(完整word版)高中数学函数的单调性练习题及其答案.docx

函数的单调性

一、选择题：



















1．在区间 (0，＋∞ ) 上不是增函数的函数是

A ． y=2x＋ 1


C． y=

（




）

B． y=3x
2
＋ 1

2










D． y=2x
2
＋ x＋ 1


x


2．函数 f(x)=4 x
2
－mx＋ 5 在区间［－ 2，＋∞］上是增函数，在区间

则 f(1)等于


A ．－ 7


C． 17











(－∞，－ 2)上是减函数，

（

）


B． 1











D． 25


3．函数 f( x)在区间 (－ 2， 3)上是增函数，则

y=f(x＋5)的递增区间是 （

A ． (3， 8)


4．函数 f( x)=


）






B． (－7，－ 2)


D． (0， 5)




C． (－ 2，3)



ax1
x



在区间 (－ 2，＋∞ )上单调递增，则实数 a 的取值范围是


（









）

2

A ． (0，

1

)


B． (


1






，＋∞ )


2


2

C． (－ 2，＋∞ )

A ．至少有一实根

C．没有实根


D． (－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )

B．至多有一实根

D．必有唯一的实根







5．已知函数 f(x)在区间 [a， b] 上单调 ，且 f(a)f(b)＜ 0，则方程 f(x)=0 在区间 [a， b]内（





）

6．已知函数 f(x)=8＋ 2x－ x
2
，如果 g(x)=f( 2－x
2
)，那么函数 g( x)

A ．在区间 (－ 1， 0)上是减函数

C．在区间 (－ 2， 0)上是增函数

7．已知函数

|f(x＋ 1)|＜ 1 的解集的补集是

A ． (－ 1，2)



（






）

B．在区间 (0， 1)上是减函数

D．在区间 (0 ，2)上是增函数







f(x)是 R 上的增函数， A(0 ，－ 1) 、 B(3 ， 1)是其图象上的两点，那么不等式

（



）

B． (1， 4)



C． (－∞，－ 1)∪ [4，＋∞）

－ t)，那么下列式子一定成立的是

A ． f(－ 1)＜ f(9) ＜f(13)

C． f(9) ＜f(－ 1)＜ f(13)


D ． (－∞，－ 1)∪[2，＋∞）





8．已知定义域为

R 的函数 f(x)在区间 (－∞， 5)上单调递减，对任意实数

B． f(13)＜ f(9) ＜ f(－ 1)

D． f(13)＜ f(－ 1)＜ f(9)


t，都有 f(5＋ t)＝ f(5

（





）

9．函数
f ( x)

| x | 和 g (x) x( 2 x)
的递增区间依次是

A ．
(

C．
[0,

（


）

,0], (


,1]

,1]

B．
(

D
[0,

- -

,0], [1,

), [1,

)

)






), (


1

10．已知函数
f x

A ． a≤ 3



x
2

2 a 1 x 2
在区间

B ． a≥－ 3



,4
上是减函数，则实数
a
的取值范围是（

C． a≤ 5

D． a≥ 3


）

11．已知 f(x)在区间 (－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R 且 a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（

A ． f(a)＋ f(b)≤－ f(a)＋ f(b)］

C． f(a) ＋f(b)≥－ f(a)＋ f(b)］

A ． f(－ 1)＜ f(3)


B ． f (0)＞ f(3)

二、填空题：


-
13．函数 y=(x－ 1)
2
的减区间是 ___

14．函数 y=x－ 2

1

x
＋

2

的值域为

__

15、设
y f x

是
R
上的减函数，则
y



）



B． f(a)＋ f(b)≤f(－ a)＋ f(－ b)

D． f(a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋ f(－ b)

C． f (－ 1)=f (－ 3)




12．定义在 R 上的函数 y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且 y=f(x＋2)图象的对称轴是 x=0，则

（





）



D． f(2) ＜ f(3)





_．



___．

f

x 3
的单调递减区间为







.

．

16、函数 f(x) = ax
2
＋4(a＋1)x－ 3 在 [2，＋∞ ] 上递减， 则 a 的取值范围是 __

三、解答题：


17． f(x)是定义在 ( 0，＋∞ )上的增函数，且



f(

x

y

) = f(x)－ f(y)





（ 1）求 f(1)的值．
（2）若 f(6)= 1，解不等式 f( x＋ 3 )－ f(

1

x

) ＜ 2 ．













18．函数 f(x)=－ x
3
＋ 1 在 R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在

函数？试证明你的结论．












R 上是增函数还是减


19．试讨论函数 f(x)=

1

x
2

在区间［－

1，

1］上的单调性．















- -

2

20．设函数 f(x)=


x
2
1
－

ax，(a＞

0)，试确定：当

a 取什么值时，函数 f(x)在 0，＋∞ )上为

单调函数．




























































2
21．已知 f(x)是定义在 (－ 2，2)上的减函数，并且
围．

f(m－1) －f(1－2m)＞ 0，求实数 m 的取值范

22．已知函数

f(x)=
x

2x
x


a
，x∈［1，＋∞］








（ 1）当 a= 时，求函数 f(x)的最小值；
2

（2）若对任意 x∈ [ 1，＋∞
)
， f(x) ＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．

1
- -

3

参考答案

BA






一、选择题：

CDBBD

ADCCA

二、填空题：

13. (1，＋∞ )， 14.

(－∞， 3)， 15.
3,


，

,
1

2


三、解答题：

17.解析：①在等式中

令 x

②在等式中令 x=36 ， y=6 则
f (


y 0
，则

f(1)=0

．

f (36) f (6),


36

6

)

f (36)

2 f (6) 2.


故原不等式为：


f ( x 3)


f (

1
)

f (36),
即

f[x(x＋

3)]

＜

f(36)

，

x



又 f(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，
x 3 0
故不等式等价于：





1

0

x


0

x(x 3)

0 x


153 3
.

2


36

18.解析： f(x)在 R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

设 x
1
、x
2
∈( －∞，＋∞ )， x
1
＜x
2
，则 f(x
1
)=－ x
1
3
＋ 1， f(x
2
)=－ x
2
3
＋1．
f(x
1
) －f(x
2
)=x
2
－ x
1
3
=(x
2
－ x
1
)(x
1
2
＋ x
1
x
2
＋ x
2
2
)=( x
2
－ x
1
)［ (x
1
＋
2
)
2
＋ x
2
2
］．

∵ x
1
＜ x
2
，∴ x
2
－ x
1
＞ 0 而 (x
1
＋ )＋ x
2
2
＞0，∴ f( x
1
)＞ f(x
2
)．
24



3
x3
x
22
3
2

4


∴函数 f(x)= － x
3
＋1

在 (－∞，＋∞ )上是减函数．



19.解析： 设 x 、x ∈－ 1， 1］且 x ＜ x ，即－ 1≤ x ＜ x ≤ 1．


1 2

1 2 1 2

2



f(x ) －f(x )=
1

1


x
1

2
－


1


x
2
2



=
22
(1 x ) (1 x )

12

=

( x
2

x
1
)( x
2
x
1
)



1 x
1

2

1 x
2

2

1 x
1
2

1 x
2
2

∵x
2
－ x
1
＞0，
1

x
1

2

1

x
2

2
＞ 0，∴当 x
1
＞ 0，x
2
＞ 0 时，x
1
＋ x
2
＞ 0，那么 f(x
1
) ＞ f(x
2
)．

当 x
1
＜0， x
2
＜ 0 时， x
1
＋x
2
＜0，那么 f(x
1
) ＜f(x
2
)．

故 f(x)=
1

x
2

在区间［－

1，0］上是增函数，

f(x)=

1

x
2

在区间［ 0，1］上是减函数．


20.解析：任取 x
1
、x
2
∈0，＋

且 x
1
＜ x
2
，则


f(x
1
)－ f(x
2
)=




x
1

2

1
－

x
2

2

1
－

a(x
1
－

x
2
)=


x
1

x
1

2


x
2

2


1

x
2

2

2

－ a(x
1
－ x
2
)

1

- -

4

1


2

x
1



x
2


x
2

2


－ a)




































=( x － x )(

x
1

2

1

1







(1) 当 a≥ 1 时，∵




x
1


x
2




＜ 1，




















x
1

2


1

x
2

2


1






















又∵ x
1
－ x
2
＜ 0，∴ f(x
1
)－f(x
2
)＞ 0，即 f(x
1
)＞

f(x

2
)


∴ a≥ 1 时，函数 f(x)在区间［ 0，＋∞ )上为减函数．

(2) 当 0＜ a＜ 1

时，在区间［

0，＋∞］上存在





x
1
=0， x
2
=




2a

2


1

a




，满足 f(x
1
)=f(x
2
)=1





1
≥
1










∴ 0＜ a＜1 时， f(x) 在［０，＋


上不是单调函数




注： ①判断单调性常规思路为定义法；






②变形过程中






x
1


x
2




2

＜ 1 利用了

2

1

＞



2





x
1

2


1

x
2

1







x
1



|x | x ;


x
2


＞

2
；

1

x




③从 a 的范围看还须讨论

0＜ a＜1

时 f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．



















21.解析： ∵ f(x)在 (－ 2， 2)上是减函数

∴由 f(m－ 1)－ f(1－ 2m) ＞0，得 f(m－ 1)＞ f(1－ 2m)



2

m

1

2

∴




2


1





2m 2,

即



1

m

3



1

3




























m




解得

1




m


2



，∴ m 的取值范围是 (－



1


2




,

)

m

1 1



2m



2




m



2

3

2









2



3










2

3


























22.解析：


(1) 当 a=

时， f(x)= x＋


11
＋ 2， x∈ 1，＋∞ )




1


2


2 x





设 x
2
＞x
1
≥1，则 f(x
2
)－ f(x
1
)= x
2
＋


1



x












2x

2
=(x
2
－ x
1
)(1 －


1

)

1

=(x
2
－x
1
)
＋
1

2 x
1

2 x x

2 x
1
x
2

12

xx
2
∵x
2
＞ x
1
≥1，


∴ x
2
－ x
1
＞ 0， 1－


1


＞ 0，则 f(x
2
)＞f(x
1
)















2 x
1
x
2


可知 f(x)在［ 1，＋∞ )上是增函数．∴ f(x)在区间［ 1，＋∞
)
上的最小值为 f(1)=








7
．













(2)在区间［ 1，＋∞
)
上， f(x)=

x
2




2





2x

a


＞ 0

恒成立

x
2
设 y=x
2
＋ 2x＋ a，x∈1，＋∞ ) ，由 y=(x＋ 1)
2
＋ a－ 1 可知其在 [1，＋∞ ) 上是增函数，

当 x=1 时， y
min
=3＋ a，于是当且仅当 y
min
=3＋ a＞ 0 时函数 f(x)＞ 0 恒成立．故 a＞－ 3．

- -

5

x


＋ 2x＋a＞ 0 恒成立