工资所得税计算公式小学数学中的行程问题

2020年10月5日发(作者：仲文卿)
小学数学中的行程问题
【基本公式】
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、
行程三者之间的关系。
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度
＝时间
关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝
（船速－水速）×逆水时间
顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水 速＝（顺水速度－
逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
【一般行程问题公式】
平均速度×时间=路程；
路程÷时间=平均速度；
路程÷平均速度=时间。
【反向行程问题公式】
反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向 而
行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面
的公式解答：
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；
相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；
相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
【同向行程问题公式】
追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；
追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；
（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
【列车过桥问题公式】
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；
速度×过桥时间=桥、车长度之和。
【行船问题公式】
（1）一般公式：
静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；
船速-水速=逆水速度；
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。
（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）
速度。
（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答
题目）。
【例题精讲】 例1、小王骑车到城里开会，以每小时12千米的速度行驶，2小时可
以到达。车行了15分钟后， 发现忘记带文件，以原速返回原地，这
时他每小时行多少千米才能按时到达？
解答：
要求小王返回原地后到城里的速度，就必须知道从家到城里的路程和
剩下的时间。根据题意，这两个条 件都可以求出。
15分钟=小时
从家到城里的路程：12×2=24（千米）
返回后还剩的时间：2-×2=1（小时）
返回后去城里的速度:24÷1=16（千米时）
答：他每小时行16千米才能按时到达。
2．相遇问题
距离=速度和×相遇时间；
相遇时间=距离÷速度和；
速度和=距离÷相遇时间。
例2、如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平 路，从
C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米
小时，平路速度都 是4千米小时，上坡速度都是2千米小时。

问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间
后他们相遇？
（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人
离终点还有多少千米？
解答：
（1）小张从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；
小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；
当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），
走了4×＝1（千米）。
因此在 B与 C之间平路上留下 3-1＝ 2（千米）
由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是：2 ÷（4
＋ 4）×60＝ 15（分钟）。
从出发到相遇的时间是25＋15＝ 40（分钟）。
（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需
要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点。
小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走：2×
小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）
答：40分钟后小张和小王相遇。小王到达终点时，小张离终点
＝1.5（千米）
还有1千米。
3．追及问题
追及距离=速度差×追及时间；
追及时间=追及距离÷速度差；
速度差=追及距离÷追及时间。
例3、小轿车的速度比 面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车
同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早1 0分钟到
达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城
门的距离是多少千 米？
解答：
先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间。
此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度
差是6千米小时，
因此所用时间=9÷6＝1.5（小时）
小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离
城门9千米，
说明小轿车的速度是9÷＝54（千米小时）
面包车速度是 54-6＝48（千米小时）。
城门离学校的距离是48×1.5＝72（千米）。
答：学校到城门的距离是72千米。
4．火车过桥问题
我们在研究一般的行程问题时，是不 考虑汽车等物体的本身长度的，
因为这类物体的长度很小，可以忽略不计。可是如果研究火车行程问题，因为车身有一定的长度，一般一百多米，就不能忽略不计了。火
车行程问题中的距离，一般是要 考虑火车长度的。火车通过一个固定
的点所用的时间就是火车行驶车身长度所需要的时间。
（火车长度+桥的长度）÷通过时间=火车速度
例4、一条隧道长360米，某列火车从车头入洞到全 车进洞用了8秒
钟，从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟。这列火车长多少米？
解答：
分析画出示意图：

如图，火车8秒钟行的路程是火车的全长，20秒钟行的路 程是隧道
长加火车长。因此，火车行隧道长360米，所用的时间是20-8=12秒
钟，即可 求出火车的速度。
火车的速度是360÷（20-8）=30（米秒）。
火车长30×8=240（米）。
答：这列火车长240米。
5．火车相遇、追及问题
错车时间=（甲车身长+乙车身长）÷（甲车速度+乙车速度）
超车时间=（甲车身长+乙车身长）÷（甲车速度-乙车速度）
例5、客车长182米，每秒行36米 。货车长148米，每秒行30米。
两车在平行的轨道上相向而行。从相遇到错车而过需多少时间?
解答：
两列火车相向而行，从车头相遇一直到车尾离开，迎面错车而过，两
列火车所 行的路程是两列火车车身长度之和，速度是两列火车的速度
之和，时间是：(182+148)÷(36 +30)=5(秒)
答：从相遇到错车而过需5秒。
6．环形行程问题
封闭环形上的相遇问题：环形周长÷速度和=相遇时间
封闭环形上的追及问题：环形周长÷速度差=追及时间
例6、小张和小王各以一定速度，在周长为50 0米的环形跑道上跑步。
小王的速度是180米分。
（1）小张和小王同时从同一地点出发， 反向跑步，75秒后两人第一
次相遇，小张的速度是多少米分？
（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈
后才能第一次追上小王？
解答：
（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程。75秒=1.25分。
小张的速度是500÷1.25-180=220（米分）。
（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈
（一个周长），
因此需要的时间是500÷（220-180）＝12.5（分）。
220×12.5÷500＝5.5（圈）。
答：（1）小张的速度是220米分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小
王。
7．流水行船问题
流水行船问题比一般的行程问题多了一个水流的影响，因此它有
一些特殊的数量关系：
顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速；
水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度- 水速；
水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速；
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，水速=（顺水速度-逆水速度）
÷2。
例7、甲、乙两 港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺
水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到 达，求船在静水中
的速度和水流速度。
解答：
顺水速度：208÷8=26（千米小时）
逆水速度：208÷13=16（千米小时）
船速：（26+16）÷2=21（千米小时）
水速：（26—16）÷2=5（千米小时）
答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。
8．重复相遇问题 例8、两列火车从A城、B城相向而行，第一次相遇在离A地500公
里处，相遇后，两列车继续前 进，各自到达目的地后，又折回。第二
次相遇在离B城300公里处，问A城、B城相距多远？
解答：
如图，两列火车从出发到第二次相遇一共行了三个全程，分别为：第
一列火车 从A城到B城；第二列火车从B城到A城；第二列火车从A
城出发与从B城出发的第一列火车在途中相遇 。而这三个全程还可以
从另外一个角度考察，第一列火车行500公里时，两列火车共行了一
个 全程，相遇后，两车速度依然不变，所以第一列火车行驶第二个
500公里时，两列火车同样又共行了一 个全程；当第一列火车行了第
三个500公里，即第一列火车行驶500×3=1500公里时，两列火 车正
好共行了三个全程，而这时，两列火车第二次相遇，由图观察可得，
这时第一列火车又折回 了300公里，即第一列火车行驶的1500公里
比全程多了300公里，于是，全程即为3×500－ 300=1200公里。3×500
－300=1200。
答：A城、B城相距1200公里。
习题：
1．小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王 骑自行车从乙地到甲地
需要12分钟。他们同时出发，几分钟后两人相遇？
解答：
走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3
（倍），因此自行车的速 度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时
间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍。如果把 甲地乙
地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张
花费的时间是36÷ （3＋1）＝9（分钟）。
答：两人在9分钟后相遇。
2．小张从家到公园，原打算每分种 走50米。为了提早10分钟到，
他把速度加快，每分钟走75米。问家到公园多远？
解答：
方法1：可以作为“追及问题”处理。
假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米分钟速
度去追赶，
追上所需时间是50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）
因此，小张走的距离是75× 20＝ 1500（米）。
答：从家到公园的距离是1500米。
方法2：
小张加快速度后，每走1米，可节约时间（
因此家到公园的距离是10÷（－
－）分钟，
）＝1500（米）。
3． 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶。如
果速度是30千米小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米
小时，要 40分钟才能追上。问自行车的速度是多少？
解答：
解法1：
自行车1小时走了30×1-已超前距离，
自行车40分钟走了35×-已超前距离，
自行车多走20分钟，走了30－35×
因此，自行车的速度是：（30－35×
＝90－70＝20（千米小时）。
答：自行车速度是20千米小时。
方法2：
因为追上所需时间=追上距离÷速度差
。
）÷＝（30－）×3
1小时与40分钟是3∶2。所以两者的速度差之比是2∶3.请看
下面示意图：

马上可看出前一速度差是15。自行车速度是：35- 15＝ 20（千
米小时）。 < br>4．上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩
托车去追他，在离家4千米的 地方追上了他。然后爸爸立即回家，到
家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米 ，
这时是几点几分？
解答：
画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4
＝4（千米）。
而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）。
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4
＝3（倍）。
按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千
米）。
但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）。少
骑行24-16＝8（千米）。
摩托车的速度是1千米分，爸爸骑行16千米需要16分钟。8
＋8＋16＝32。
答：这时是8点32分。
5．小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地 ，每
小时步行4千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米
的地方相遇，求甲、乙 两地间的距离。
解答：
画一张示意图

离中点1千米的地方是A点，从 图上可以看出，小张走了两地距离的
一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米。从出发到相遇，
小张比小王多走了2千米。小张比小王每小时多走（5-4）千米，从
出发到相遇所用的时间是 2÷（5-4）＝2（小时）
因此，甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）。
6．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇
于C点。如果甲车速度不变，乙 车每小时多行5千米，且两车还从A，
B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车 速
度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相
向而行，则相遇地点距C 点16千米。求A，B两地距离。
解答：
先画一张行程示意图如下
设乙加速后与 甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点。同时出发后
的相遇时间，是由速度和决定的。不论甲加速，还 是乙加速，它们的
速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相
遇，所用 时间是一样的，这是解决本题的关键。
下面的考虑重点转向速度差。
在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D
点。
这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速
度差是5千米小时。
因此，在D点（或E点）相遇所用时间是28÷5＝ 5.6（小时）。
比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）。
甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12
千米，
因此甲的速度是：12÷0.4＝30（千米小时）。
同样道理，乙的速度是16÷0.4＝40（千米小时）。
A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）。
答： A，B两地距离是 420千米。
7．如图， A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出
发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A 点80米；在D点第二
次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长。
解答：
第一 次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来
又走了一圈。从出发开始算，两个人合起 来走了一周半。因此，第二
次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程
的 3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到
D是
80×3＝240（米）
240-60=180（米）
180×2＝360（米）
答：这个圆的周长是360米。
8．甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两 村同时出发，
在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）。在出发后40分钟
两人第一次 相遇。小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人
第二次相遇。问小张和小王的速度各是多少？
解答：
画示意图如下：
如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次 相遇两人
已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝
2（小时）。
从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10（千
米）。
小王已走了 6＋2=8（千米）。
因此，他们的速度分别是
小张 10÷2＝5（千米小时），
小王 8÷2=4（千米小时）。
答：小张和小王的速度分别是5千米小时和4千米小时。
９．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发， 在两村之间往返行走（到
达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在
离乙村2千米处第二次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙村多
远（相遇指迎面相遇）？
解答：
画示意图如下：

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了
3.5×3＝10.5（千米）。
从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米。因此，甲、乙两村
距离是10.5-2＝8.5（千米）。
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程。
第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程。
其中张走了3.5×7＝24.5（千米），24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）。
就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米）。
答：第四次相遇地点离乙村1千米。
10．绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向
而行。小王以4千米小时 速度每走1小时后休息5分钟；小张以6
千米小时速度每走50分钟后休息10分钟。问：两人出发多少 时间
第一次相遇？
解答：
小张的速度是6千米小时，50分钟走5千米，我们可以把他们出发
后时间与行程列出下表：
12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小
时10分至3小时15分之间。
出发后2小时10分小张已走了10＋6×＝11（千米），
此时两人相距：24-（8＋11）=5（千米）。
由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走 完这5千米所需时
间是：5÷（4＋6）＝0.5（小时）。
2小时10分再加上半小时是2小时40分。
答：他们相遇时是出发后2小时40分。
11．一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，
B，C分别在这3个点上。它 们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬
行。A的速度是10厘米秒，B的速度是5厘米秒，C的速度是3 厘
米秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
解答：
先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。
开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米。
30÷（5-3）＝15（秒）。
因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，
B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45
（秒）。
B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，60，105，150，195，……
再看看A与B什么时候到达同一位置。
第一次是出发后30÷（10-5）=6（秒），
以后再要到达同一位置是A追上B一圈。需要90÷（10-5）＝
18（秒），
A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，60，78，96，…
对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位
置。
答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置。