为行程问题．相遇问题和追及问题就是行程问题中的两
种类型．在解答 行程问题时，要注意所走的方向、是否同时行驶、是
否相遇等问题，一般要采用直观画图法帮助理解题意 、分析题目中的
数量关系，最终找到解题思路．
解答行程问题时必须注意：
⑴要弄清题意：对具体问题要做仔细分析，必要时作一条线段图
帮助理解
⑵要弄清距离、速度和、时间之间的关系，紧扣数量关系式

在小学阶段关于行程的 应用题是作为一种专项应用题出现的，简称
“行程问题”。有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即 两次相遇）
的情况，较难理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也
十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相
遇，相遇后两车 继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按
原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、 B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个
全程，第一次相遇距A地80千米，说 明行完一个全程时，甲行了8O
千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相
3
遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了
一 个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：
240－60＝180（千米）
例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相
遇，相遇后两车 继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按
原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、 B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：

由图中可知， 甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个
全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全 程时，甲行了8O
千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相
遇时甲车 共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际
行了两个全程少60千米，所以A、B 两地间的路程就是：
（24O＋6O）÷2＝150（千米）
可见，解答 两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个
全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全 程的关系即可解答
出来。






4
例1 一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙
跑步，平 均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分
钟两人相遇?
分析 当甲、乙 同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲
又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为4 00米，而
甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。
例2 一支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每
秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队 尾，一共要用多少分
钟？
分析 要求一共要多少分钟，必须先求出从队尾赶到队头要多 少
分钟，再求出从队头到队尾要用多少分钟，把这两个时间相加即可。
例3 某校202 名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，
前后相邻两个人之间的距离为0.5米。李老师从队尾 骑自行车以每秒
5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？
分析 要求一共要用多少分钟，首先必须求出队伍的长度，然后
可以参照例2解题。
例4 甲、 乙、丙三人都从A地出发到B地。乙比丙晚出发10
分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟， 100分钟追上乙；
甲出发多少分钟后追上丙？
设丙的速度为1米分钟. (1)当乙追 上丙时，丙共行了1×（40+10）
=50米，由此可知乙行50米用了40分钟，乙的速度为50÷ 40=1.25
（米分钟）； (2)当甲追乙时，乙已经先出发走了20分钟，这时甲乙
的距 离差为1.25×20=25（米），甲乙的速度差为25÷100=0.25（米）;
甲的速度为1.25+0.25=1.5（米）; (3) 当甲追丙时，丙已经先出发走
了1 0+20=30分钟，这时甲丙的距离差为1×(10+20)=30米，速度差
为1.5-1=0.5 （米分钟），追及时间为30÷0.5=60(分钟)。


【赛题练习】
1、小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离
甲地40千米处第一次相遇 。相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在

5
各自到达对方出发点后立即沿原路返回 ，途中两人在距乙地15千米
处第二次相遇，甲乙两地相距多少千米？
2、甲乙两站相距 360千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙
站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。客 车到达乙站
后停留0.5小时，又以原速返回甲站，两车相遇地点离乙站多少千米？
3、 小张、小王两位运动员进行竞走训练，小张从甲地、小王从
乙地两人同时出发，在两地之间往返行走（到 达另一地后就马上返回）。
在离甲地3.5千米处他们第一次相遇，又在小张离开乙地3千米处第
二次相遇。这样继续下去，当他们第四次相遇时，距甲地多少千米？


练习题一：
1、小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息
5 分钟．已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3
时50分，那么下山用了多少时间？
2、一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6时，逆流需
要8时，水流速度为2.5 千米时，求轮船在静水中的速度。
3、已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车 从
开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80
秒．求火车的速度和长 度．
4、小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．若往返
都步行，则全程需要 70分钟．求往返都骑车需要多少时间？
5、汽车以72千米时的速度从甲地到乙地，到达后立即 以48
千米时的速度返回甲地．求该车的平均速度．
6、两地相距480千米，一艘轮船在其间航行，顺流需16时，
逆流需20时，求水流的速度．
7、某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米时的速度步
行，后来有辆速度为18千 米时的拖拉机把他送到了农场，总共用了
5.5时．问：他步行了多远？

练习题二：

6
1、在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯 。小强想逆
行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过100级台阶后
到达站台；如果 每秒向下迈三级台阶，那么走过75级台阶到达站台。
自动扶梯有多少级台阶？
2、有两 个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，
第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学 生开始步行；车到途
中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直
接开往 少年宫，学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时
40公里，空车时车速为每小时50公里． 问：要使两班学生同时到达
少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几？(学生上下车时间不计)
3、一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速
度是步行人速度的3倍，每 隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每
隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站 每次
间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？
4、从电车总站每隔 一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条
街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟 遇上一
辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面
开来的一辆电车。 那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？
5、甲步行上楼梯的速度是乙的2倍，一层到二层有一 上行滚梯
(自动扶梯)正在运行。二人从滚梯步行上楼，结果甲步行了10级到
达楼上，乙步行 了6级到达楼上。这个滚梯共有多少级？

7