已知面积求边长的公式杆的扭转定理和公式

2020年10月5日发(作者：贺培真)
圆截面杆的扭转

外力与内力 || 圆杆扭转切应力与强度条件 || 圆杆扭转变形与刚度条件 || 圆杆的非弹性扭转

1.外力与内力

杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2·2-1a）.其变形特点是在任意两个
截面绕轴线发生相对转动。轴类构件常有扭转变形发生。作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(rmin)来计算。

当N的单位为千瓦（kW）时

当N的单位为马力（HP）时

扭转时的内力为扭矩T.用截面法求得。画出的内力图 称为扭矩图（或T图）.如图2·2-1b所示

图2·2-1 圆杆的扭转

2.圆杆扭转切应力与强度条件

当应力不超过材料的剪切比例极限r
p
时.某横截面上任意C点（图2·2-2）的切应力公式为

式中T——C 点所在横截面上的扭矩

p——C点至圆心的距离

L
p
——横截面对圆心的极惯性矩.见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。

. .
图2·2-2 切应力分布

圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布.其方向垂直于半径（图2·3-2） 。模截面上的最大切应力在圆周
各点上.其计算公式为

等截面杆的最大切应力发生在 T
max
截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。其强度条件为

式中.[τ]为许用扭转切应力.与许用拉应力[σ]的关系为：[τ]=（0.5～0.6）[σ] (塑性材料)或[τ]=（0.5～
0.6）[σ]（脆性材料）

3.圆杆扭转变形与刚度条件

在比弹性范围内.圆杆在扭矩T作用下.相中为L的两截面间相对扭转角为

或

式中G——材料的切变模量

单位扭转角公式为

或

式中GL
p
——抗扭刚度

圆杆上与杆轴距离为p外（图2·2-2）的切应变r为

圆杆表面处的最大切应变为

. .
式中,r——圆杆的半径

等截面圆杆的最大单位扭转角.发生在T
max
一段内.其刚度条件为

式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角（°）m

4.圆杆的非弹性扭转

讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。对于加工硬化材料.如果材 料的
应力-应变图为已知（图2·3-3a）.则杆中任一点处的切应力r就可以确定。位于横截面边缘 处应变为r
max
.
其相应的切应力r
max
可以从应力- 应变图求得。整个横截面上切应力的（图2·3-3b）与应力-应变图的形状相
同。

使圆杆产生单位扭转角所必需的扭矩T.可根据静力学方程求得（见图2·2-3b）为

图2·2-3 圆杆的非弹性扭转

将式(2-2-10)代入式(2-2-13)得

式中 R
max
=rθ

根据式（2·2-14）.可以得到T与θ的关系曲线.根 据该曲线.可以确定对给定T值的θ和T
max
。

如果圆杆的材料具有明显的屈服极限r
s
.则可使应力-应变图理想化.如图2·2-4a所示 .此材料弹塑性
材料。此时.只要杆中最大应变小于r
s
时.杆就属于弹性的。当横截面边缘处的应变超过r
s
时.横截面上的应
力分布如图 2·2-4b所示.此图表明屈服开始于边缘.当应变增大时.屈服区例向里边发展。如果材料的屈服极
限为r
s
.弹塑性边界为P
S
=C 时.则扭矩为

. .
图2·2-4 理想弹塑性材料杆的扭转

式中d——圆杆的直径

当整个横截面都面到屈服时.其应力将接近均匀分布.如图2·3-4c所示.相应的扭矩为杆 的塑性极限
扭矩.其值为

当扭矩达到此值时.扭矩不再增加而杆将继续变形

杆中最初开始屈服时的弹性极限扭矩T
s
.由式（2·2-3）得

比较式（2-2-16）和式（2-2-17）.可得塑性极限扭矩与弹性极限扭矩之比为

由此可知.杆中开始屈服后.只要扭矩增大三分之一.就将使杆达到极限承载能力。

非圆截面杆的抟转与薄膜比拟
等直杆扭转时的应力与变形 || 薄膜比拟 || 非弹性扭转杆
非圆截面杆扭转时.其横截面将产生曲。横截面可以自由翘曲的扭转.称为自由 扭转。此时.由于各截
面的翘曲程度相同.故横截面收只在切而没有正奕力。例如.图2·2-5所示的 工钢薄壁杆件.在两端作用一对
. .
扭转偶矩.杆的两个翼缘将相对转动.但翼缘的轴线仍为直线.不发生弯曲变形.也不产生正。
图2·2-5 自由扭转
若由于约束或受力条件的限制.造成杆件各截面的翘曲程 度不同时.则横截面上除有切应力外还有正
应力。这种情况称为约束扭转。例如.图2·2-6a.所示 的工字钢杆.一端固定.另一端作用扭转力偶矩。在固定
端截面为平面.不能翘曲.但它限制了相邻截面 的翘曲 .离固定越远.翘曲受到的限制也越小.到自由端变成了
可以自由翘曲。由于相邻两截面的翘曲 不同.则引起这两个截面间纵向纤维长度的改变.于是横截面上产生正
应力。又如图2·2-6b抽示两 端简支工字钢杆.在跨度中点截面上作用一个扭转力偶矩。两端铰支座不允许端
截面绕杆轴旋转.但可自 由翘曲。由于对称.跨度中点截面应保持为平面.离中点截面越远.翘曲越大。对于象
工字钢、槽钢等薄 壁杆件.在约束扭转时.横截面上的正应力往往很大刚愎自用厍以考虑。但对于一些袂体杆
件.如截面为 矩形、椭圆形等杆件.因约束扭转而引起的正应力数值很小.可忽略不计。
图2·2-6 约束扭转
1.等直杆扭转时的应力与变形
具有任意形状的无限长等截面直杆.在绕扭转时.在与Z轴正交的截面上.要产生切应力rxz 和 rxz
（图2·2-7）。为了确定应力和变形.设应力函数φ （X.Y）.使其满足下列各式.即
φs=C1（对单联域截面.可取C1＝0）
式中 C、C1——常数
φs——沿截面周边上的φ值
AI——多联域时各孔的面积.单联域时.AI=0
切应力和应力函数的关系为
. .
等直杆扭转时最大切应力为
单位长度扭转角为
式中.Jk 、 Wk为截面抗几何特性.见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。
图2·2-7 等值杆的扭转
对于任意实体截面（参见表2-2-2 任意实心截面的Jk公式）.最大切应 力位于或非常接近于最大内切
圆与边界的切点之一（除非在边界的其他点上有引起很高局部应力的尖锐凹 角）.以及位于边界曲率代数值为
最小的点上。对于凸面 .边界曲率为正：对于凹面.边界曲率为负（图2·2-8）。最大切应力可近似地用下式
计算.即
图2·2-8 任意实体截面
式中的C分下列两种情形求得：
(1)在曲率为正（截面边界是直或凸的）的点上
. .
式中 D——最大内切圆直径
r——该点上的边界曲率半径（此时为正）
A——截面面积
(2)在曲率为负（截面边界是凹的）的点上
式 中.ψ为边界切线绕过凹部时所转过的角度.（见图2-2-8）.其单位为弧度（这里的r为负）而D、r和A
的含义同前。
一些任意实体截面的Jh值.见表2-2-2 任意实心截面的Jk公式
2.薄膜比拟
应用薄膜理论与弹性扭转理论的数学相似性.通过实验确定扭转切应力 是比较方便的。用一块均匀薄
膜.张在与截面相似的边界上.然后从薄膜的一侧施加微小的气体压力.使 薄膜鼓成曲面.如图2-2-9所示。该
曲面与扭转切应力等有着下述关系.即
图2-2-9 薄膜比拟
(1)薄膜曲面上任一点的斜率.与截面相应点的扭转切应力的大小成正比。
(2)曲面的等高线即这切应力线
(3)薄腊鼓起的体积的两倍相当于扭矩。
由薄膜比拟可知.一般情况下切应力分布有的规律为
(1)实心轴最大扭转切应力.必发生在外周边上.且在最大内切圆切点或其附近.或有凹角处。
(2)内外周边上的切应力都是沿周边切线方向作用。
(3)在凸角的顶点上切应力为零。
. .
3.非弹性扭转杆
当杆的一部分材料的应力超过弹性极限而产生塑性变形时.即在弹 塑性变形情况下.如仍引用与前一
节情况相同应力函数 .则对于非硬化材料.在塑性区域要满足。
由上式可知.在塑性区域内.φ曲面斜率为一常数。在弹塑性区的交界处.φ 是连续的。
当达到极限状态即发生全面塑性变形时.则可由截面边界上筑起具有等倾角为rs 的“屋顶”（自然倾
斜表面即砂堆比拟法）。由该“屋顶”与底面所围成的体积即等于塑性极限扭矩的一半。
例如.图2-2-10所示边长这2a的方形截面.其应力函数是高为ars 的角锥体。当发生全面塑 性变形时.其极限
扭矩的一半等于角锥体的体积.其大小等于底面积乘以高度的13。因此可得
图2-2-10 方形截面的全塑性应力函数曲面
表2-2-3 常用截面的θs、Ts、 Tp和TpTs列出了几种常用的塑性极限扭矩.并与弹性极限扭矩进行比较。由
表看出.若使屈服扩展 至整个截面.则杆件的承 载能力将大大提高。
表2-2-4 常用组合截面的Tp列出了某些常用组 合截面的塑性极限扭矩近似公式。表中末列出弹性极限据矩.
是因为凹角处很高的应力集中系数对初始屈 服有影响。
计算空心截面扭杆的塑性极限扭矩时.对于等壁厚的空心扭杆.其极限据矩Tp等于具有外 截面边界的实心扭杆
的极限扭矩Tps 减去与空心内截面的实心扭杆的极限扭矩 MpH 即
薄壁截面杆的自由扭转
开口截面 || 闭口截面 || 多闭室闭口截面
１.开口截面
薄壁截面可分为开口截面和闭口截面。轧制的型钢或挤压成形的型材.如工字钢 、槽钢、角钢或T形、
Z形等为“开口”截。这种截面可看成是由一些等宽度的狭矩形组成。狭矩形可能是直的或是弯的.如图2-2- 11
所示。在对一个弯的开口狭矩形截面杆的自由扭转进行应力和变形计算时.可用同宽同长的直的狭矩 形截面杆
来代替。
. .
图2-2-11 开口截面
单位长度扭有角的变化为
式中 T——扭矩
G——切变模量
Jk——自由扭转的截面抗几何特性
其中 a——截面形状修正系数.见表2-2-5
ti——每个狭矩形的厚度或平均厚度
di——每个狭矩形的长度
表2-2-5 截面形状系数α的平均值
截面形状系数

α

工字钢

1.20

槽钢

1.12

角钢

1.10

T型钢

1.15

Z型钢

1.14

每个狭矩形长边中点附近的切应力
最大切应力
式中.tmax为最大厚度。
. .
2.闭口截面
闭口截面可分为单闭室和多闭室截面。薄壁管和空心矩形截面杆等属于单闭室截面。它们在自由 扭转
时.单位长度扭转角的变化为
应力或剪流公式为
由式(2-2-27)和式(2-2-28)的
3.多闭室闭口截面
如由N个闭室构成的一个闭口截面扭杆.设各闭室的剪流分别为qⅠ 、qⅡ……、qN。这时.隔板上的
剪流应分别为qⅠ -qⅡ(向上) 、qⅡ-qⅢ（向上）、…… 。可建立（N+1）个方程组.解出（N+1）个末知数:qⅠ、
qⅡ……qN 和dθdz 。其中N个方程是由各闭室的单位长度扭转角公式（2-2-30）得出.另一个方程由平衡
条件
图2-2-12 闭口截面
. .
得出。


. .