工商年报公式两角和与差的正弦公式

2020年10月5日发(作者：师昌绪)
两角和与差的正弦公式
教材分析
在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为 学生学习的一种负担．针对这个特点，
应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用 条件，在公式体系中掌握
相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式 的基础是两
角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α） ＝sinα，sinπ（－α ）＝co sα（α为任意
－（α＋β）］角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ ｃｏｓ［
＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］ .借助
于C
α+β
和C
α-β
即可推导出公式S
α+β和S
α-β
．C
α+β
，C
α-β
，S
α+β
和S
α-β
四个公式的左边均为两角
和与差的正、余弦，右边均为单角α，β 的正、余弦形式．不同点为公式S
α+β
，S
α-β
两边的运
算符号 相同，C
α+β
与C
α-β
两边的运算符号相反．S
α+β
与S
α-β
中右边是两单角异名三角函数的
乘积，而C
α-β
与C< br>α+β
的右边是两单角同名三角函数的乘积．
任务分析
这节课计划采用启发 引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生
会推导，会使用，要求不但掌握公式的 原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcos
ｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函 数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计
有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的 方法去分析问题和解决问题的能力，
培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化 归、换元、类比等常用
的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和 差的正、
余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．
教学目标
1. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个
公式之间的内在联系．
2. 能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
3. 通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整
体代换等思想方法．
教学过程
一、问题情景
如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固 性，要加一根固定钢丝绳，要求
钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备< br>多长的钢丝绳？
设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点
为A．
在Rt△AOB中，

如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度． 75°角可表示成两个特殊角45°
与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数 值来表示呢？
二、建立模型
1. 探 究
已知cos（α－β）＝cosαco sβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名
与cos（α＋β） 和cos（α－β）有何关系？
通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索．
3. 分析公式的结构特征
S
α+β
与S
α-β
中两边的加减运算符号相 同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特
别注意公式两边符号的差异．
三、解释应用

［例题一］
已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．
分析：本题主要训练公式S
α-β
与S
α+β
的使用．
由sinα＝－
［练习一］
及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．

分析：1. （1）强 调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）
－30°，再利用已知条件求 出cos（30°＋α）．
2. 应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公 式cos（π－α）＝
－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．
3. 应 注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin
（α－β ）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单
角来表示．
4. 该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角
的某 个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函
数值时，应分清 是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．
已知向量
的坐标．
＝（3，4） ，若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）
解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝ 5，
∴cosα＝，sinα＝．
∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，
y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，
∴P′ －，．
已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到
1
，
2
的位置，求
点P
1
，P
2
的坐标．
［例题三］
求下列函数的最大值和最小值．
（1）y＝cosｘ－sinx．
（2）y＝3sinx＋4cosx．
（3）y＝asinx＋bcosx， （ａｂ≠０）．
注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以 便
让学生充分理解辅助角φ满足的条件．
（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，
则

［练习三］
求下列函数的最大值和最小值．
（1）y＝cosx－sinx．
（2）y＝sinx－sin（x＋）
（3）已 知两个电流瞬时值函数式分别是I
1
＝12sin（ωt－45°），I
2
＝ 10sin（ωt＋30°），
求合成的正弦波I＝I
1
＋I
2
的函 数式．
四、拓展延伸
出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决．
1. 已知三个电流瞬时值的函数式分别为I
1
＝5sinωt，I
2
＝6sin（ωt－60°），I
3
＝10sin（ωt
＋60°），求它们合成后 的电流瞬时值的函数式I＝I
1
＋I
2
＋I
3
，并指出这个 函数的振幅、初相
和周期．

2. 已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕 原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图
42-2），求证：