散兵坑 公式等积变形(附解答)

2020年10月5日发(作者：程通)

三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如
果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的
高不变，底越 大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变
化时，它的底和高之中至少有一个要 发生变化．但是，当三角形的底和高同时
发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来
角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变
化．同时也告 诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不
同的形状．本讲即研究面积相同的三角形 的各种形状以及它们之间的关系．
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的 顶点是同一个点或在与底
平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高( 或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三
角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三 角形面积的几倍．

它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相
等．

同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．

例如 在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点
A、D在与底BC平行 的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的
面积相等．


例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC
高的2倍(D 是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的
2倍．

上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．

例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．


方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角
形，即△ABD 与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而
得到四个等积三角形，即△A DF、△BDF、△DCE、△ADE等积．




例2、 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积
比为及1∶3∶4．
方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、
AE，从而得到△AB D、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．


DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．


当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．

例3、 如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与
△COD面积相等．











证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S
△ABC
=S
△DBC

又∵ S
△AOB
=S
△ABC
—S
△BOC

S
△DOC
=S
△DBC
—S
△BOC

∴S
△AOB
=S
△COD
．

例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

分析 本题有两点要 求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角
形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变 形的方法，如右图，

把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面 积相等，从而
△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A
作一条和DB平行的 直线与CB的延长线交于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．

例5、如图，已知在△ABC中，B E=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘
米．求三角形ABC的面积．













解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S
△ABD
=4S
△ADE
=4(平方厘米)．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S
△ABC
=3S
△ABD
=3×4=12(平方厘米)．


解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，











∵ CD=2AD，
∴ S
△ACE
=3S
△ADE
=3(平方厘米)．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S
△ABC
=4S
△ACE

=4×3=12(平方厘米)．

例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=


解：连结BG，在△ABG中，

∴ S
△ADG
+S
△BDE
+S
△CFG







例7、如右图，ABCD为平行四边形，E F平行AC，如果△ADE的面积为4平方
厘米．求三角形CDF的面积．

解 ：连结AF、CE，∴S
△ADE
=S
△ACE
；S
△CDF
=S
△ACF
；又∵AC与EF平行，∴S
△
ACE
=S
△ACF
；
∴ S
△ADE
=S
△CDF
=4(平方厘米)．

例8、如 右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求
四边形EF GH的面积．

解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S
1
与 S
2
．连结FD，有S
△FBD
=S
△DBC
=S
1
所以S
△CGF
=S
△DFC
=2S
1
．
同理 S
△AEH
=2S
2
，
因此S
△ AEH
+S
△CGF
=2S
1
+2S
2
=2(S< br>1
+S
2
)=2×1=2．
同理，连结AC之后，可求出S△HGD
+S
△EBF
=2所以四边形EFGH的面积为
2+2+1=5 (平方单位)．

例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延 长线于F，
若S△ADE=1，求△BEF的面积．









解：连结AC，∵ABCD，∴S
△ADE
=S
△ACE

又∵ADBC，∴S
△ACF
=S
△ABF

而 S
△ACF
=S
△ACE
+S
△AEF
∶S
△ABF
=S
△BEF
+S
△AEF

∴ S
△ACE
=S
△BEF
∴S
△BEF
=S
△ADE
=1．